康勁松，徐友剛，陳 宇

（1.同濟(jì)大學(xué) 電氣工程系，上海 200092；2.上海市電力公司青浦供電公司，上海 201700）

感應(yīng)加熱是利用電磁感應(yīng)使被加熱的材料內(nèi)部產(chǎn)生渦流，依靠渦流能量而加熱.感應(yīng)加熱具有加熱時間短、效率高和結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于金屬熔煉、熱處理、焊接和液體加熱等方面.

目前，對感應(yīng)加熱的磁熱研究主要有：研究磁性和非磁性材料的橫向磁通感應(yīng)加熱電磁場，建立模型描述磁場強(qiáng)度的分布；應(yīng)用電磁場、熱場及殘余應(yīng)力場的有限元數(shù)值方法，研究感應(yīng)淬火問題；當(dāng)材料表層加熱到居里點(diǎn)特性變化時，通過假設(shè)工件由不同磁導(dǎo)率的兩部分材料組成，來計算電磁場的分布［1－5］；使用邊界元法和有限元法計算線性阻抗材料高頻感應(yīng)淬火的渦流場，分析表面感應(yīng)淬火的殘余應(yīng)力分布等［6－7］.

感應(yīng)式熱水器利用交變磁力線通過加熱體，使加熱體內(nèi)鐵磁分子激烈振蕩高速發(fā)熱，冷水流經(jīng)加熱體后被瞬間加熱.該系統(tǒng)徹底分離了電路系統(tǒng)和水路系統(tǒng)，具有高可靠性和安全性.筆者從系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立、邊界條件設(shè)置和材料屬性定義等方面著手，著重提出一種解耦磁熱耦合計算方法.最后通過仿真模型提出系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計方案，并驗證其可行性.

1 磁場和熱場分析

感應(yīng)加熱主要遵循電磁感應(yīng)、集膚效應(yīng)和熱傳導(dǎo)等基本原理，其中電磁感應(yīng)起主導(dǎo)作用，集膚效應(yīng)是影響感應(yīng)加熱的重要因素，它們在一定程度上決定著熱傳導(dǎo).實際上，熱傳導(dǎo)所需要能量是由電磁感應(yīng)渦流功率提供的［8］.

1.1 電磁場計算

電磁場計算根據(jù)邊界條件求解麥克斯韋方程（Maxwell’s equations）.其中，磁場邊界條件可以分為三類：①磁力線與邊界面垂直；②磁力線與邊界面平行；③邊界面為具有面電流密度的鐵磁邊界.根據(jù)磁場邊界條件計算時，首先要考慮研究域的對稱性和周期性.如果研究域具有對稱性，在計算時利用對稱性，并在對稱面上設(shè)定法向磁場或切向磁場；如果研究域具有周期性，在計算時利用周期性，并在計算循環(huán)時設(shè)定循環(huán)條件.其次是考慮無窮邊界問題，有些無窮邊界可采用邊界盒等效方法［9－12］.

根據(jù)麥克斯韋方程、磁場邊界條件和感應(yīng)加熱時變磁場特性，建立如下磁場求解方程：

其中：μr為相對磁導(dǎo)率，μ0為真空磁導(dǎo)率，H·m－1；A為矢量磁位，Wb·m－1；Hc為矯頑力（永磁體），A·m－1；σ為電導(dǎo)率，S·m－1；V 為電勢，V；t為時間，s.

1.2 集膚效應(yīng)

集膚效應(yīng)指當(dāng)一個圓形斷面直導(dǎo)線通以交流電時，電流在導(dǎo)體截面上的分布將不再是均勻的，導(dǎo)體表面上各點(diǎn)電流密度由外向內(nèi)從最大連續(xù)變化到最小.集膚效應(yīng)所引起的集膚深度可以表示為

其中：ρ為電阻率；f為感應(yīng)加熱頻率；μ為磁導(dǎo)率.

上式表明，渦流分布高度集中在加熱體表面，而且渦流強(qiáng)度隨著與表面距離的增大而急劇下降.渦流產(chǎn)生的熱量與渦流強(qiáng)度的平方成正比，所以，從表面向心部，熱量的下降要比渦流下降更快.感應(yīng)式熱水器建模涉及到集膚深度計算問題，如表1所示.

表1 加熱體和感應(yīng)線圈的集膚深度Tab.1 The skin depth of heater and induct turns

1.3 熱場計算

熱量傳遞方式主要有三種，分別是：①傳導(dǎo)傳熱，機(jī)理是物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)彼此接觸時，熱能從高溫質(zhì)點(diǎn)傳給低溫質(zhì)點(diǎn)；②對流傳熱，發(fā)生在流體（液體或氣體）與固體之間；③輻射傳熱，熱能以電磁波的形式，將互相不接觸的物體，從高溫物體傳給低溫物體.這三種熱量傳遞方式在感應(yīng)式熱水器工作過程中均會發(fā)生，其中熱傳導(dǎo)占主要部分.熱傳導(dǎo)的基本關(guān)系式為Fourier定律

熱傳導(dǎo)方程

其中：φ 為熱場密度，W·m－2；T 為溫度，K；k為熱導(dǎo)，W·m－1·K－1；CP為比熱容；q為單位體積內(nèi)熱功率，W·m－3.

在計算熱場時，邊界條件也要考慮研究域的對稱性和周期性，以便減少計算量.熱場的邊界條件可以分為三類：①假設(shè)邊界溫度為T0，溫度與時間相關(guān)，可以沿邊界變化，最簡單的形式為T＝T0；②假設(shè)邊界熱密度為φ0，反映求解域邊界上的熱量變化，特別是當(dāng)φ0＝0，表示為絕熱邊界，即固體物質(zhì)和周圍環(huán)境沒有熱交換；③與周圍環(huán)境有熱交換，分別有：熱對流，φn＝－α（T－Ta）；熱輻射，φn＝－εσ（T4－）；熱對流＋熱輻射，φn＝－α（T－Ta）－εσ（T4－）.其中：α為熱對流系數(shù)，W·m－2·K－1；Ta為環(huán)境溫度，K；ε為熱輻射系數(shù).

根據(jù)上述熱傳導(dǎo)關(guān)系式和邊界條件，采用有限元法求解瞬態(tài)熱模型方程為

2 磁熱耦合計算

耦合通常有強(qiáng)耦合和弱耦合兩種形式.強(qiáng)耦合是同時求解兩個系統(tǒng)方程，弱耦合是兩個系統(tǒng)方程被單獨(dú)求解，然后結(jié)果相互利用.磁熱場屬于強(qiáng)耦合場，但在實際求解過程中不需要同時求解磁場和熱場.這是因為磁場和熱場的時間常數(shù)不同，對于電磁場，感應(yīng)加熱頻率范圍是50～1000Hz，分析時間小于0.02s；對于熱場，瞬態(tài)熱現(xiàn)象的時間常數(shù)不會超過0.10s.總之，對于只允許有1個時間變量的磁熱強(qiáng)耦合場，在仿真時要將磁、熱解耦，使計算步長和最小時間常數(shù)相匹配［13－16］.

解耦磁熱耦合，需進(jìn)假設(shè)：①電源是正弦交流電；②材料屬性隨溫度變化緩慢且連續(xù)；③磁場是簡諧場.解耦后，連續(xù)求解磁、熱方程，磁場計算的功率密度作為熱源引入熱場分析，熱場計算的溫度引入磁場并更新磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率.這樣反復(fù)求解磁、熱方程并與設(shè)定的溫度值相比較，確定是否完成計算.具體步驟如圖1所示.

圖1 磁熱耦合計算流程圖Fig.1 The flow chart of magnetic thermal coupling computation

磁熱耦合計算開始時需要初始化，設(shè)置初始溫度和材料屬性，分析磁場，可以根據(jù)磁場結(jié)果，計算渦流引起的功率損耗——熱源.利用熱源計算的溫度作為參數(shù)傳遞到磁場計算，并將材料屬性調(diào)整到新溫度下的值，然后根據(jù)這些屬性重新計算功率損耗，完成熱源的更新過程，進(jìn)行迭代計算.

3 系統(tǒng)建模

感應(yīng)式熱水器實際結(jié)構(gòu)如圖2所示，在由非導(dǎo)磁材料制成的管狀容器內(nèi)安裝1個與管狀容器大小、形狀相匹配的柱狀金屬體，在管狀容器外安裝1個導(dǎo)磁材料制成的外殼，起到外磁路的作用.當(dāng)管狀容器外施加中高頻交變磁場，使容器內(nèi)的金屬體產(chǎn)生渦流而發(fā)熱.在容器兩端的外殼上分別設(shè)置水的入口和出口，使水從入口流入容器后沿著金屬體流到容器另一端并從出口流出容器，水在沿著因渦流而發(fā)熱的金屬體流動時被加熱.

3.1 幾何模型

感應(yīng)式熱水器的各物理量在圓周方向呈對稱分布，所以，可以把實際三維空間的問題轉(zhuǎn)換成平面問題解決.建立系統(tǒng)1／4幾何模型如圖3所示，設(shè)定的加熱體直徑為60mm、高為300mm、容積為1.4L，感應(yīng)線圈為56匝.系統(tǒng)的有限元計算單元格劃分見圖4.

3.2 物理屬性

仿真時，設(shè)置的初始溫度為20℃，加熱體屬性變化特性按以下設(shè)置：

（1）磁導(dǎo)率B（H，T）是非線性的，隨溫度變化規(guī)律（見圖5）為

其中：μ0為真空相對磁導(dǎo)率，μ0＝4×10－7H·m－1；μr0為相對磁導(dǎo)率（T＝0），μr0＝600；Js0為磁密飽和點(diǎn)（T＝0℃），Js0＝2T.

（2）加熱體電阻率ρ隨著溫度變化規(guī)律是

（3）加熱體熱導(dǎo)率K隨著溫度變化規(guī)律是

（4）加熱體比熱容隨著溫度變化規(guī)律（見圖6）是

式中：CP為比熱容；CP，T＝0＝3.9×106J·m－3·℃－1；CP，T＝∞＝4.68×106J·m－3·℃－1；E為相移能量，E＝1.2×1010J·m－3；σ為典型高斯系數(shù)，σ＝30；Tc為變化溫度（居里點(diǎn)溫度），Tc＝760℃；τ為指數(shù)函數(shù)的溫度常數(shù)（正負(fù)），τ＝500.

3.3 電路關(guān)聯(lián)

系統(tǒng)仿真時，需要利用等效電路模型模擬實際系統(tǒng)電路.圖7為系統(tǒng)實際電路結(jié)構(gòu)圖，變頻電路由4個可控器件VT1～VT4組成.在仿真時可以將系統(tǒng)等效成為RLC串聯(lián)諧振電路.

圖7 控制系統(tǒng)電路結(jié)構(gòu)圖Fig.7 Circuit structure of control system

3.4 仿真步長

磁熱計算通?？梢赃x擇牛頓迭代法.迭代步長的選擇是一個非常重要的過程.選得太大，計算結(jié)果不精確；太小，增加求解時間，降低求解效率.求解步長可以用能量平衡方程

式中：m為集膚深度區(qū)域質(zhì)量；取m＝0.013526kg；加熱體比熱容Cp＝500J·kg－1·℃－1；Δθ為期望增加的溫度，取Δθ＝30℃；Pj為感應(yīng)功率，Pj＝8800W；Δt為初始步長，Δt＝0.0268s.因此，可以設(shè)置求解步長為0.027s，加熱初始溫度和室溫為20℃.

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 磁力線分布

圖8是系統(tǒng)磁力線的分布情況.從中可以看出，交流電通過線圈，引起通過加熱體的磁力線從其表面上通過.該現(xiàn)象由集膚效應(yīng)引起，加熱裝置的大部分熱量由其發(fā)出.圖9b的中心部位環(huán)流是由渦流效應(yīng)所引起的載流子運(yùn)動路徑.

圖8 系統(tǒng)磁力線分布圖Fig.8 The equi－flux lines of system

4.2 加熱體溫度變化

圖9是加熱體溫度變化圖，可以看出，由于集膚效應(yīng)，加熱體的邊緣溫度明顯高于中心溫度.同時，由于加熱體的上下磁力線逸散（邊緣效應(yīng)），導(dǎo)致加熱體的頂端溫度沒有中心高.圖10表示加熱體上2個點(diǎn)在20s內(nèi)溫度變化情況，其中，表面點(diǎn)（29，30）溫度變化明顯快于中心點(diǎn)（0，0）.

4.3 水溫變化

加熱液體的熱量傳遞主要是熱對流，但在有限元軟件中需要利用熱傳導(dǎo)等效熱對流.在上述仿真中沒有考慮到水加熱，只對加熱體加熱.此時，可將上述加熱體中熱量通過熱傳導(dǎo)傳遞給水.仿真利用等效方法，并通過一定時間來實現(xiàn)熱均勻，從而可以達(dá)到模擬加熱水效果.圖11顯示了水溫變化情況.

4.4 加熱效率計算與尺寸優(yōu)化

在仿真中，可得加熱體功率為8789W，感應(yīng)線圈銅耗為56.2W.加熱30s后，水溫為62.5℃.則1.4L水吸收的熱量Q1＝249900J，加熱體消耗熱量Q2＝13770J，感應(yīng)線圈內(nèi)阻消耗熱量Q3＝1686J，則加熱效率為

由于計算過于理想化，在實際的加熱過程中，效率只能達(dá)到90%左右.

根據(jù)上述感應(yīng)體結(jié)構(gòu)，采用不同的尺寸仿真，得到的結(jié)果如2表所示（需要說明的是，考慮到加熱時間較短，液體各層溫度存在差異性，因此先不將水加入到仿真系統(tǒng)中，只是對加熱體加熱35 s）.

表2 各種尺寸加熱體的加熱結(jié)果Tab.2 The simulation results of columned conductor with different radiuses

5 結(jié)論

在感應(yīng)式熱水器設(shè)計階段，采用有限元軟件將實際空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，能夠有效分析其磁熱耦合和模擬加熱過程.在磁熱耦合分析上，采用更新迭代法計算磁場和溫度場，每計算一次，就根據(jù)計算結(jié)果修改材料的性能參數(shù)，迭代下一次.經(jīng)驗證，該方法能夠較為準(zhǔn)確地計算磁熱耦合，得出加熱體和水溫的變化情況.在加熱過程仿真中，利用計算結(jié)果動態(tài)繪制變化曲線和溫度云譜圖，模擬加熱過程.因此，該方法可用于感應(yīng)式熱水器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模擬、磁熱耦合分析和優(yōu)化設(shè)計，有效減少試驗成本，還適用于金屬熔煉、熱處理和焊接等領(lǐng)域的模擬.

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