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(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004)

“找規(guī)律”課例簡(jiǎn)析

●朱哲

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004)

2011年11月26日至28日，國(guó)家社科基金教育學(xué)重點(diǎn)課題“基礎(chǔ)教育未來(lái)發(fā)展新特征研究”課題組在成都錦江區(qū)召開(kāi)專題研討會(huì).會(huì)議圍繞“當(dāng)代學(xué)習(xí)科學(xué)的新進(jìn)展及其對(duì)課堂教學(xué)創(chuàng)新的啟示、個(gè)性化教與學(xué)方式的變革、課堂教學(xué)進(jìn)程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、信息技術(shù)與學(xué)科課堂教學(xué)的整合”4個(gè)主題展開(kāi)交流與研討.28日上午，會(huì)議安排參會(huì)人員到成都市田家炳中學(xué)、成都七中育才學(xué)校、成都師范附屬小學(xué)等中小學(xué)校聽(tīng)課、觀摩.

筆者在成都七中育才學(xué)校聽(tīng)了4節(jié)課，其中一節(jié)是數(shù)學(xué)課，教師A上課的內(nèi)容是“找規(guī)律——專題課”，上課對(duì)象為8年級(jí)學(xué)生.本文從內(nèi)容結(jié)構(gòu)、猜想后的驗(yàn)證、歷史文化的滲透這3個(gè)角度對(duì)該節(jié)課進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析，同時(shí)也引發(fā)了筆者對(duì)構(gòu)建“適合學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)”的思考.

1 內(nèi)容和結(jié)構(gòu)

本節(jié)課結(jié)構(gòu)脈絡(luò)非常清晰，教學(xué)流暢有序，主要由5個(gè)活動(dòng)組成：

活動(dòng)1:情境引入；

活動(dòng)2:由數(shù)字變化找規(guī)律；

活動(dòng)3:由圖形變化找規(guī)律；

活動(dòng)4:由變化周期找規(guī)律；

活動(dòng)5:回顧反思.

其中，活動(dòng)2～4由若干例題和練習(xí)組成，并對(duì)解決此類問(wèn)題的方法進(jìn)行了歸納和小結(jié).在活動(dòng)2中，教師給出一組例題，由4個(gè)小題組成，如：

下列各題給出的是有規(guī)律的一列數(shù)，請(qǐng)觀察這組數(shù)的規(guī)律，并回答：1，3，5，7，____，…，第n個(gè)數(shù)為_(kāi)___.

針對(duì)這些例題探索尋找規(guī)律的方法，最后，又給出2道練習(xí)，如：

1，4，7，10，13，____，…，第n個(gè)數(shù)為_(kāi)___.

在活動(dòng)3中，教師先出示問(wèn)題1：

圖1

問(wèn)題1用同樣大小的黑色棋子按如圖1所示的方式擺放圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需要棋子____枚(用n的代數(shù)式表示).

活動(dòng)2是研究“數(shù)”的問(wèn)題，活動(dòng)3研究的是“點(diǎn)”的問(wèn)題.此外，活動(dòng)3的問(wèn)題與活動(dòng)2中的例題和練習(xí)是沒(méi)有聯(lián)系的.若將圖形調(diào)整為如圖2所示，則由活動(dòng)1到活動(dòng)2的過(guò)渡就顯得自然流暢了.

圖2

這里，同一問(wèn)題的不同表述(數(shù)字表征和圖形表征)使教學(xué)中的2個(gè)活動(dòng)自然地銜接起來(lái).同時(shí)也讓學(xué)生明白，解決圖形問(wèn)題的方法是先確定基本圖形，然后再尋找數(shù)字規(guī)律.如此一來(lái)，就可以將活動(dòng)3化歸為活動(dòng)2了.之后，教師又出示問(wèn)題2：

問(wèn)題2圖3是用相同長(zhǎng)度的小棒擺成的一系列圖形，按這種方式擺下去，則第n個(gè)圖形需要小棒____根.

圖3

問(wèn)題2可以看成是“線”的問(wèn)題，而其后的練習(xí)題，則是“面”或“形”的問(wèn)題,如：

練習(xí)題如圖4，將(1)所示的正六邊形進(jìn)行分割得到(2)，再將(2)中最小的某一個(gè)正六邊形按同樣的方式進(jìn)行分割得到(3)，再將(3)中最小的某一個(gè)正六邊形按同樣的方式進(jìn)行分割，……，則第n個(gè)圖形中，共____有個(gè)正六邊形.

圖4

在這一題中，教師再次引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)分層次觀察圖形，即由外一層到里一層逐層地觀察圖形的局部特征、找圖形之間聯(lián)系的方法.

在活動(dòng)4中，教師出示問(wèn)題3：

問(wèn)題3觀察下列圖形的排列規(guī)律(其中是△三角形，□是正方形，○是圓)，□○△□□○△□□○△□□○△□□○△□…，若第1個(gè)圖形是正方形，則第2 011個(gè)圖形是____(填圖形名稱).

隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考這些圖形具有哪些規(guī)律.同樣是關(guān)于圖形的問(wèn)題，活動(dòng)3中的練習(xí)題是關(guān)于圖形的“組合”，而活動(dòng)4則是關(guān)于圖形的“排列”.

由此，可以勾勒出本節(jié)課的線索：內(nèi)容是找規(guī)律，由找數(shù)字規(guī)律、找圖形規(guī)律、找周期規(guī)律3個(gè)活動(dòng)組成.這3個(gè)活動(dòng)中所安排的例題和練習(xí)，又以“數(shù)—點(diǎn)—線—面(圖形的組合—圖形的排列)”這一線索安排.教師在設(shè)計(jì)時(shí)也許未必意識(shí)到這條線索，若認(rèn)識(shí)到，并有意地將其自然地貫穿起來(lái)，則教學(xué)會(huì)更加流暢和順利.適合學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是線索明晰、結(jié)構(gòu)流暢的教學(xué)，讓學(xué)生的思維在教師的引導(dǎo)下自然而主動(dòng)地流淌.

2 猜想之后的驗(yàn)證

先來(lái)看一教學(xué)片斷，要思考的是，是什么原因?qū)е铝藢W(xué)生的錯(cuò)誤？

教師在PPT上出示活動(dòng)3的練習(xí)題，學(xué)生手上的工作單上也有該題，教師讓學(xué)生先自己思考，嘗試解答.教師在教室里巡視學(xué)生解答的情況，然后開(kāi)始一段師生對(duì)話：

師：大家都做好了，我們首先請(qǐng)這位學(xué)生來(lái)說(shuō)一下.

生1：我覺(jué)得是這樣的，因?yàn)榈?個(gè)圖形里面只有一個(gè)大正六邊形，而第2個(gè)圖形是在第1個(gè)正六邊形的基礎(chǔ)上，里面又分割了3個(gè)正六邊形，也就是說(shuō)，第2個(gè)圖形里有4個(gè)正六邊形；第3個(gè)圖形，則是在第2個(gè)圖形的基礎(chǔ)上，其中一個(gè)正六邊形中又分割3個(gè)正六邊形，即在第2個(gè)圖形的基礎(chǔ)上又增加3個(gè)，所以我覺(jué)得第n個(gè)圖形應(yīng)該有2n+1個(gè)正六邊形.

師：2n+1個(gè)，有不同意見(jiàn)嗎？

生2：我覺(jué)得應(yīng)該有3n-2個(gè)正六邊形.首先第1個(gè)圖形是一個(gè)正六邊形，第2個(gè)可以看成1+3:就是外面1個(gè)大的，中間3個(gè)小的;然后第3個(gè)圖形，可以看成是1+2×3:第1個(gè)3是3個(gè)大的，然后第2個(gè)3是指第2次分割后里面的3個(gè).由此可以推斷出，第n個(gè)圖形應(yīng)該是由1+3×(n-1)個(gè)正六邊形，化簡(jiǎn)后就是3n-2.

師：好的，請(qǐng)坐.大家同意第1位同學(xué)還是第2位同學(xué)？

生：第2位.

師：哪位同學(xué)說(shuō)說(shuō)，第1位同學(xué)錯(cuò)在哪兒？

生3：第1位同學(xué)沒(méi)有考慮到正六邊形的大小，只考慮到最大的和最小的，沒(méi)考慮到重復(fù).

師：剛才錯(cuò)誤的這個(gè)同學(xué)，你來(lái)說(shuō)說(shuō).

生1：規(guī)律找對(duì)了，數(shù)字找錯(cuò)了.

那么，究竟是什么原因?qū)е聦W(xué)生的錯(cuò)誤呢？主要有以下3個(gè)原因：一是觀察不夠仔細(xì)；二是計(jì)算錯(cuò)誤；三是沒(méi)有經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)就確定答案.尤其是第3個(gè)原因，如果學(xué)生檢驗(yàn)一下就可以發(fā)現(xiàn)答案不對(duì)，然后可以自己糾正，糾其原因，還是在于教師對(duì)檢驗(yàn)不夠重視.

為什么說(shuō)教師對(duì)檢驗(yàn)這一環(huán)節(jié)不夠重視呢？考察教師A的教案，在教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過(guò)程和最后的小結(jié)里發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.

首先來(lái)看教學(xué)目標(biāo).教師A將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為3條：

(1)掌握由數(shù)字變化、圖形變化和變化周期找規(guī)律的方法.理解序列變化規(guī)律的“數(shù)與序號(hào)對(duì)應(yīng)”方法，會(huì)用符號(hào)進(jìn)行一般化的表示，發(fā)展符號(hào)感.

(2)經(jīng)歷具體問(wèn)題中對(duì)數(shù)量關(guān)系和圖形排列順序的觀察、分析、歸納、概括、猜想的過(guò)程，初步體會(huì)數(shù)學(xué)類比、轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)探索發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新能力.

(3)在大膽嘗試中獲得成功的體驗(yàn)，形成積極參與學(xué)習(xí)、勇于面對(duì)挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)態(tài)度，同時(shí)感受數(shù)學(xué)思想方法的重要性.

在教學(xué)活動(dòng)中，教師重視讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、猜想等過(guò)程，體驗(yàn)尋找規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、自主學(xué)習(xí)、合作交流，形成豐富的體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)思想方法，符合新課程所倡導(dǎo)的理念.但是，猜想之后必須進(jìn)行驗(yàn)證，觀察、分析、歸納、概括、猜想和驗(yàn)證，這是一個(gè)完整的過(guò)程.教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試猜想，但猜想不是瞎猜，大膽嘗試之后應(yīng)小心驗(yàn)證，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn).教案中的“教學(xué)目標(biāo)”雖細(xì)致，卻沒(méi)有涉及驗(yàn)證的環(huán)節(jié)及其驗(yàn)證的重要性，這是本節(jié)課最大的不足.

再來(lái)看教學(xué)過(guò)程.在活動(dòng)2～4中，教師總結(jié)解決此類問(wèn)題的方法，先由學(xué)生說(shuō)，再由教師給出.

在活動(dòng)2中，教師給出由數(shù)字變化找規(guī)律的方法：一是看相鄰數(shù)字的關(guān)系——找共同特征；二是看數(shù)字變化與序號(hào)的關(guān)系——寫出第n個(gè)式子；三看結(jié)論的正確性——驗(yàn)證第n個(gè)式子是否正確.第3個(gè)步驟提到了驗(yàn)證，但在活動(dòng)3和活動(dòng)4的小結(jié)中沒(méi)出現(xiàn).

在活動(dòng)3中，教師給出由圖形變化找規(guī)律的方法：找圖形之間的聯(lián)系——轉(zhuǎn)化為數(shù)字聯(lián)系；找每個(gè)圖形個(gè)數(shù)——轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律.在活動(dòng)4中，教師給出由變化周期找規(guī)律的方法：一看圖形或數(shù)字排列特征——找周期；二看商和余數(shù)——找對(duì)應(yīng)的圖形或數(shù)字. 教師A認(rèn)為，活動(dòng)2和活動(dòng)3可以歸結(jié)為活動(dòng)1的數(shù)字問(wèn)題，故沒(méi)提及驗(yàn)證.但事實(shí)上，這是學(xué)生最容易忽視的，因此依然需要反復(fù)強(qiáng)調(diào).

再來(lái)看最后的活動(dòng)5回顧反思環(huán)節(jié).教師計(jì)劃從以下3個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)：

(1)本節(jié)課我們一起探究了哪些找規(guī)律的問(wèn)題？

(2)關(guān)于找規(guī)律你學(xué)會(huì)了哪些方法？

(3)關(guān)于找圖形變化的規(guī)律，可以先找數(shù)字的變化規(guī)律，由此你體會(huì)到什么數(shù)學(xué)思想方法？

教師對(duì)解決問(wèn)題的方法以及活動(dòng)背后所隱含的數(shù)學(xué)思想方法很重視，這一點(diǎn)值得肯定，但對(duì)猜想之后的驗(yàn)證沒(méi)有重視.

總體而言，教師對(duì)驗(yàn)證這一環(huán)節(jié)不夠重視，從而導(dǎo)致學(xué)生的忽視和錯(cuò)誤.適合學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的實(shí)際，關(guān)注學(xué)生的思維，關(guān)注學(xué)生的錯(cuò)誤，并思考如何從學(xué)生出發(fā)，構(gòu)建高效的教學(xué).

3 歷史和文化的滲透

本節(jié)課思路清晰，節(jié)奏流暢，但在內(nèi)容的設(shè)計(jì)上，總體上還是中規(guī)中矩，沒(méi)有太大的亮點(diǎn).如果能從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化方面吸收一些素材，應(yīng)用到教學(xué)中，與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地融合起來(lái)，則可以使本節(jié)課錦上添花.

就本節(jié)課的主題而言，可以安排形數(shù)、楊輝三角、斐波那契數(shù)列、雪花曲線等內(nèi)容.

(1)形數(shù).

教師可以先出示前4個(gè)三角形數(shù)、正方形數(shù)和五邊形數(shù)(如圖5)，然后讓學(xué)生分別寫出第5個(gè)，第6個(gè)，…，第n個(gè)數(shù).

接著，不畫(huà)圖，繼續(xù)尋找其他形數(shù)的規(guī)律，到后面規(guī)律比較難寫，但可以引導(dǎo)學(xué)生完成下表：

三角形數(shù)：1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 …

正方形數(shù)：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 …

五邊形數(shù)：1 512 22 35 51 70 92 117 145 …

六邊形數(shù)：1 615 28 45 66 91 120 153 190 …

七邊形數(shù)：1 718 34 55 81 112 148 189 235 …

……

圖5

再進(jìn)一步，可以從平面形數(shù)過(guò)渡到立體形數(shù)，讓學(xué)生觀察圖6，寫出前幾個(gè)三棱錐數(shù)和四棱錐數(shù).

圖6

(2)楊輝三角.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 ( ) 4 1

1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1

……

圖7

觀察圖7，尋找構(gòu)圖的方法，在空白處填上相應(yīng)的數(shù)字.

(3)斐波那契數(shù)列.

意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在1228年出版的《算經(jīng)》修訂版中給出一個(gè)有趣的“兔子問(wèn)題”：假設(shè)大兔子每月生1對(duì)小兔，而小兔2個(gè)月長(zhǎng)成大兔，那么，自1對(duì)兔子開(kāi)始，一年后可繁殖多少對(duì)兔子？

這個(gè)問(wèn)題引出著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，你能發(fā)現(xiàn)這串?dāng)?shù)字的規(guī)律嗎？寫出其后幾項(xiàng).如圖8，將楊輝三角上的數(shù)字按斜線相加，可以發(fā)現(xiàn)它與斐波那契數(shù)列居然有神奇的聯(lián)系.

圖8

(4)雪花曲線.

將邊長(zhǎng)為1的正三角形的每條邊3等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形，然后以其2條腰替代底邊，得到第2個(gè)圖形；再將第2個(gè)圖形的每條邊3等分，并重復(fù)上述的作法，得到第3個(gè)圖形.可以繼續(xù)按同樣的方法畫(huà)出一系列圖形，這些圖形很像美麗的雪花，因此被稱為“雪花曲線”，如圖9所示.求出第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)雪花曲線的周長(zhǎng).

圖9

這些問(wèn)題需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)取舍或做些處理，然后在實(shí)際教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生思考、探索.總體上而言，這樣來(lái)安排教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生尋找規(guī)律，學(xué)會(huì)找規(guī)律的方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，同時(shí)體驗(yàn)數(shù)學(xué)的神奇和美妙.適合學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)考慮哪些內(nèi)容是學(xué)生感興趣的，考慮如何通過(guò)學(xué)生感興趣的材料來(lái)激發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生的思維.

浙江省教育廳人文社科類項(xiàng)目Y201122231.)