鄭 侃 廖文和 張 翔

南京航空航天大學，南京，210016

0 引言

微小衛(wèi)星結(jié)構設計屬于復雜而龐大的系統(tǒng)工程，設計變量多，制約因素苛刻，通常存在多個相互沖突的目標函數(shù)，并且由于在優(yōu)化過程中必須反復迭代分析模塊，造成優(yōu)化過程中的計算量較大且容易陷入僵局，嚴重影響了優(yōu)化效率和結(jié)果。為此，研究人員就多目標優(yōu)化算法的實現(xiàn)、優(yōu)化模型的建立、近似技術的運用、非劣解集的篩選等方面展開了細致而深入的研究，特別是在優(yōu)化算法的改進和近似技術的運用兩方面取得了較大的進展，對于提升優(yōu)化效率起到了舉足輕重的作用。Coello等［1］和 Hu等［2］在粒子群優(yōu)化算法的基礎上分別提出了一些具有較大影響力的研究成果，例如一類特別變異的算子、采用外部集合保存非支配粒子集的方法以及動態(tài)鄰居的粒子群算法等。于廣濱［3］將改進的雙群體差分多層文化粒子群融合算法應用于微型減速裝置的多目標優(yōu)化中，不僅實現(xiàn)了群體的多樣性還提高了算法的收斂速度；安治國等［4］比較了各種構建近似模型方法的優(yōu)缺點，并提出了用于板料成形的徑向基函數(shù)近似模型方法。

近似技術的應用在很大程度上加快了演化算法的尋優(yōu)速度，但受到樣本數(shù)量以及工程問題本身高維性的限制，近似模型的精度通常很難得到保障，特別是對于航空航天領域非線性程度較高的復雜問題就更加棘手。為此，近似模型管理框架的概念應運而生，其中，一種方式是在演化過程中選取合適的修正點逐步對近似模型進行修正，實現(xiàn)對近似模型的管理；而另一種方式則是從搜索區(qū)域更新方向著手，根據(jù)信賴度的大小對搜索區(qū)域進行縮放，從而確保能夠獲取足夠精度的非劣解。本文從優(yōu)化實例自身的特點出發(fā)，在基于信賴域的近似模型管理的基礎之上，通過最大最小距離策略從每一步迭代過程中選取合適的非劣解用于計算信賴度值，確保對信賴域更新的合理性，從而使得在多目標優(yōu)化求解過程中得到較高精度的最優(yōu)解。

1 多目標優(yōu)化中的近似技術

近似技術常用于處理幾個獨立變量影響一個或多個因變量且函數(shù)關系未知的較為復雜的工程問題，主要是用顯式近似表達式來代替原問題中隱式的約束和目標函數(shù)。試驗設計和近似方法是近似技術的主要內(nèi)容，所有的多目標優(yōu)化設計的近似技術均圍繞這兩個方面展開。合理的試驗設計是近似技術的前提，它不僅可以獲得構造模型的樣本點，同時可為近似方法提供充足的樣本空間，而近似方法則是近似技術的主體，是確保近似精度和計算效率的核心環(huán)節(jié)。

1.1 正交試驗設計

由于該微小衛(wèi)星結(jié)構多目標優(yōu)化設計中的因素很多，且每一因素都要選出好的試驗條件，如果對這些因素采用其他試驗設計方法，則需要進行的試驗次數(shù)是讓人難以接受的，另外，各因素的水平數(shù)相同且較小，故正交試驗設計為最佳選擇。

正交試驗設計是一種常用的多因子試驗方法，它利用正交表Ln（qp）選擇試驗條件和安排試驗計劃，并通過正交表的特點進行數(shù)據(jù)分析以合理地選擇試驗次數(shù)，從而確定滿意的試驗計劃組合。其中，p、q分別表示因素的水平數(shù)和個數(shù)，下標n表示總共需要進行的試驗次數(shù)。正交試驗的特點是使樣本點在設計范圍內(nèi)均勻分散，整齊可比，正交試驗不僅滿足讓具有代表性的樣本點均勻分布在試驗范圍內(nèi)，同時提高了試驗效率，方便分析各因素對指標的影響程度和變化規(guī)律。

1.2 Kriging代理模型［5－7］

從統(tǒng)計學的概念出發(fā)，Kriging模型是從變量相關性和變異性出發(fā)，在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量的取值進行無偏和最優(yōu)估計的一種方法。它利用對空間數(shù)據(jù)進行加權插值的權值設計方法，通過引進以距離為自變量的變異函數(shù)來計算權值，因此該模型不僅能反映變量的空間結(jié)構特性，而且能體現(xiàn)變量的隨機分布特性。在Kriging模型中，系統(tǒng)的響應值與自變量之間的相互關系可表示為

其中，f（x）是一個確定性部分，稱為參數(shù)項，一般用多項式或定值β表示；而z（x）則表示全局模型的局部偏差，通過樣本點插值獲得，主要包含以下特性：

其中，R為相關矩陣，是M×M階對稱正定對角矩陣；M為樣本點個數(shù)。R（xi，xj）為任意兩個樣本點之間的相關函數(shù)，以廣泛采用的高斯相關函數(shù)為例：

確定好相關函數(shù)后，在式（1）的基礎上用β替代f（x），即可得到未知設計點響應的Kriging估計值：

式中，Ys為樣本點響應矩陣；f、rT（x）均為M維列向量。

rT（x）為觀測點x與樣本點（x1，x2，…，xM）T之間的相關向量：

式（3）中的相關參數(shù)θk的最大似然估計可采用下式求得：

在相關函數(shù)的作用下，Kriging模型具有局部估計的特點，使其在處理非線性程度較高的問題時較容易得到理想的擬合效果。另外，在相關函數(shù)中通過對不同參數(shù)的設定不僅能解決各向同性問題而且可以處理各向異性問題，因此Kriging模型在航空航天領域優(yōu)化設計分析中具有廣闊的應用前景［8］。

2 改進后的基于信賴域近似模型管理框架

如引言所述，部分學者提出的近似模型管理方法主要是通過對近似模型本身進行修正以達到較滿意的求解精度。其中，Yang等［9］提出了一種序列更新Kriging近似模型的方法，安偉剛［10］提出的管理模型框架中采用了單純形與多目標粒子群優(yōu)化方法的混合算法，提高了優(yōu)化效率，增強了局部搜索能力，他同時運用輪盤賭法對演化過程中的每一代選取多個個體進行高精度分析計算并根據(jù)修正點逐步對近似模型進行修正。上述兩種近似模型的更新方法主要是從修正模型精度的角度出發(fā)，而劉桂萍等［11］則另辟蹊徑，提出了一種基于信賴域的近似模型管理方法，通過對近似模型的搜索區(qū)域進行限制并在優(yōu)化迭代的過程中對該限制區(qū)域進行更新來保證求解精度。這種近似模型管理的主要優(yōu)點在于多目標優(yōu)化求解過程中受近似模型精度的影響較小，主要是為了搜尋足夠精確的Pareto最優(yōu)解集，而并未要求構建出較高精度的近似模型。在該方法中首先將設計空間中的搜索限制域定義為初始信賴域，隨后在優(yōu)化過程中，從上一步迭代所得到的Pareto解集中均勻選擇出一系列的解，并通過高精度分析模型對這些解進行評價，從而確定當前的近似模型與實際模型的Pareto最優(yōu)解集的一致程度。最后，通過對信賴度的計算將設計變量搜索空間中的信賴域按一定的規(guī)則進行縮放和移動等更新操作，并將已評價過的且在新的信賴域范圍內(nèi)的樣本點加入到下一代樣本點中，以保證在該區(qū)域內(nèi)構建的近似模型能得到與實際模型一致的Pareto最優(yōu)解集。當兩者的一致程度比較低時就縮小信賴域，反之則放大信賴域。因此在該方法中對于信賴度的計算尤為重要，因為信賴度的大小決定了信賴域空間的縮放程度，直接影響近似模型Pareto解集的精度。

與文獻［11］提出的近似模型管理方法相比，本文提出的近似模型管理框架除了選取構建近似模型樣本點的方法和優(yōu)化的算法不同之外，更多的是體現(xiàn)在信賴度計算的準確性與合理性上?；谛刨囉虻慕乒芾砟Ｐ涂蚣艿暮诵脑谟谌绾螠蚀_找到下一代的搜索限制域。文獻［11］在進行信賴度計算時是從每一步的非支配解集中均勻選取一系列的解構成新的解集P（t）a，然后利用高精度分析模型對其評價后確定所選解集中屬于高精度模型的解的集合P（t）o，根據(jù)式（9）得出兩個解集中的解的個數(shù)的比值，從而確定出信賴度的大?。?/p>

通過聯(lián)立式（9）～式（11）即可得出每一步迭代過程中新的搜索區(qū)域，因此信賴度值的確定直接決定了信賴域半徑的縮放程度，是確定新的搜索區(qū)域的關鍵因素。然而，信賴度值的計算依賴于每一步迭代過程中如何從非劣解集中選取合適的解構成解集P（t）a。誠然，均勻選取的方法確實能夠體現(xiàn)出非劣解集的整體性，但容易造成所選出的解過于接近樣本點導致信賴度值較高，從而不能真實反映非劣解集對當前近似模型與實際模型的一致程度。而本文所采用的方法如下：首先計算從上一步得到的Pareto解集中的每個解到所有樣本點的距離，以最小的距離作為該解到樣本集的距離；然后從中選擇距離最大的N個解構成解集P（t）a。由于構建近似模型采用的樣本點即為初始樣本點，而通過該方法選出的解均與最初的樣本點保持一定的“距離”，因此信賴度的計算結(jié)果具備較高的可信度，對信賴域的縮放也更為合理。該近似模型管理框架的整體流程如圖1所示。

圖1 近似模型管理框架流程圖

3 微小衛(wèi)星主承力結(jié)構多目標優(yōu)化設計

3.1 優(yōu)化數(shù)學模型的建立

通過計算得到某型號微小衛(wèi)星整星在X、Y、Z三個方向的一階頻率f1、f2、f3分別為34.59Hz、37.23Hz和94.65Hz，主承力結(jié)構總質(zhì)量為17.162kg?？紤]各階模態(tài)所占比重不同，將整星的前三階模態(tài)作為一個整體，并對各階模態(tài)賦予相應的權重組成一個目標函數(shù)。同時，微小衛(wèi)星結(jié)構輕量化設計是目前小型衛(wèi)星結(jié)構設計技術的發(fā)展趨勢，因此將整星的加權頻率和結(jié)構總質(zhì)量作為優(yōu)化設計的目標函數(shù)，即

式中，α1、α2、α3為整星X、Y、Z方向一階頻率所對應的權重系數(shù)；m為整星主承力結(jié)構總質(zhì)量。

優(yōu)化問題通常是求解目標函數(shù)的最小值，因此引入一個定值Q，構造一個關于整星頻率的減函數(shù)，從而使得在滿足目標函數(shù)取得最小值的同時α1f21＋α2f22＋α3f23取得最大值。由于該微小衛(wèi)星的主承力結(jié)構（圖2）除了6根鋁質(zhì)骨架外其余均為鋁蒙皮蜂窩夾層板，故重點考慮主承力結(jié)構上的各塊蜂窩板對整星剛度和結(jié)構質(zhì)量的影響。選取主結(jié)構中的骨架厚度、所有蜂窩板的鋁面板厚度和蜂窩芯的高度為設計變量，如圖2、圖3所示。直接約束條件為：鋁面板厚度介于0.1～0.8mm 之 間， 蜂 窩 芯 子 高 度 介 于10～80mm之間。間接約束條件一般分為剛度條件和強度條件，主要包括優(yōu)化后的整星前三階頻率較原始頻率有相應提高，且結(jié)構應力要小于規(guī)定的許用應力。

圖2 整星主承力結(jié)構圖

圖3 鋁蒙皮蜂窩夾層結(jié)構圖

根據(jù)上述描述可以建立如下數(shù)學優(yōu)化模型：

式中，σmax為整星最大輸出應力；［σ］為許用應力；d為骨架厚度；t1、t2、t3、t4、t5分別為底板、中層板、頂板、側(cè)板、隔板的面板厚度；h1、h2、h3、h4、h5分別為底板、中 層板、頂板、側(cè)板、隔板的蜂窩夾心層厚度。

Q為一定值，取值為500Hz；各階頻率的權重系數(shù)α1、α2、α3根據(jù)其重要程度分別取0.6、0.3和0.1。

3.2 近似模型的建立

根據(jù)該微小衛(wèi)星結(jié)構多目標優(yōu)化的特點，采用上述近似模型管理框架中的正交試驗和Kriging近似方法用于構建近似模型。其中因素個數(shù)為11，均設定為5個水平，表示如下：

為了確定樣本點的分布，本文選用L50（511）進行表頭設計。通過正交試驗和PATRAN／NASTRAN有限元分析軟件計算得到了50個樣本點及其所對應的響應值。由于參數(shù)項f（x）的選取對于模型精度的影響較小，為了簡化建模過程，采用線性回歸模型，設定回歸量為常數(shù)1。相關函數(shù)的核函數(shù)是決定模型精度的核心，因此采用計算效果最好的高斯函數(shù)（式（3））。通過上述函數(shù)和參數(shù)的設定，最優(yōu)的Kriging模型的構建問題被轉(zhuǎn)換成一個非線性的無約束優(yōu)化問題，從而通過對相關參數(shù)θk的搜索即可建立一個無偏的Kriging模型。

3.3 優(yōu)化結(jié)果

圖4 微小衛(wèi)星結(jié)構多目標優(yōu)化非劣解前沿曲線

選取基于擁擠距離的多目標粒子群算法作為優(yōu)化的核心算法，其中的參數(shù)選取為：種群規(guī)模200，最大迭代數(shù)100。圖4所示為樣本點計算次數(shù)為50時得到的Pareto最優(yōu)解集在目標空間中的象點，其中點A和B為邊界點。采用該近似模型管理框架得到了較為滿意的優(yōu)化結(jié)果，非劣解前沿曲線分布較均勻。同時，近似技術的運用大幅度提升了優(yōu)化效率，有限元仿真分析的計算次數(shù)為3400，耗時29 485.52s。由于設計變量較多，優(yōu)化過程中的計算時間主要耗費在樣本點的有限元數(shù)值模擬計算中。優(yōu)化結(jié)果表明，該方法能夠在較短的時間內(nèi)得到多個可供選擇的Pareto最優(yōu)解，具有較高的求解效率和求解精度，同時不僅保證了解集未開裂而且得到的起皺區(qū)域較小。根據(jù)不同偏好從以上的非劣解前沿曲線中選擇了五組解作為最優(yōu)妥協(xié)解，目標函數(shù)及設計變量的結(jié)果如表1所示。

表1 五組非劣解的優(yōu)化結(jié)果

從表1可以看出，優(yōu)化后各方案中整星在X、Y、Z三個方向上的一階頻率均有不同程度的提高，特別是方案3和方案5的整星基頻超出原設計方案20%以上，同時整星結(jié)構質(zhì)量也有一定程度的減小。另外，值得注意的是，各設計變量隨目標函數(shù)值的變化趨勢基本一致，均保持在同一數(shù)量級范圍內(nèi)。各方案除底板蜂窩夾層厚度較原設計方案略有增大之外，隔板、中層板、頂板和側(cè)板均有不同程度的減小，特別是6塊側(cè)板的蜂窩夾層厚度在優(yōu)化后減小了約50%。由于整星剛度提高，底板作為主承力板其面板厚度有較大幅度增大，5組方案的優(yōu)化結(jié)果均在0.43～0.54mm之間，較之前提高了42%左右?？傮w而言，各方案的優(yōu)化效果均較為明顯，達到了優(yōu)化的目的。

4 結(jié)語

由于基于信賴域的近似模型管理方法對構建近似模型精度的要求不高，因此要保證在可能的非支配解區(qū)域內(nèi)近似模型與高精度模型的非支配解集的一致性必須重點控制對信賴域的更新。本文通過采用最大最小距離策略從每一步迭代過程中得到的Pareto解集中選取距離最大的若干個解用于高精度分析模型的評價，保證了計算信賴度的準確性以及信賴域縮放的合理性，最終確保了在搜索區(qū)域內(nèi)近似模型與高精度模型具有一致的非支配解集。該近似模型管理框架在微小衛(wèi)星主承力結(jié)構多目標優(yōu)化設計中的成功應用驗證了它解決多因素的復雜多目標優(yōu)化問題的較高工程應用價值。

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