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(青田縣教師進修學校 浙江青田 323900)

形似高考實不同歷經(jīng)風雨顯彩虹
——高考數(shù)學模擬試題命制之我見

●蔣海甌

(青田縣教師進修學校 浙江青田 323900)

高考是知識和能力的雙重較量，更是意志和品質的兩重競爭.高考模擬考試是高考前的一種模擬演練，更是一種仿真的實戰(zhàn)演習.毋庸置疑，高考模擬試題必須和高考試題保持高度的一致，包括試卷結構、題型布局、考核目標、考查要求、命題思想、命題原則、內容分布、難度控制等都必須一脈相承，嚴格按考試大綱來命制，遵循高考命題的所有規(guī)則.如高考數(shù)學模擬試題必須按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導思想，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測考生的數(shù)學素養(yǎng)，同時兼顧文理考生的素質差異，試題應具有較高的信度、效度、必要的區(qū)分度和適當?shù)碾y度等.盡管如此，高考模擬考試與高考畢竟是2種不同性質的考試，兩者之間有著不同的測試功能，相對于高考而言，模擬試題的命制有其自身獨有的視角與定位，有著自身獨特的切入點與著力點.

1 高考模擬試卷命制的視角與定位

不同類型的考試有著不同的測試功能.高考是選拔性考試，是一種終結性考試，其優(yōu)勝劣汰的結局涇渭分明，短時間內無法補救更無法重來，正所謂“一卷定終生”、“此去不復返”，高考試卷極具“選拔功能和教育導向功能”.高考模擬考試是正式高考的熱身賽與前哨戰(zhàn)，通過模擬考試“旨在診斷前一階段全面復習的教學效果，及時檢測學生對基礎知識、基本技能和基本思想方法的掌控程度，及時反饋學生運用所學知識與方法解決問題的能力水平，從而為調整下一步復習進程與提高復習效應，收集翔實可靠的現(xiàn)實信息，提供真實有效的決策依據(jù)，進而為決勝最后的高考大戰(zhàn)鋪平道路”.因而高考模擬試卷側重于“診斷、檢測及反饋”、“能力水平測試”與“階段形成性考核”功能，它是一種階段性考試，成則更好而敗也無妨.依筆者之見，為了讓高考模擬考試“診斷、檢測、反饋與水平測試”的功能發(fā)揮極致直至產(chǎn)生最大的效應，應當秉持“將暴露進行到底，把考驗演繹徹底”的思想理念.高考模擬試題除了嚴格按高考考試大綱命制以外，設計可更具“誘惑性、迷惑性乃至疑惑性”，策劃更富“警示性、啟發(fā)性乃至挑戰(zhàn)性”，考問更有“思想性、思辨性乃至交匯性”，以便使學生的各種“思維誤區(qū)、思想障礙、解法錯誤、知識缺陷”都能“充分暴露在模擬考試之中，完全消除在正式高考之前”，使學生的“數(shù)學基礎知識、數(shù)學思想方法、數(shù)學基本能力”都能得到“更有效的強化性演練、更科學的針對性提高”，從而“實現(xiàn)高考模擬考試模擬價值的最大化”，進而“全面奪取高考的終極勝利”.

2 高考數(shù)學模擬試題命制之我見

2.1 試題設計“巧設疑惑，善作隱藏”，考題未必“那么難”，但思考求解“有糾纏”，力求“查漏補缺匠心獨運，強基固本別出心裁”

模擬考試的宗旨是“為了高考，服務高考，劍指高考”.為了診斷學生的思維缺失，暴露學生的思維誤區(qū)，檢測學生的解題缺陷，模擬試題要巧妙地設置一些“誘惑性、迷惑性、疑惑性”的條件或結論，讓學生思考求解時產(chǎn)生一定的干擾性與糾纏性.學生若對此“誘而不惑”，那是教師的渴望；若“誘而致憾”，教師便找到了教學的缺憾，只要據(jù)此強化下一步的訓練使其“不重犯”，就有可能實現(xiàn)高考時的“不遺憾”.要善于將有關知識內容有意識地加以“替換、變換乃至隱含、隱藏”，由此可以較好地測試學生的觀察分析、閱讀理解、化歸轉化等數(shù)學基本能力，從而發(fā)揮模擬試題查漏補缺、強基固本的最大功效.

例1把形狀大小完全相同分別標有1，2，3的3個小球隨機地放在編號分別是1，2，3，4的4個盒子中，則1號盒子內有球的不同放法有

( )

A．10種 B．24種 C．37種 D．48種

試題簡解

方法1(正面直接求解) 按第1號盒內“放1個小球、2個小球、3個小球”求解，有

故選C.

方法2(正難則反，反面排除求解) 3個球任意放置有43種放法，而其中第1號盒子無球的有33種，故有43-33=37種.

評注本題若設計成“填空題”，則會出現(xiàn)更多不同的答案，得分率會更低.由此引導學生解排列組合問題一般采用“整體分類，局部分步，不重不漏，多方求解，殊途同歸”，最后找到正確答案.

圖1

例2函數(shù)y=f(x)的圖像是圓心在原點的單位圓的2段圓弧(如圖1所示)，則不等式f(x)

設計意圖數(shù)學語言是數(shù)學思維的載體，數(shù)學學習實質上是數(shù)學思維活動.數(shù)學語言又可歸結為文字語言、符號語言、圖表語言3類.本題將函數(shù)的表達式(符號語言)用圖形(圖形語言)來表示(實際上將

隱含在圖形之中)，而將函數(shù)的奇偶性悄悄地蘊含與隱藏在圖形的對稱性之中，可以很好地診斷與檢測學生的看圖、識圖、用圖能力，信息處理能力，數(shù)形結合能力和不等式與方程之間的相互轉化、化歸能力以及思維的靈活性與變通性.事實上,本題的簡明設計是在考查直線與圓的位置關系，可以避開函數(shù)的解析式而利用“平面幾何中圓的性質”快速得出問題的答案；若用解“由圓弧方程與直線方程組成的方程組”的方法來求解，反而不簡便也不方便，問題的處理測試與考驗著學生的基本數(shù)學素養(yǎng).

試題簡解由y=f(x)的圖像關于原點對稱，知y=f(x)是奇函數(shù).由f(x)

f(x)<-f(x)+x，

即

評注本題若設計成“選擇題”，用“特值排除法”很容易剔除掉不正確的答案，使試題達不到應有的檢測效果.

2.2 試題設計“看似平常，實則新奇”，考題未必“那么深”，但思維測試“顯本真”，力求“思想方法融里邊，知識技能兩相兼”

高考命題“以知識為基礎，以問題為載體，以思維為主線，以能力為準繩”，堅持能力立意不動搖，注重對數(shù)學思想方法的考查，注重對以思維能力為核心的各種數(shù)學能力的考查.事實上，數(shù)學思想方法是數(shù)學知識在更高層次的概括與提煉，是將知識轉化為能力的橋梁和紐帶.數(shù)學思想與方法常?！坝谄椒仓庯@神力，于細微之處見真功”，有著“以不變應萬變”的奇妙效應，在許多問題的求解中發(fā)揮著獨有的作用，煥發(fā)出獨特的魅力.高考模擬考試對此必須做到足夠的重視與全面的演練，要善于設置一些問題——將“基礎的知識、熟悉的載體、常見的背景、基本的方法”巧妙地融合在一起，看似平常、貌似平淡但運用特定數(shù)學思想方法方能破解或用數(shù)學思想方法能夠簡化求解.從而進一步引領學生“不僅要學會用數(shù)學知識解決數(shù)學的問題，更要善于運用數(shù)學的思想與方法破解數(shù)學的問題”，著力彰顯數(shù)學思想與方法在應對各種問題時的技術功力與非凡功能，凸現(xiàn)其“四兩撥千斤，不變應萬變”的神奇效力.

(2)發(fā)現(xiàn)對于等差數(shù)列{an}中的任意3項am,an,ak(m,n,k互不相同)，有下列等式

(n-k)am+(k-m)an+(m-n)ak=0

成立.記等差數(shù)列{an}的前m,n,k項的和依次為Sm,Sn,Sk，則類似地，在等差數(shù)列{an}中，對于Sm,Sn,Sk有等式________成立.

設計意圖近幾年的數(shù)學高考頻頻出現(xiàn)簡單的合情推理試題，如2010年浙江省數(shù)學高考理科試題第14題：

試題簡解(1)由

得

(2)由等差數(shù)列的求和公式，得

例4已知圓的極坐標方程為

(1)求這個圓的普通方程和一個參數(shù)方程；

(2)設P(x,y)為上述圓上的任意一點，求xy的最值．

設計意圖試題表面非常平實，題面干練簡潔，考查圓的普通方程(直角坐標方程)、極坐標方程、參數(shù)方程及其3種方程之間的互化等基礎知識．但平實之中有驚險，通過“求xy的最值”這一問題的設計，提升了檢測功能，能綜合考查學生思維的靈活性，考驗學生能否選用“圓的參數(shù)方程”來簡化問題的求解過程以及是否掌握用“代數(shù)換元法”來求解“含有sinθ+cosθ與sinθcosθ的三角函數(shù)最值”等基本技能．

試題簡解(1)原方程可化為

即

此即為所求的一個參數(shù)方程.

(2)由第(1)小題知

從而

2.3 試題設計“知識交匯，方法交融”，考題未必“那么繁”，但考查內涵“更周全”，力求“會一題便能通一片，牽一發(fā)就可動全身”

注重學科的內在聯(lián)系和知識的綜合性，從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡交匯點設計試題，使對數(shù)學基礎知識的考查達到必要的深度，這是高考數(shù)學向來的命題方向.高考模擬考試要堅持不出偏題、難題與怪題，考題要注重利用學生熟悉的與常見的問題為背景.通過條件的巧妙設計、問題的精心設置，著力于數(shù)學學科知識間的交匯與方法間的交融，努力拓展問題考查的知識點與輻射面，力求對有關支撐學科知識體系的重點內容與主干知識的考查達到“橫向到邊，縱向到底，不留死角，一網(wǎng)打盡”之境地，力圖步入“會一題便能通一片，牽一發(fā)就可動全身”之境界，從而發(fā)揮模擬考題功能的最大效應.

例5已知向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C,且A,B,C分別為△ABC的邊a,b,c所對的角.

(1)求∠C的大小；

試題簡解(1)由題意得

m·n= sinA·cosB+sinB·cosA=

sin(A+B)=sinC，

因為

m·n=sin2C，

所以

sin2C=sinC.

(2)由已知2sinC=sinA+sinB，又由正弦定理，得

2c=a+b.

abcosC=18,ab=36,

從而

由余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=

4c2-3ab，

從而

c=6．

圖2

(1)求橢圓的方程；

設計意圖解析幾何的綜合問題在高考中每年都有一道大題，主要考查直線與圓錐曲線的位置關系以及解析幾何的基本思想.由于對雙曲線的考查要求降低，一般以直線與橢圓、拋物線的位置關系為考查重點.而平面向量知識的加盟，又給此類問題的設計與布局展現(xiàn)了新的風姿，平添了新的視角，增添了新的考查內涵.問題的求解常常要用到“數(shù)形結合、化歸轉化、分類討論、設而不求、減元消元”等重要的數(shù)學思想與方法，綜合測試學生分析問題、解決問題的能力.事實上，求解直線與圓錐曲線的位置關系這類問題，一般會用到以下基本思想和方法：

(3)易知F1(-1,0),F2(1,0).

②若AB與x軸不垂直，設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x+1).由

得

(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0.

因為Δ=8k2+8>0,所以方程有2個不等的實數(shù)根．設A(x1,y1)，B(x2,y2),則

(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=

(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2=

模擬試題形似高考試題，卻又不同于高考試題.高考模擬試題的命制，要力求“查漏補缺匠心獨運，強基固本別出心裁；思想方法融里邊，知識技能兩相兼；會一題便能通一片，牽一發(fā)就可動全身”，力圖經(jīng)歷模擬試題的磨礪與洗禮，最終贏得高考大戰(zhàn)的成功與喜悅！