夏才初，孫 猛，張國柱，肖素光

（1.同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092；2.同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092）

在地下連續(xù)墻施工時，將熱交換管綁扎在鋼筋籠的主筋上而隨鋼筋籠下放至指定深度后再澆筑混凝土，可以將熱交換管與地下連續(xù)墻結合在一起形成地下?lián)Q熱器（見圖1）.換熱器內部循環(huán)介質不斷流動便可以吸收地下連續(xù)墻及周圍土體的淺層地溫能，經(jīng)熱泵提升后供上部建筑冬季制熱、夏季制冷，并全年提供熱水［1］.該技術的埋管施工與地下連續(xù)墻施工協(xié)同進行，額外工程費用少，又不需要額外占地面積，還省去室外機或冷卻塔，且系統(tǒng)運行穩(wěn)定，傳熱效果好，能解決在城市中推廣地源熱泵技術占地和初投資高的兩個主要障礙，在人口密集的城市地區(qū)具有廣闊的應用前景［1－2］.20世紀90年代起，奧地利率先在維也納地鐵2號線車站的地下連續(xù)墻內埋管并投入使用［3］，我國在建的新上海自然博物館（上海科技分館）也采用了該項技術.

圖1 地下連續(xù)墻內埋管示意Fig.1 Schematic diagram of geothermal heat exchangers embedded in diaphragm walls

建立較為準確的地下連續(xù)墻內埋管傳熱模型是合理設計埋管換熱器的前提，是降低工程造價的重要途徑，也是推廣該項技術的關鍵之一.由于地下連續(xù)墻的尺寸較大（寬度約0.8～1.0m），其熱容不可忽略.建立傳熱模型時，需考慮地下連續(xù)墻和土體兩種不同的介質，故地下連續(xù)墻內埋管與傳統(tǒng)的垂直地埋管傳熱模型有較大的不同，樁埋管模型在此也并不適用.然而，地下連續(xù)墻內埋管技術是地源熱泵技術的一個嶄新的研究方向，國內外對其傳熱模型方面的研究并不多見.奧地利學者Brandl，Adam等對地下連續(xù)墻內埋管技術進行了現(xiàn)場測試和數(shù)值模擬工作，沒有研究傳熱模型［3－5］.曹詩定初步分析地下連續(xù)墻內埋管的傳熱模型，建議采用三個基本傳熱模型——平面熱源、柱面熱源和球面熱源模型以分析傳熱［6］，然而，實際的地下連續(xù)墻內埋管情況十分復雜，需要建立更準確的傳熱模型.

筆者首先根據(jù)地下連續(xù)墻內埋管的實際情況，建立開挖面以上和開挖面以下兩部分的地下連續(xù)墻內埋管傳熱模型，然后采用格林函數(shù)法［7－16］推導其解析解，并給出了該模型在地下連續(xù)墻內埋管溫度場分析和參數(shù)優(yōu)化分析方面的應用實例.

1 傳熱模型

1.1 模型基本假定

根據(jù)地下連續(xù)墻內埋管的特點，建立傳熱模型時作如下假設：① 地下連續(xù)墻的外側與土體緊密接觸，無接觸熱阻；② 開挖面以上，地下室外墻內側與空氣直接接觸，為對流邊界條件，開挖面以下的地下連續(xù)墻內側與土體緊密接觸，無接觸熱阻；③ 假定兩相鄰熱交換管之間的距離以及每組熱交換管兩支管之間的距離均相同；④ 忽略熱交換管內流體流動產(chǎn)生的軸向對流傳熱，并假設每組U形熱交換管進、回水支管的溫度相同；⑤ 材料的熱物理參數(shù)不隨溫度而變化；⑥ 由于熱交換管的直徑遠小于地下連續(xù)墻的尺寸，為簡化計算，將每個熱交換管的支管假定為一個點熱源；⑦ 假定地下連續(xù)墻無限長，可近似為無橫向傳熱，計算單元之間為絕熱邊界條件，故可取一個計算單元來研究.

根據(jù)假定，開挖面以上的地下連續(xù)墻內埋管傳熱模型可取圖2所示的計算模型.模型的地下連續(xù)墻左側臨空面為對流邊界；右側與土體緊密接觸（忽略接觸熱阻）；土體右邊界取足夠遠，可認為右邊界的土體溫度不受熱交換管運行的影響，假定為恒溫邊界.計算單元的上下邊界假定為絕熱邊界.

圖2 開挖面以上的地下連續(xù)墻內埋管傳熱模型Fig.2 Heat transfer model of heat exchangers embedded in diaphragm walls over excavation face

開挖面以下的地下連續(xù)墻內埋管傳熱模型可取圖3所示的計算模型.開挖面以下的地下連續(xù)墻左右兩側均與土體緊密接觸（忽略接觸熱阻）；兩側土體的遠邊界取足夠遠，假定為恒溫邊界.計算模型的上下邊界取為絕熱邊界.

圖3 開挖面以下的地下連續(xù)墻內埋管傳熱模型Fig.3 Heat transfer model of heat exchangers embedded in diaphragm walls under excavation face

1.2 開挖面以上模型基本方程

基于能量守恒原理，可以得到開挖面以上的地下連續(xù)墻內埋管傳熱模型的傳熱微分方程及其邊界條件

初始條件

邊界條件

式中：T1，T2分別為地下連續(xù)墻、土體的溫度，℃；k1，k2分別為地下連續(xù)墻、土體的導熱系數(shù)，W·（m·K）－1；ql為熱交換管支管每延米換熱量，W·m－1；ρ1，ρ2分別為地下連續(xù)墻、土體的密度，kg·m－3；Cp1，Cp2分別為地下連續(xù)墻、土體的比熱容，J·（kg·K）－1；h為地下連續(xù)墻臨空面與空氣之間的對流換熱系數(shù)，W·（m2·K）－1；f（t）為氣溫，℃；T0為未擾動之前的原始地溫，℃；t為時間，s；δ（x－a）δ（y－b）為狄拉克函數(shù).

1.3 開挖面以下傳熱模型基本方程

基于能量守恒原理，可以得到圖3所示傳熱模型的傳熱微分方程及其邊界條件

初始條件

邊界條件

連續(xù)條件

2 傳熱模型的求解

2.1 開挖面以上埋管傳熱模型

方程組（1）為帶有隨時間變化的內熱源、非齊次邊界條件和初始條件的復合介質熱傳導問題.對于復合介質在有內熱源作用時的傳熱模型及其解答，國內外已經(jīng)有了相對成熟的研究.Salt［7－8］給出了二維、各向同性復合板瞬態(tài)溫度場的解答.Mikhailov等［9］對Salt給出的問題給出了三維解答.Haji－Sheikh，Aviles－Ramos，Yan等［10－15］對多維、多層介質瞬態(tài)溫度場特征值和特征函數(shù)的計算方法進行了研究并給出了在不同邊界條件下的解答.Man等基于格林函數(shù)法給出了鉆孔埋管和樁基內埋管的新模型及解析解［16］.筆者基于格林函數(shù)法，給出了開挖面以上和以下兩部分埋管傳熱模型的解答.

為求得所需的格林函數(shù)，需先求得方程組（1）的齊次形式的解，即

邊界條件

連續(xù)條件

采用分離變量法將ψi分離成空間函數(shù)與時間函數(shù).其形式為

將式（4）代入式（3a），可得

將式（6），（7）代入式（5），可得

由式（6）可以得到函數(shù)Y（y）的解為

Ym（y）只對分離參數(shù)β取一些特定值，β＝βm時才有解，稱為特征函數(shù)，這些分離的參數(shù)值稱為特征值.將式（9）代入式（3d），（3e），可得

由式（8）可以得到函數(shù)X（x）的解為

將式（11）代入式（3b），（3c），（3f），（3g），可得

將式（13）代入式（3c）可以求得特征值γi，mn和mn 以及特征函數(shù)Xi，mn，i＝1，2，m＝0，1，2，3，…，n＝1，2，3，…，則所需的格林函數(shù)為

式中：i＝1，2；j＝1，2；m＝0，1，2，3，…；n＝1，2，3，…

最后，方程組（1）的一般解可表示為

式（17）中，Ui（x，y，t）由四項組成，前兩項為兩個內熱源的影響，第3項為對流邊界條件（非齊次邊界）的影響，第四項為原始地溫的影響.當模型中有更多的點熱源時，可根據(jù)各點熱源的坐標和點熱源的強度ql（t）按疊加原理求得.

2.2 開挖面以下埋管傳熱模型

同理，可以得到開挖面以下地下連續(xù)墻內埋管傳熱模型的一般解

Ny，m同式（16）.

3 算例分析

3.1 計算參數(shù)

以上海自然博物館為例，對開挖面以上的地下連續(xù)墻內埋管進行分析.該館位于上海市靜安區(qū)雕塑公園內，周邊由山海關路、北京西路、石門二路和成都北路圍合.建筑地上3層，地下2層，總建筑面積45086m2.建筑功能主要為展廳，另有藏品室、辦公室等輔助用房，地鐵13號線從其下部穿越.為了采用可再生能源以節(jié)能減排，展廳和藏品庫等大空間采用地源熱泵系統(tǒng)來承擔建筑冬季熱負荷和夏季冷負荷.受施工場地限制，地源熱泵系統(tǒng)地下?lián)Q熱器布置在地鐵連續(xù)墻內、自然博物館外圍連續(xù)墻內以及自然博物館地下室范圍的灌注樁內.其中，灌注樁埋管393個，有效深度45m；地下連續(xù)墻內埋管452個，有效深度為30～38m.

計算模型的尺寸及熱交換管的位置見表1.墻體及土體的熱物理參數(shù)見表2.取混凝土與空氣的對流換熱系數(shù)4.76W·（m2·K）－1，氣溫18℃，熱交換管支管每延米的換熱量20W·m－1，墻體及土體原始溫度20℃.

表1 計算模型尺寸及熱交換管位置Tab.1 Sizes of calculation model and position of heat exchanger tubes m

表2 地下連續(xù)墻和土體的熱物理參數(shù)Tab.2 Thermophysics parameters of diaphragm walls and soil

3.2 計算結果及分析

地下連續(xù)墻內埋管模型的解析解具有顯式的表達式，借助Mathematica數(shù)學軟件可以得到任意時刻地下連續(xù)墻和土體的溫度場分布.運行5，10，20，30d時的地下連續(xù)墻內的溫度場分布見圖4.

本傳熱模型中，ql（τ）是時間的函數(shù)，可以考慮內熱源為變熱流的情況.表3列出了地下連續(xù)墻內埋管三種不同的運行工況，通過傅里葉變換，可以將間歇運行的熱流轉換為隨時間變化的函數(shù)［6］.

表3 熱交換管間歇（連續(xù)）運行工況Tab.3 Intermittent（or continuous）operation conditions of heat exchangers

三種不同工況下，某支管的管壁處（x＝0.900，y＝0.825）溫度隨時間的變化關系見圖5.由圖可以看出，間歇運行對于熱交換管周圍地溫恢復、提高地源熱泵運行效率顯著.

圖5 不同運行工況下管壁溫度隨時間的變化Fig.5 Temperature－time curves of pipe wall in different operation conditions

4 結論

（1）所建立的地下連續(xù)墻內埋管換熱器開挖面以上和以下兩部分的傳熱模型，可分析帶有隨時間變化的內熱源、非齊次邊界條件的復合介質熱傳導問題，適用于地下連續(xù)墻內埋管的實際情況.

（2）由格林函數(shù)法推導的地下連續(xù)墻內埋管傳熱模型的解析解，具有顯式的表達式，可以求得任一時刻整個計算模型的溫度場分布，也可以求得任一點的溫度隨時間的變化情況.

（3）地下連續(xù)墻內埋管傳熱模型及其解析解，可用于埋管布置形式、埋管間距以及間歇運行時間等參數(shù)的優(yōu)化分析.

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