樓夢麟，康 帥，殷 琳

（同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092）

阻尼作為結構動力的基本參數(shù)之一，對結構地震響應分析有著很大的影響［1－2］.實際地震時的耗能有著多方面的影響因素.阻尼的形成機理十分復雜，沒有直接的測量和分析方法，難以用精細理論來分析，而主要采用宏觀總體的表達方法，由此出現(xiàn)了不同的阻尼模型理論［3－4］.由于工程實際的需要，目前廣泛采用的阻尼模型為Rayleigh阻尼，其假定結構的振型阻尼比只能處于某一范圍且前幾階振型阻尼比相同.對此，我國規(guī)范［5］規(guī)定，一般鋼結構取0.02，混凝土結構為0.05.已有不少的研究揭示，采用這種模型計算所得結果和實際的結構反應有較大差別［6－7］.筆者基于振動臺模型的試驗結果，首先采用不同的計算方法，對模型的頻率及阻尼比進行識別，再分別采用Rayleigh阻尼和Caughey阻尼進行仿真分析，從而揭示不同阻尼模型的適用性及對反應的影響規(guī)律.

1 試驗概況

模型為10層框架結構，立面見圖1所示.層高20cm，柱和梁的橫截面尺寸分別為4cm×4cm和3cm×4cm，樓板厚度為1cm，選用微粒混凝土及成品鍍鋅鋼絲網制作.其中，微粒混凝土彈性模量E＝7500MPa，密度ρ＝1933kg·m－3.圖2為相應的傳感器布置，圖3為模型試驗照片.

阻尼比的計算，分別采用自由衰減振動方法、白噪聲作用下傳遞函數(shù)的修正半功率譜法以及基于HHT（Hilber－Huang Transform）的參數(shù)識別方法.

1.1 自由衰減

在模型頂部布置加速度傳感器，使框架頂部偏移，瞬間釋放后為自由衰減振動.測試結果如圖4所示.取其平均值計算，得出第1階頻率為6.64Hz，阻尼比為0.052.

1.2 振動臺半功率譜法［8－9］

經白噪聲掃描，各測點（A1～A6，位置見圖2）的傳遞函數(shù)如圖5所示.可看出，對應于1階頻率，峰值曲線較為光滑，可大致估算出模型的第1階頻率為6.73Hz.從圖5的傳遞函數(shù)中可看出，不同測點的傳遞函數(shù)規(guī)律不同，顯示出各階振型的參與程度不同.前3階水平振型如圖6所示.在第1，2，3階振型圖中，第10，4，6層都分別達到了較大的值，分別對應測點A6，A3，A4.故分別采用A6的第1階頻率、A3的第2階頻率、A4的第3階頻率來估算相應的阻尼比.

由于傳遞函數(shù)的高階頻率對應的曲線帶有較多的毛刺，系試驗中的噪聲干擾，故首先對實測曲線插值擬合，結果見圖7，然后采用半功率譜方法計算.

1.3 基于 HHT的參數(shù)識別［10－13］

1999年，Yang首先將HHT變換用于結構的參數(shù)識別，得到了結構的頻率及阻尼.此后經過不斷的擴展及改進，得到廣泛認可.HHT是一種基于經驗模式的模態(tài)分解，核心是EMD（empiricial mode decomposition，經驗模態(tài)分解）分解，能夠很容易地得到結構的前幾階模態(tài)反應.當用于參數(shù)識別時，目前的問題就是模態(tài)混疊.通過查閱以往文獻，得到的解決辦法主要有兩種，一是應用頻率截斷準則，對每次分解的IMF（intrisic mode function，本征模態(tài)數(shù)組）分量設置截斷頻率；二是先將信號通過帶通濾波器，再對得到的信號進行EMD分解，應用HT（Hilbert Transformation）變換得到結構的各參數(shù).本試驗采用第二種方法.經EMD分解得到IMF分量后，由于是經過帶通濾波的，故僅分析第1階分量，再應用隨機減量方法，得出相應模態(tài)的自由衰減振動，經HT變換，再應用最小二乘法擬合，即可得到所需結果.

圖8為白噪聲作用下測點A6的加速度反應.由前面分析結果可知，前3階頻率分別大致為6.75，23.1，48.3Hz.將原始信號分別通過4～10Hz，21～26Hz，45～52Hz的帶通濾波器，然后分別對各信號進行EMD分解，共分解出9個分量C1～C9，（如圖9所示）.圖10為信號通過4～10Hz的濾波器后第1個IMF分量應用隨機減量法得到的結果，圖11為對圖10中的經HT變換后的幅值及相位曲線根據最小二乘法得到的結果.從幅值圖中可看出存在著端點效應［14］，可采用鏡像延拓等方法消除.從圖11b中的直線斜率ωd＝43.05rad·s－1，圖11a的斜率ξω＝1.47，可得出第1階頻率f1＝6.85Hz，第1階阻尼比ξ1＝0.034.同理，可得出2階和3階的頻率及阻尼比.

圖8 白噪聲掃描時程圖Fig.8 Time history of white noise scan

從試驗結果中采用三種不同方法解得模型結構前3階自振頻率與相應的振型阻尼比，如表1所示.

表1 模型自振頻率及阻尼比Tab.1 Natural frequency and damping ratio of the model

由表1結果可知，采用不同的分析方法，結構振型阻尼比相差比較大，且變化規(guī)律也不一樣，半功率譜方法得出的阻尼比越來越小.下面對這兩組阻尼比，采用不同的阻尼模型，進行相應的數(shù)值模擬.

2 模型地震反應的數(shù)值模擬

2.1 阻尼模型介紹

Rayleigh阻尼為目前應用最為廣泛的阻尼模型［9］，即假定結構的阻尼矩陣是質量矩陣和剛度矩陣的線性組合，由兩個階的自振頻率及對應的振型阻尼比來確定其他階的阻尼比.一般工程中，低階振型在結構的動力反應中起主導作用，通常采用前兩個階的振型及阻尼比來簡化計算.表達形式為

Caughey阻尼又稱擴展的Rayleigh阻尼，可寫成如下形式：

式（1）和（2）中：ξn表示振型阻尼比；ωn表示頻率；a0，a1，ab為系數(shù).

當已知結構的多階自振頻率及對應的振型阻尼比時，可采用Caughey阻尼計算.但是如果階數(shù)太多，可能造成病態(tài)方程組，出現(xiàn)奇異解.本試驗取四項，b從0開始，包括Rayleigh阻尼，并向后擴展兩項.由于第4階阻尼比無法測出，根據第3階阻尼比及工程經驗，假定為0.03.圖12顯示了對應本實驗的Rayleigh阻尼與Caughey阻尼曲線的不同，當指定1，2階阻尼比時，高階阻尼比會隨著頻率的增大而增大，但Caughey阻尼可以通過指定多個阻尼比，而使對于結構反應有較大影響的、對應頻率分量的阻尼比較為精確.

2.2 數(shù)值模擬結果

在振動臺模型試驗中，分別設計3條不同頻率成分的輸入地震波，依據地震波頻譜的不同，分別選擇了低頻、中頻、高頻含量的地震波.所謂高頻，是指輸入地震波的主要頻率成分遠高于結構的第1階自振頻率，也略高于第2階自振頻率.輸入幅值均為0.15g，實測基礎底部的時程及頻譜如圖13所示.

表2列出了分別采用半功率譜方法及HHT方法所得的模型結構前3階振型阻尼比時，應用Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型在3條不同地震波作用下模型結構加速度反應峰值的計算結果，并與模型試驗實測數(shù)據對比，Rayleigh阻尼用第1，2階自振頻率和對應的振型阻尼比確定.為了使結果更加清晰，將不同工況下各樓層峰值加速度的放大系數(shù)隨高度的變化作于圖14.可看出，在低、中頻地震波作用下，Rayleigh與Caughey阻尼模型的計算結果基本一致，加速度峰值從底層到頂層逐漸增大，主要為第1，2階振型參與；在高頻地震波下，兩種模型所得的計算結果有較大差別，Caughey的結果更接近于實驗，其中第6層的差別最大，主要是由于第3振型的參與程度較大.可從圖5的傳遞函數(shù)圖中看出，當采用Rayleigh阻尼的1和2階振型阻尼比時，高階振型的阻尼比被高估，從而使結構的反應減小.

在低、中頻地震波作用下，當采用HHT方法得出阻尼比時，計算結果比采用半功率譜的方法更接近于實驗結果.但是在高頻地震波作用下，情況剛好相反，說明了采用HHT方法估算的低階阻尼比要比半功率譜方法更精確.但對于第3階振型阻尼比的結果恰恰相反.同時也可以看出，在高階地震波作用下時，采用Caughey阻尼模型計算所得的模型結構地震反應更接近于實測結果.

表2 按不同方法確定的阻尼比計算所得的反應結果對比Tab.2 Comparison of response results using damping ratio acquired from semi－power spectrum method g

圖15為低、中頻作用下，采用HHT方法識別阻尼比時，頂層加速度實測數(shù)據與Caughey阻尼計算結果的對比圖.圖16為高頻作用下，采用半功率譜方法得出的阻尼比時，頂層及第6層加速度實測數(shù)據與Caughey阻尼的計算結果對比.為了顯示清楚些，僅截取了包含峰值部分的反應.

3 結論

（1）當?shù)卣鸩ǖ念l率主要集中在結構的前2階范圍內時，采用Rayleigh阻尼模型的前2階阻尼比是可行的；但當主要激勵頻率遠高于結構基頻時，會誤差較大，而Caughey阻尼能更好地反映實際情況.

（2）采用基于HHT方法得出的低階振型阻尼比計算所得模型結構的地震反應，更接近試驗結果，由半功率譜方法得出的阻尼比更精確，但是高階振型阻尼比卻是由半功率譜方法得出的更接近于試驗結果.

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