許金余 ，劉 石

（1. 空軍工程大學 機場建筑工程系，西安 710038；2. 西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院，西安 710072）

1 引 言

分形幾何創(chuàng)立于20世紀70年代，是由法國數(shù)學家Mandelbrot提出的以極不規(guī)則的幾何圖形為研究對象的一門學科[1]。在自然界中，有規(guī)則的現(xiàn)象是特殊的、近似的，分形幾何主要研究一些具有自相似性的不規(guī)則曲線和形狀，具有自反演性的不規(guī)則圖形以及具有自平方性的分形變換和自仿射分形集等。其中，自相似性的不規(guī)則曲線和形狀是分形幾何研究的主要內(nèi)容[2]。巖石從微觀損傷發(fā)展到宏觀破碎的演化過程是個分形，其結(jié)構(gòu)演化的幾何特征和物理、力學性質(zhì)的數(shù)字特征，均表現(xiàn)出較好的統(tǒng)計自相似性[3]。這種自相似性的行為導致了巖石破碎后碎塊塊度分布也具有自相似的特征，即是一個分形分布。因此，近些年來，分形理論在巖石力學上也得到了廣泛的應用，特別是在巖石損傷、破碎、塊度分布、能量耗散等方面已建立了一些基本理論，從而為巖石破碎的研究提供了新的理論依據(jù)。

許多學者在這些方面做了大量的研究工作，取得了豐碩的成果。王利等[4]根據(jù)巖石分形斷裂切割巖塊的塊度形成機制，利用能量守恒關(guān)系，建立損傷–能量-碎塊尺寸理論關(guān)系式，并根據(jù)塊度分布的自相似性，將巖石塊度分布特性應用于巖體塊度分布預測。王謙源等[5]采用分形分布節(jié)理模擬材料試件，研究了脆性巖體軸向抗壓強度與變形的尺度效應，獲得的規(guī)律與實際巖體尺度效應規(guī)律一致，并發(fā)現(xiàn)巖體變形的尺度效應并非完全由節(jié)理閉合和剪切破壞引起，在節(jié)理剪切破壞之前，主要是由節(jié)理的剪切變形增大引起的。王志國等[6]運用分形幾何理論研究了采動巖體裂隙網(wǎng)絡分形維數(shù)隨開采寬度、采場礦山壓力、巖層沉降的動態(tài)演化規(guī)律，并分析了斷層對采動巖體裂隙網(wǎng)絡分布演化的影響以及采動巖體裂隙網(wǎng)絡在三帶的分布特征。

本文利用分離式Hopkinson壓桿試驗系統(tǒng)，對大理巖進行了沖擊加載試驗，通過篩分統(tǒng)計的方法對大理巖沖擊破碎碎塊的分布特征進行分析，研究了加載速率對破碎碎塊分布的影響，建立了分形維數(shù)與巖石的比能量吸收之間的關(guān)系。

2 沖擊試驗技術(shù)及設備

試驗所采用的φ100 mm SHPB試驗裝置（見圖1），主要由主體設備、能源系統(tǒng)、測試系統(tǒng)3大部分組成。主體設備包括：發(fā)射裝置、發(fā)射炮管、射彈、吸能裝置、桿件及其調(diào)整支架、操縱臺等；能源系統(tǒng)包括：空氣壓縮機、高壓容器及管道；測試系統(tǒng)包括：彈速測試系統(tǒng)及動態(tài)應變測試系統(tǒng)。壓桿材料為高強度合金，直徑為 100 mm，入射桿長為4 500 mm，透射桿長為2 500 mm，打擊桿長為500 mm，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.25～0.3，密度為 7.85 g/cm3。利用空氣加壓給打擊桿加速并使用燈距為100 mm激光測速儀測量打擊桿撞擊的速度。

試驗所采用的材料為取自陜西秦嶺山區(qū)的大理巖，呈灰白色，經(jīng)國土資源部西安礦產(chǎn)資源監(jiān)督檢測中心檢驗鑒定，其主要成分為90%的白云石、3%的方解石、3%滑石和閃石、3%的白云母、1%的石英等。按照國際巖石力學學會(ISRM)的制樣要求，加工成φ100 mm×50 mm的標準圓柱形試樣，端面平行度控制在±0.05 mm 以內(nèi)，表面平面度在±0.02 mm以內(nèi)。子彈沖擊加載速率設計為5個不同的等級，分別為11、12、13、14、15 m/s。

圖1 φ 100 mm SHPB裝置主體設備示意圖（單位：mm）Fig.1 Apparatus of 100 mm diameter SHPB (unit: mm)

3 大理巖的沖擊破碎形態(tài)

在沖擊加載試驗中，不同的沖擊加載速率使得巖石破碎產(chǎn)生碎塊的尺寸和形狀均有所不同。圖 2為沖擊加載試驗中試件破壞后產(chǎn)生的碎塊。當加載速率較小，在11 m/s時，大理巖破裂成幾個比較大的塊狀碎塊；隨著沖擊載荷增大，碎塊數(shù)量增多，幾何形狀相應減?。划敿虞d速率達到15 m/s時，巖石碎塊中會出現(xiàn)很多細粒碎塊，碎塊顆粒均勻而細小。從破碎程度來看，隨著加載速率的增加，試件的破碎越來越嚴重，巖石破碎的碎塊尺寸越來越小，塊數(shù)越來越多。從破碎形式來看，當荷載增加到超過破壞閾值時，隨著加載速率的提高，試件的內(nèi)部裂紋擴展程度加劇，呈現(xiàn)脆性斷裂破壞形態(tài)，破壞的形式是從塊狀到粉狀。

圖2 不同加載速率下大理巖的破壞形態(tài)Fig.2 Failure forms of marble samples under different loading speeds

4 大理巖沖擊破碎的分形特征

4.1 破碎塊度的分布

將沖擊試驗后的巖石碎塊收集起來，采用2.5、5、10、16、20、25、31.5、40、50 mm標準篩，將巖石破碎塊度分為 0～2.5 mm、2.5～5 mm、5～10 mm、10～16 mm、16～20 mm、20～25 mm、25～31.5 mm、31.5～40 mm、40～50 mm、50～100 mm等10個等級。通過高靈敏度電子秤稱量每級篩上物的質(zhì)量，記錄試驗數(shù)據(jù)，進行塊度分析。不同加載速率下大理巖的破碎塊度分布規(guī)律如圖3所示。

圖3 不同加載速率下大理巖破碎塊度分布Fig.3 Fragment size distributions of marble with different loading speeds

為了更直觀地描述大理巖沖擊破碎塊度的分布規(guī)律，采用平均破碎塊度表示巖石的破碎程度[7]。

由圖3可知，不同加載速率下巖石產(chǎn)生的破碎塊度分布不同，隨著加載速率的增大，曲線初始斜率相應增大，說明小粒徑的碎塊增多，大粒徑碎塊相應減少。通過數(shù)據(jù)對比分析可以發(fā)現(xiàn)，隨著加載速率的增大，大（50 mm以上）、中粒徑（2.5～50 mm）的顆粒含量減少，小粒徑（2.5 mm以下）的含量增加。當加載速率達到15 m/s時，巖石破碎較為嚴重，碎塊直徑主要集中于中、小粒徑。

如圖4所示，大理巖沖擊破碎的平均塊度隨著加載速率的增加迅速減小，當子彈加載速率為11 m/s時，平均破碎塊度為67.56 mm，當子彈加載速率達到15 m/s時，平均破碎塊度僅為16.67 mm，減小了75%。采用平均破碎塊度能夠較直觀地描述巖石的沖擊破碎情況。

圖4 大理巖的平均破碎塊度分布Fig.4 Average fragment size distribution of marble

4.2 分形維數(shù)的計算

按質(zhì)量-頻率關(guān)系度量[8]可以得到巖石沖擊破碎塊度的分布方程為

圖5給出了大理巖破碎塊度分維計算的雙對數(shù)關(guān)系曲線，可以看出，圖中擬合直線的相關(guān)性較好，說明巖石破碎后的塊度分布具有很好的自相似性，即是一個分形分布。根據(jù)文獻[3]，這是由于巖石的宏觀破碎是由小破裂群體集中而形成的，小破裂又是由更微小的裂隙演化和集聚而來，這種自相似性的行為必然導致破碎后碎塊塊度也具有自相似的特征，所以可用碎塊的分形來描述沖擊破碎巖塊的形成過程。在沖擊荷載作用下，巖石破碎塊度的分形維數(shù)在一定的范圍內(nèi)上下浮動，大理巖的塊度分形維數(shù)主要集中在1.5～2.5之間。分形維數(shù)不僅與外部作用環(huán)境有關(guān)，而且與巖石本身的性質(zhì)也有關(guān)系，它的變化在某種程度上代表了巖石材料內(nèi)部性質(zhì)的變化[9]。

4.3 分形維數(shù)與加載速率的關(guān)系

圖6為沖擊加載試驗中大理巖的分形維數(shù)隨加載速率變化的關(guān)系曲線。

圖6 加載速率與分形維數(shù)的關(guān)系曲線Fig.6 Relationships between fractal dimension and loading speed

可以看出，分形維數(shù)隨著加載速率的升高呈上升趨勢，大致成線性關(guān)系，當加載速率達到11 m/s時，分形維數(shù)為1.58，當加載速率達到15 m/s時，分形維數(shù)增加到2.45。對比分形維數(shù)與巖石試件宏觀破壞發(fā)現(xiàn)，分形維數(shù)大的試件，碎塊數(shù)目多且尺寸較小，破碎程度較高，塊度的均勻性較好。

4.4 分形維數(shù)與能量吸收的關(guān)系

采用比能量吸收[10－11]來表征材料的韌性，其物理意義是：單位體積的試驗材料吸收應力波能量的大小，該方法綜合考慮了試驗中多個影響因子，比較接近材料韌性的實際值。比能量吸收ξ的數(shù)學表達式為

式中：E、C、A分別為壓桿的彈性模量、彈性波波速和橫截面積；、分別為試件的初始橫截面積和初始長度；T為試件完全破壞時刻；、、分別為桿中的入射、反射、透射應變。通過試驗數(shù)據(jù)來分析巖石破碎分維與ξ值的關(guān)系見圖7。

圖7 分形維數(shù)與比能量吸收的關(guān)系曲線Fig.7 Relationships between fractal dimension and specific energy absorption

可以看出，巖石破碎的分形維數(shù)隨著比能量吸收值的增加而增加，也就是說巖石吸收的能量越多，試件破碎的也就越徹底，分形維數(shù)也就越大。這是由于巖石的破壞是由于內(nèi)部大量的、各種尺度的裂隙的發(fā)育、擴展、貫通所致，是巖石結(jié)構(gòu)中的初始細觀損傷發(fā)展到宏觀斷裂的結(jié)果，巖石吸收的能量越多，裂紋擴展的越充分，碎塊產(chǎn)生的越多，破碎程度就越高，導致分形維數(shù)的值也就越大。分形幾何可以很好地描述自然界不規(guī)則事物的規(guī)律性，巖石碎塊的分形特征反映了巖石的破碎模式，分形幾何得到的破碎分形維數(shù)包含巖石破碎演化過程中的某種物理機制[12]。沖擊荷載作用下巖石的破碎過程，就是巖石遭受損傷到破壞的分形發(fā)展過程，破碎分維是表征巖石破碎程度的理想統(tǒng)計量。

5 結(jié) 論

（1）大理巖沖擊破碎的平均塊度隨著加載速率的增加迅速減小，當加載速率為11 m/s時，平均破碎塊度為67.56 mm，當加載速率達到15 m/s時，平均破碎塊度為16.67 mm，減小了75%。采用平均破碎塊度能夠較好地描述巖石的沖擊破碎情況。

（2）沖擊荷載作用下，大理巖的塊度分形維數(shù)主要集中在1.5～2.5之間，隨著加載速率的升高呈上升趨勢。對比分形維數(shù)與巖石試件宏觀破壞發(fā)現(xiàn)，分形維數(shù)大的試件，碎塊數(shù)目多且尺寸較小，破碎程度較高。

（3）由于巖石的破壞是由于內(nèi)部裂紋的發(fā)育、擴展、貫通所致，吸收的能量越多，裂紋擴展的越充分，碎塊產(chǎn)生的越多，破碎程度就越高，導致分形維數(shù)的值也就越大，因此，大理石破碎的分形維數(shù)隨著比能量吸收值的增加近似線性增加。

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