●

(錦屏高級中學 江蘇連云港 222021)

一道高考試題解法探究的教學片段及思考

●殷長征

(錦屏高級中學 江蘇連云港 222021)

教學有法，但無定法.教師的課堂教學通常按照教學設計進行，但在實際的課堂教學中有時也會出現(xiàn)一些“節(jié)外生枝”的突發(fā)事件，特別是那些既“喧賓奪主”又沖淡主題，既無法躲避又合情合理的突發(fā)事件.如果處理這些事件，原來的教學計劃就會受到影響；不處理吧，于情于理都說不過去.筆者認為，既然問題合情合理，教師就應該適時地改變原來的教學計劃，運用好這突如其來的問題，也許會產(chǎn)生意想不到的教學效果.下面結合筆者的一節(jié)期末綜合復習課中的教學片斷，談談筆者的一些看法與感受.

1 一道高考題——招來“節(jié)外生枝”

(2011年全國新課標數(shù)學高考理科試題)

投影儀上的題目一出現(xiàn)，學生在下面就做開了，大約過了5分鐘，生1舉起手，筆者示意其上黑板板演.

所以

BC=2sinA，AB=2sinC，

從而AB+2BC= 2sinC+4sinA=

2sin(120°-A)+4sinA=

師：生1的解法很完整，他熟練地運用了正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換，將三角形中關于邊的不等式轉(zhuǎn)化為關于角的不等式，充分利用三角函數(shù)的有界性進行處理，學以致用，很好(至此設計這道題的目的已經(jīng)達到)！

就在筆者準備進行下一題時，意外發(fā)生了.

生2站了起來：老師，這道題可改用余弦定理求解，可是做到這一步，我不知道該如何進行下去.

他的發(fā)言引起了大家的關注，此時筆者心中充滿了矛盾和緊張，一是這突如其來的“節(jié)外生枝”——利用余弦定理求解，沖淡了本節(jié)課的復習計劃；二是利用余弦定理求解事先也沒有準備，怕解不出來出丑.若不解答，既不能滿足學生強烈的求知欲，也失去了一次滲透這方面知識的機會.無奈筆者終止了原來的教學計劃，和學生一起探討利用余弦定理求解.

2 積極回應——解決“節(jié)外生枝”

師：很好！這是一個很好的想法，值得研究的問題，我們一起研究(這樣做不僅給學生充分的思考時間，相信學生會有好的想法，更給了筆者思考的時間，走出窘境).

筆者一邊思考一邊看生2的板演過程，突然頓悟，心中已有底，但不露聲色，要讓學生自己發(fā)現(xiàn)，這時，生3舉起了手，并急不可待地走到黑板前，板演如下：

令AB+2BC=c+2a=t(t>0)，則

將式(2)代入式(1)并化簡得

7a2-5ta+(t2-3)=0，

要使方程有解，則根的判別式

Δ=(-5t)2-4×7×(t2-3)≥0，

此時，全班同學都為生3的精彩演繹而鼓掌，并投去了贊許的目光.

師：太好了！生3的解法更簡捷，解題的關鍵是將a2+c2-ac=3看成一個一元二次方程，設AB+2BC=c+2a=t(t>0)后代入并運用一元二次方程的知識處理，妙極了！

這一解法和筆者的想法吻合，筆者引導學生反思這個思維過程……未等筆者說完，生4：老師，我還有一種解法，運算沒有生3的簡單，但也不算麻煩.

筆者不禁一愣，居然還有解法，也有些激動：說說看！

a2+c2-ac=3.

由AB+2BC=c+2a=2c+(2a-c)，令2c=x，2a-c=y，則

代入a2+c2-ac=3并化簡得

AB+2BC=c+2a=2c+(2a-c)=x+y=

這時全班又響起了熱烈的掌聲.

師：生4利用了2次換元，將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為橢圓方程，再利用三角換元解決問題.還有沒有其他的解法呢？

話音剛落，生5站了起來.

生5：老師，生4用的是2次換元，其實一次換元即可：

a2+c2-ac=3.

由AB+2BC=c+2a=2c+(2a-c)，令2c=x，2a-c=y，則

代入a2+c2-ac=3并化簡得

就在大家為生5的解法所陶醉時，又有生6：老師，我也解出來了.

由式(3)，式(4)化簡得

于是AB+2BC=c+2a=

至此，教室里一片歡呼，這歡呼既是對上述幾位學生的鼓勵，也是對他們不畏艱難、勇于攀登精神的贊美.

看到這種情景，筆者更是被感動了，就此提出了新的問題：通過上面給出的幾種解法，能否得到更一般性的結論？

生7：利用余弦定理得到關于a，c的二次齊次式，在二元二次條件限制下求解最值常用的幾種方法.

師：都說數(shù)學是“思維體操”，今天這節(jié)課大家讓自己的思維得到了一次充分的鍛煉，我也充當了一回有成就感的“看客”.希望在以后的學習中大家能不斷地給我機會，讓我多做幾次“看客”.

3 借風使舵——利用“節(jié)外生枝”

“節(jié)外生枝”的問題盡管解決了，但并不能到此為止，而應該借風使舵、乘勝追擊，讓學生理解和掌握解決“節(jié)外生枝”問題的方法和思想.于是給出了2011年浙江省數(shù)學高考的2道試題讓學生鞏固.

題1設x，y為實數(shù)，若x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是________.

題2設x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是________.

下課鈴聲響了，雖然因這突如其來的“節(jié)外生枝”而沒有完成原來的教學計劃，但這節(jié)課從“節(jié)外生枝”到“枝上開花”，還是很滿意的.

4 幾點思考

(1)葉瀾曾經(jīng)說過：課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定的路線而沒有激情的行程.課堂教學是一個動態(tài)生成的過程.解題教學也不例外，隨時會出現(xiàn)“意外”的風景.學生作為課堂教學的主體，他們的原始思路是多種多樣的，是富有生機和創(chuàng)造力的，要加以保護和鼓勵.教師不僅需要對常用解法進行固化，更需要對學生的發(fā)散思維、創(chuàng)新精神、探索精神進行保護和促進.只有對學生的各種質(zhì)疑、困惑等時刻關注，才能更好地為學生的能力發(fā)展提供一個展示的平臺.因此學生在課堂教學中動態(tài)生成的資源更值得重視.

(2)美國心理學家布魯納說過：探索是數(shù)學的生命線.課堂上應提倡師生平等，教學相長，創(chuàng)造民主氣氛，才能使學生釋放出巨大的創(chuàng)新潛能.教師應轉(zhuǎn)變觀念，作為課堂的設計者、點撥者、嘗試者和點評者，應積極鼓勵學生大膽猜想，發(fā)表自己的見解，構建師生互動、勇于探究、敢于質(zhì)疑的合作交流的教學平臺，讓學生真正體驗數(shù)學研究的過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，使問題的解決方法和結論更具一般性.事實告訴我們，給學生再思考的時間，就是讓學生由考試時的限時思考變?yōu)椴幌迺r思考，讓他們盡情地去自主探索、合作交流.

(3)這節(jié)課對教師在處理習題課問題上也是一次深刻的教育.對于一些簡單的習題(考題)，教師在思想上容易輕視，認為按照自己的預設思路講課學生能弄懂，沒有認真思考問題后面潛藏的其他問題和教育價值.沒有想到課堂上可能出現(xiàn)的“節(jié)外生枝”.因此，要改善這種情況，教師對于要講解的問題事先需進行認真的研究，研究問題的解法、變式、改編，研究學生解決問題時可能出現(xiàn)的難點和疑點等.只有經(jīng)過充分地研究，教師在課堂上才能做到游刃有余，才能機智地為學生打破預設，并用睿智的追問，拓展學生思維，延伸思維空間，定會讓解題教學中的“節(jié)外生枝”綻放出異彩.

(4)一節(jié)課的好還是不好，不是看題目講解的多還是少，關鍵是我們是否能讓學生把所提出問題弄懂，學生的能力是否得到提高，學習的興趣是否得到提升.快節(jié)奏、大容量的課堂往往使學生對一些知識似是而非，似懂非懂，知識體系雜亂無章.本節(jié)課的一道題目雖然花了近一節(jié)課的時間，但是學生通過不同的方法對在二元二次條件的限制下求最值有了新的認識，學生的知識目標得到了落實，思維也得到了訓練.題目不在多，學生能積極主動、有效參與就行.

最后，讓我們記住:學好數(shù)學，需要一種精神，那就是團結合作的精神；學好數(shù)學，需要一種意志，那就是挑戰(zhàn)自我的意志；學好數(shù)學，需要一種意識，那就是強烈的問題意識.

[1] 殷長征.巧而不錯是關鍵[J].中學數(shù)學，2011(11)：23-24.

[2] 章薇薇，浦敘德.簡談數(shù)學解題教學中的追問藝術[J].中學教研(數(shù)學)，2011(12)：11-14.