方次軍

（湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢430068）

生物是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，具有潛在的隨機(jī)性.反應(yīng)分子通過擴(kuò)散匯聚在一起，且它們的運(yùn)動(dòng)被隨機(jī)碰撞所驅(qū)動(dòng)，在生物系統(tǒng)中揭示非線性條件下噪聲產(chǎn)生的各種重要效應(yīng)，研究這些效應(yīng)的產(chǎn)生的條件及其應(yīng)用，已成為生命科學(xué)發(fā)展中的一個(gè)重要前沿領(lǐng)域，其研究成果正在推動(dòng)許多科學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展和相互交叉.研究在一個(gè)培養(yǎng)皿里面生活著一種細(xì)菌，供給一定量的細(xì)菌生存所需的營(yíng)養(yǎng)，設(shè)x為t時(shí)刻的細(xì)菌相對(duì)數(shù)目，根據(jù)Logistic生長(zhǎng)方程，可給出細(xì)菌的生長(zhǎng)方程［1］

其中，a＞0，是細(xì)菌的固有生長(zhǎng)率；b＞0，是限制細(xì)菌生長(zhǎng)的抑制率.

方程（1）是一種理想的狀態(tài)，即細(xì)菌的生長(zhǎng)不受外界的干擾.而實(shí)際情況是細(xì)菌的生長(zhǎng)會(huì)不可避免地受到外界的環(huán)境的影響，比如溫度的變化，另外細(xì)菌本身的生長(zhǎng)也會(huì)出現(xiàn)周期性漲落，這些干擾既會(huì)影響到a，也會(huì)影響到細(xì)菌數(shù)量的變化，從而導(dǎo)致噪聲.于是可用方程

來描述細(xì)菌的實(shí)際生長(zhǎng)過程.式中：ξ（t）是加性噪聲；η（t）是乘性噪聲.對(duì)于給定的隨機(jī)微分方程（2），關(guān)于變量x其勢(shì)函數(shù)為

圖1 細(xì)菌Logistic生長(zhǎng)過程（a＝1，b＝0.2）的勢(shì)函數(shù)圖

1 Fokker－Planck方程

對(duì)于給定的隨機(jī)微分方程

相應(yīng)的Fokker－Planck（FPK）方程為［2］

其中

D為常數(shù)，它的值由

決定.FPK方程是一個(gè)拋物型線性變系數(shù)偏微分方程，它描述了擴(kuò)散過程的轉(zhuǎn)移概率密度p（x，的進(jìn)化和流動(dòng).當(dāng)b（x，t）＝0時(shí)，方程（3）描述過程的確定性變化，a（x，t）＝0時(shí)，方程（3）描述純擴(kuò)散運(yùn)動(dòng).當(dāng)FPK方程描述一個(gè)變量是局限于有限空間的“物理”隨機(jī)過程，那么，隨著時(shí)間t的增長(zhǎng)，系統(tǒng)可能會(huì)趨于唯一的解，即穩(wěn)態(tài)解.對(duì)于穩(wěn)態(tài)解的研究具有重要的意義，其原因首先在于穩(wěn)態(tài)解反映了系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間行為，經(jīng)過各種不同長(zhǎng)短的瞬態(tài)過程后，系統(tǒng)就會(huì)被這種長(zhǎng)時(shí)間行為所主導(dǎo)，所以在絕大多數(shù)時(shí)間內(nèi)人們對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量得到的正是這類穩(wěn)態(tài)解的性質(zhì).當(dāng)系統(tǒng)演化經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)間后，認(rèn)為它達(dá)到一個(gè)穩(wěn)態(tài)，即.則p（x，t）與時(shí)間無關(guān)，記為p（x）.式（4）變?yōu)?/p>

兩邊對(duì)x積分得

這里J為常數(shù)，代表穩(wěn)態(tài)時(shí)概率流的強(qiáng)度.若認(rèn)為系統(tǒng)是局限于隨機(jī)變量取有限值的的范圍，即概率分布滿足自然邊界條件［3］

所以穩(wěn)態(tài)概率流為0，即J＝0.代入式（5）解得

N為歸一化常數(shù).

2 模型穩(wěn)定性質(zhì)的分析

首先給出方程（2）所滿足的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：

其中，Q，M分別是乘性高斯白噪聲和加性高斯白噪聲的強(qiáng)度；0≤λ≤1是兩噪聲之間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度.由勢(shì)函數(shù)很容易得出其穩(wěn)定解x＝0和x＝a／b，x＝0是平庸解，考慮最后的穩(wěn)定解是x＝a／b，即環(huán)境所能供養(yǎng)細(xì)菌的最大相對(duì)數(shù)目.而對(duì)于考慮外界環(huán)境影響后，即方程（2）不容易直接從（1）來分析細(xì)菌的生長(zhǎng)情況，但根據(jù)前面的（3）式筆者給出相對(duì)應(yīng)的Fokker－Planck方程為［4］

這里p（x，t）是細(xì)菌在t時(shí)刻相對(duì)數(shù)目為x的概率密度.設(shè)

這里

故

從而

當(dāng)系統(tǒng)隨著時(shí)間的演化，由方程（5）可得到穩(wěn)態(tài)概率密度分布

3 計(jì)算和分析

對(duì)于式（2），由式（6）可得到p（x，t）的極值所滿足的條件為可以得到A（x）＝B′（x）.從而得到式（2）應(yīng)滿足

不妨取f（x）＝x進(jìn)行研究，由式（7）得

當(dāng)λ＝0時(shí)，即噪聲ξ（t）與η（t）沒有關(guān)聯(lián)，解得可見，乘性噪聲對(duì)p（x，t）的極值的位置有影響，加性噪聲對(duì)其沒有影響.

圖2是穩(wěn)態(tài)概率分布和噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度之間的關(guān)系.λ＝0（兩噪聲沒有關(guān)聯(lián)時(shí)），穩(wěn)態(tài)的概率分布一個(gè)峰值，位置大約在x＝5附近，當(dāng)λ逐漸增大時(shí)，峰值逐漸下降，而在x＝0處的分布逐漸上升.圖2中的參數(shù)為a＝1，b＝0.2，Q＝0.1，M＝2［5，6］.

圖2 穩(wěn)態(tài)概率分布和噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度之間的關(guān)系

從圖3中可以看出，隨著加性噪聲的增強(qiáng)，峰值的高度逐漸下降，但是兩邊的取值上升，但峰值的位置依然位于x＝4.8左右.可見加性噪聲使概率密度更加均勻，但它也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)固有生長(zhǎng)規(guī)律的破壞.從這種意義上看，加性噪聲對(duì)概率密度具有擴(kuò)散作用［7］.圖3中的參數(shù)為a＝1，b＝0.2，Q＝0.1，λ＝0.

圖3 概率密度分布和加性噪聲強(qiáng)度之間的關(guān)系

圖4 表明概率密度分布和乘性噪聲強(qiáng)度之間的關(guān)系.當(dāng)Q＝0.5時(shí)，峰值在x＝2.5附近，隨著乘性噪聲的減弱，峰值向右進(jìn)行移動(dòng).從而可發(fā)現(xiàn)，乘性噪聲會(huì)抑制細(xì)菌的生長(zhǎng)，干擾了細(xì)菌的固有生長(zhǎng)規(guī)律.從這種意義上看，乘性噪聲對(duì)概率密度分布呈現(xiàn)漂移作用.圖4中的參數(shù)為a＝1，b＝0.2，M＝0.1，λ＝0.

圖4 概率密度分布和乘性噪聲強(qiáng)度之間的關(guān)系

4 結(jié)論

在細(xì)菌的Logistic生長(zhǎng)過程中，筆者考慮了兩種噪聲的干擾作用，通過用Fokker－Planck方程，分別討論了加性噪聲以及乘性噪聲對(duì)細(xì)菌生長(zhǎng)的影響.結(jié)果表明噪聲的關(guān)聯(lián)程度越高，越不利于細(xì)菌的生長(zhǎng)；另一方面，加性噪聲改變了峰值，對(duì)概率密度分布具有擴(kuò)散作用；乘性噪聲導(dǎo)致峰值的左右移動(dòng)，對(duì)概率密度分布呈現(xiàn)出漂移作用.

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