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(瑞安市濱江中學(xué) 浙江瑞安 325200)

簡(jiǎn)談如何因“材”施“探”
——基于探索勾股定理教學(xué)中的思考與認(rèn)識(shí)

●季麗珍

(瑞安市濱江中學(xué) 浙江瑞安 325200)

新課程改革的一個(gè)重要而具體的目標(biāo)就是要改變普遍存在的學(xué)生被動(dòng)接受、大量反復(fù)操練的學(xué)習(xí)方式，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與的探究式學(xué)習(xí).作為一線教師，面對(duì)不同的教學(xué)對(duì)象、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)條件，該如何有效地開(kāi)展探究性教學(xué)、提高課堂教學(xué)實(shí)效呢？因此，如何因“材”施“探”就成了我們一直都在探索的問(wèn)題.

勾股定理不僅在幾何中具有非常重要的地位，而且在現(xiàn)實(shí)生活中也具有普遍性和應(yīng)用性.雖然探索勾股定理的方法很多，但尋找一種讓學(xué)生能夠在思維上比較“自然地”發(fā)現(xiàn)該定理的方法是非常困難的.如何設(shè)計(jì)勾股定理教學(xué)，一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).在探索勾股定理的教學(xué)中，筆者碰到一些讓人回味的教學(xué)案例，在反思的同時(shí)，有一些教學(xué)感悟和思想油然而生.本文通過(guò)筆者對(duì)勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)的一些做法和思考，拋磚引玉，希望得到同行專家的批評(píng)指正.

1 教學(xué)案例

1.1 案例

案例1在引入課題之后，教師甲安排了如下的合作學(xué)習(xí):

(1)作3個(gè)直角三角形，使其2條直角邊長(zhǎng)分別為3 cm和4 cm，6 cm和8 cm，5 cm和12 cm；

(2)分別測(cè)量這3個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)；

(3)根據(jù)所測(cè)量的結(jié)果填寫(xiě)表1：

表1 測(cè)量結(jié)果

觀察表1中后2列的數(shù)據(jù).在直角三角形中，3條邊長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？再任意畫(huà)一個(gè)直角三角形試一試.

教師甲將學(xué)生分成4人一小組后讓他們合作學(xué)習(xí)，在大部分學(xué)生完成以上任務(wù)之后，組織學(xué)生交流探究成果.

生甲：我測(cè)量得到它們的斜邊長(zhǎng)分別是5 cm，10 cm，13 cm.

教師：其他同學(xué)得到的結(jié)果是否也是這樣的呢？

此時(shí)，有位學(xué)生說(shuō)自己量得的第3個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是12.8 cm.教師說(shuō)那是因?yàn)樵撋膱D畫(huà)得不準(zhǔn)確，便讓他坐下了.于是師生繼續(xù)校對(duì)表1的后2列數(shù)據(jù),然后得出a2+b2=c2，進(jìn)而指出這種關(guān)系在幾何上稱為勾股定理，并要求學(xué)生用文字表述.

案例2在引入課題之后，教師乙安排了合作學(xué)習(xí)：

(1)作3個(gè)直角三角形，使其2條直角邊長(zhǎng)分別為3 cm和4 cm，6 cm和8 cm，5 cm和12 cm；

(2)分別測(cè)量這3個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)；

(3)根據(jù)所測(cè)量的結(jié)果填寫(xiě)表2：

表2 測(cè)量結(jié)果

在直角三角形中，3條邊長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？再任意畫(huà)一個(gè)直角三角形試一試.

教師乙也將學(xué)生分成小組后讓他們合作學(xué)習(xí)，然后組織學(xué)生交流探究成果.

在校對(duì)表2后，教師提了一個(gè)問(wèn)題：這三角形的3條邊3，4，5；6，8，10；5，12，13之間有何特殊的關(guān)系呢？

一個(gè)學(xué)生馬上回答：因?yàn)橹苯侨切?條直角邊的平方和等于斜邊的平方，所以32+42=52，即兩邊的平方和等于第三邊的平方！

教師乙(有些驚訝)：你怎么知道“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”？

該生自豪地回答：因?yàn)槲翌A(yù)習(xí)過(guò)了.

于是該教師順勢(shì)將話題轉(zhuǎn)移到了前人的偉大，發(fā)現(xiàn)了這一著名的定理.

這時(shí)另一位學(xué)生的嘀咕聲傳入了筆者的耳朵：我只想到兩邊之和與第三邊或兩邊之差與第三邊的關(guān)系，怎么會(huì)想到平方的關(guān)系呢？

1.2 案例帶來(lái)的困惑

(1)從案例1看，學(xué)生似乎經(jīng)歷了合作探究的過(guò)程，學(xué)生的活動(dòng)也很多，有作圖、測(cè)量、填表、計(jì)算、歸納、驗(yàn)證、交流，但這些活動(dòng)都缺乏思考的力度.實(shí)際上，整個(gè)過(guò)程是在教師預(yù)設(shè)的軌道上進(jìn)行，是一種典型的假“探究”，是一種淺層次上的“合作”.上述所謂的“合作探究教學(xué)”，究竟存在哪些問(wèn)題？

①作圖、測(cè)量、填表、計(jì)算，以及提醒學(xué)生“觀察表1中后2列的數(shù)據(jù)”來(lái)回答“在直角三角形中，3條邊長(zhǎng)之間有什么關(guān)系”，這樣設(shè)置的問(wèn)題對(duì)于八年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)能不能獨(dú)立完成？

②遇到學(xué)生作圖與測(cè)量的誤差，教師該如何作合理的引導(dǎo)？

③為什么要計(jì)算邊長(zhǎng)的平方？如果沒(méi)有表1的后2列提示，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)勾股定理嗎？這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)學(xué)生而言全是無(wú)意識(shí)的，或者說(shuō)是“碰巧的”，在未來(lái)的學(xué)習(xí)、工作、考試中，沒(méi)有教師的引導(dǎo)，學(xué)生還能“碰巧”發(fā)現(xiàn)其他規(guī)律嗎？學(xué)生更關(guān)心的是如何想到的.

④合作探究是追求課堂形式的活潑還是追求讓學(xué)生體驗(yàn)基本的探索方法和思路？

(2)案例2中的探究學(xué)習(xí)沒(méi)有達(dá)到預(yù)設(shè)的目標(biāo)，這個(gè)探究問(wèn)題的設(shè)置對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)太難了，教師乙的指導(dǎo)又缺乏坡度和機(jī)智[1].如果說(shuō)教師甲的探究問(wèn)題設(shè)計(jì)是“牽著學(xué)生的鼻子走”，不能達(dá)成讓學(xué)生體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程這一教學(xué)目標(biāo)，屬于“引”過(guò)度，那么教師乙的教學(xué)設(shè)計(jì)就是從一個(gè)極端走向了另一個(gè)極端，屬于“放”過(guò)度.探究性教學(xué)在引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)時(shí)應(yīng)該怎樣選擇合適的“潛在距離”，使學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平與新學(xué)知識(shí)之間的沖突最為強(qiáng)烈也恰到好處，從而引發(fā)學(xué)生合作探究的欲望呢？

2 改進(jìn)策略

2.1 策略1:合作學(xué)習(xí),探索驗(yàn)證

(1)大膽嘗試,猜想結(jié)論.

活動(dòng)1在引入課題之后，教師安排合作學(xué)習(xí)(同案例2中的合作學(xué)習(xí)材料).

(2)操作驗(yàn)證,確認(rèn)定理.

活動(dòng)2①在圖1和圖2中，直角三角形3條邊長(zhǎng)的平方分別是多少？它們滿足上面所猜想的數(shù)量關(guān)系嗎？你是如何計(jì)算的？與同伴交流.

(注：本文出現(xiàn)網(wǎng)格中的每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.)

②在圖3和圖4中的直角三角形是否也滿足這樣的關(guān)系呢？

圖1 圖2

圖3 圖4

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提問(wèn)：在一般的直角三角形中，所猜想的結(jié)論還成立嗎？然后移除圖4中網(wǎng)格這個(gè)平臺(tái)，引導(dǎo)論證.

策略1的設(shè)計(jì)說(shuō)明提供以網(wǎng)格為背景的勾股圖，并從面積這一學(xué)生熟悉的角度為學(xué)生搭建探究平臺(tái)，讓學(xué)生在無(wú)聲的探索中受到“猜想—?dú)w納—證明”這一數(shù)學(xué)思想的熏陶.通過(guò)求特殊圖形的面積，讓學(xué)生掌握分割方法和部分面積和等于總面積的等積思想.這里的關(guān)鍵是要把握住學(xué)生的起點(diǎn)，為學(xué)生的“同化”和“順應(yīng)”提供必要的條件或情境，把學(xué)生原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)充分調(diào)動(dòng)起來(lái)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程.

2．2 策略2:收集資料,自主學(xué)習(xí)

(1)課前(活動(dòng)1)

奇異值分解方法在日負(fù)荷曲線降維聚類分析中的應(yīng)用//陳燁,吳浩,史俊祎,商佳宜,孫維真//(3):105

向?qū)W生提供“勾股定理的探究”合作學(xué)習(xí)工作單.合作學(xué)習(xí)工作單圍繞著勾股定理的背景、證明、應(yīng)用這3個(gè)層次設(shè)計(jì)了如下的問(wèn)題：①勾股定理有很多不同的命名，它們背后都有特別的原因，請(qǐng)選出2個(gè)你們認(rèn)為特別的，并解釋它們的由來(lái)；②收集、整理驗(yàn)證勾股定理的各種方法，并從中選出2種你們認(rèn)為有趣或容易理解的驗(yàn)證方法；③嘗試舉出勾股定理在日常生活應(yīng)用的一些例子.

將學(xué)生以4人為一小組進(jìn)行分工合作：每人從不同的途徑搜集、整理資料，經(jīng)過(guò)討論，由其中一位學(xué)生執(zhí)筆填寫(xiě)工作單.通過(guò)這個(gè)活動(dòng)，旨在使學(xué)生對(duì)勾股定理有一定程度的了解.但更重要的是希望學(xué)生能通過(guò)本活動(dòng)，體驗(yàn)與他人合作的相處之道，提高收集信息和處理信息的能力.

(2)課內(nèi)(活動(dòng)2)

以合作學(xué)習(xí)工作單中所布置的任務(wù)為主線，交流分享合作學(xué)習(xí)的成果.在勾股定理的應(yīng)用這一環(huán)節(jié)，教師可視具體情況予以引導(dǎo)、補(bǔ)充和調(diào)整.

(3)課外(活動(dòng)3)

布置學(xué)生根據(jù)所收集的資料和上課后的體會(huì)，制作一份有關(guān)勾股定理的簡(jiǎn)報(bào)在班級(jí)內(nèi)交流.

策略2的設(shè)計(jì)說(shuō)明舍棄了教材中的合作學(xué)習(xí)材料，重新安排探究路線.這樣在整個(gè)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生們通過(guò)各種形式的合作學(xué)習(xí)不僅了解了知識(shí)的來(lái)龍去脈，而且認(rèn)識(shí)了學(xué)習(xí)的真正含義，更為思維發(fā)展留下了空間.該策略得以順利實(shí)施的關(guān)鍵在于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)和能力以及實(shí)際學(xué)習(xí)條件允許學(xué)生開(kāi)展課前的活動(dòng)1.

2.3 策略3:開(kāi)門見(jiàn)山，直接證明

2.3.1 引入勾股定理

(1)復(fù)習(xí)提問(wèn)：已經(jīng)學(xué)過(guò)直角三角形的哪些性質(zhì)?

直角三角形的2個(gè)銳角互余.

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

圖5

(2)提出問(wèn)題：如圖5，甲船以15 km/h的速度從港口A向正南方向航行，乙船以20 km/h的速度，同時(shí)從港口A向正東方向航行.行駛2小時(shí)后，兩船相距多遠(yuǎn)？

教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,即“已知一直角三角形的2條邊，如何求第3條邊”.學(xué)生發(fā)現(xiàn)根據(jù)已學(xué)的直角三角形性質(zhì)無(wú)法解決，從而制造懸念，激發(fā)學(xué)生的積極性，順勢(shì)提出學(xué)習(xí)關(guān)于直角三角形3條邊的關(guān)系——勾股定理.

2.3.2 認(rèn)識(shí)勾股定理

(1)勾股定理的歷史背景.介紹關(guān)于勾股定理的幾個(gè)常見(jiàn)名稱和相關(guān)紀(jì)念意義的事件.

(2)勾股定理的內(nèi)容:直角三角形2條直角邊的平方和等于斜邊的平方,即如果a，b為直角三角形的2條直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)，則a2+b2=c2.

將介紹勾股定理的歷史背景放在明確勾股定理的內(nèi)容之前，旨在激發(fā)學(xué)生的好奇心，從而引發(fā)學(xué)生對(duì)勾股定理的關(guān)注.

2.3.3 驗(yàn)證勾股定理

師生一起驗(yàn)證勾股定理的正確性.

圖6

已知Rt△ABC的2條直角邊分別為a,b，斜邊長(zhǎng)為c，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，將4個(gè)這樣的直角三角形紙片按圖6放置在這個(gè)正方形內(nèi)，就構(gòu)成了我國(guó)歷史上著名的弦圖.

由于用面積法來(lái)證明勾股定理是學(xué)生從未經(jīng)歷過(guò)的，較難形成思路，因此教學(xué)中可以通過(guò)問(wèn)題串的設(shè)置作適當(dāng)?shù)膯l(fā).小結(jié)數(shù)形結(jié)合的思想方法并啟發(fā)學(xué)生用不同的方法證明.

2.3.4 應(yīng)用勾股定理

在這一環(huán)節(jié)可以通過(guò)例題、習(xí)題的變式教學(xué)安排學(xué)生對(duì)勾股定理應(yīng)用的探究.

策略3的設(shè)計(jì)說(shuō)明基于學(xué)生的認(rèn)知水平和具體條件的限制，如果教師所面對(duì)的學(xué)生基礎(chǔ)較弱，不具備像策略1中的探究能力或由于條件限制完成像策略2中的合作學(xué)習(xí)工作單有一定的困難時(shí)，本策略索性直接介紹勾股定理的結(jié)論及其證明，讓學(xué)生掌握“什么是勾股定理”、“為什么有勾股定理”、“怎么用勾股定理”.將教材中的合作學(xué)習(xí)材料舍棄不用，也沒(méi)有安排對(duì)勾股定理的探究活動(dòng)，不為“表演”而活動(dòng).如果說(shuō)前2種策略的課題叫“探索勾股定理”的話，那么策略3的課題叫“驗(yàn)證勾股定理”就更為合適了.

3 課后思考

3.1 如何合理地因“材”施“探”？

這里的“材”可以從學(xué)生和探究的主題內(nèi)容這2個(gè)方面加以理解.從學(xué)生方面講，不同地區(qū)、不同學(xué)校、不同家庭背景的學(xué)生，知識(shí)基礎(chǔ)和能力有一定的差異.從探究的主題內(nèi)容來(lái)看，可探究性和可操作性也有差異.筆者認(rèn)為讓學(xué)生自己對(duì)勾股定理進(jìn)行完全探究是不可能的，那么該如何合理地因“材”施展不同程度的“探”呢？

3.2 如何探究才是適時(shí)、適度的?

雖然一節(jié)課可能完成一個(gè)主題的探究，但不是每一個(gè)主題都能在一節(jié)課內(nèi)探究出結(jié)果[3].在策略2中安排學(xué)生帶著問(wèn)題在課前嘗試探究，將探究性教學(xué)轉(zhuǎn)變成研究性學(xué)習(xí)，在課內(nèi)交流自己的感悟、收獲和疑惑，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅和解決問(wèn)題后的欣喜.在實(shí)際教學(xué)中，教師該如何調(diào)控探究的時(shí)間和空間才是適時(shí)、適度的呢？

3.3 如何在“探究性教學(xué)”與“傳統(tǒng)式教學(xué)”之間尋找到一個(gè)結(jié)合點(diǎn)？

重基礎(chǔ)知識(shí)輕探究應(yīng)用的觀念陳舊落后，需要改變；而重探究應(yīng)用輕基礎(chǔ)知識(shí)，也是片面的觀念.探究性教學(xué)必須以基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握為前提，而在基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握方面，傳統(tǒng)的“接受式”教學(xué)有獨(dú)到的作用.教師在實(shí)施探究性教學(xué)時(shí)，不能一概否定傳統(tǒng)的“接受式”教學(xué)[3].在策略3中學(xué)生學(xué)習(xí)的探究味少了，接受味濃了，那么該如何在兩者之間尋找一個(gè)結(jié)合點(diǎn)，來(lái)實(shí)現(xiàn)有效整合呢？

[1] 王南林.試談數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)中教師的指導(dǎo)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育：初中版,2006(3):18-20.

[2] 章飛.探究教學(xué)的一些思考——從勾股定理的探索談開(kāi)去[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué),2007(1):20-28.

[3] 蔣雨華.對(duì)新課程背景下探究性教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].中國(guó)教育學(xué)刊,2005(11):37-39.