劉廣軍，姜 濤

（同濟大學(xué) 機械與能源工程學(xué)院，上海201804）

加速度計是慣性導(dǎo)航、慣性制導(dǎo)和控制檢測設(shè)備的重要測量元件，用來測量載體的運動加速度［1］.采用MEMS（micro－electro－mechanical systems）技術(shù)加工的電容式硅微加速度計具有結(jié)構(gòu)簡單、功耗低、成本低、噪聲特性好、漂移低等諸多優(yōu)點，已成為當(dāng)前研究的熱點和主流［2］.當(dāng)前針對微加速度計結(jié)構(gòu)設(shè)計的研究集中在兩個方面［2－5］：一是通過直接制作微加速度計原型來驗證設(shè)計，此種方法耗費大量時間與經(jīng)費；二是針對微加速度計結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化來提高其靈敏度，但這種方法的效率較低，且存在著不能變更結(jié)構(gòu)拓撲的缺陷.

通過微加速度計結(jié)構(gòu)拓撲的創(chuàng)新與優(yōu)化來改善性能，一直是微結(jié)構(gòu)設(shè)計的一大難題，原因是微結(jié)構(gòu)的拓撲形態(tài)決定了微結(jié)構(gòu)的功能、載荷、約束和材料配置等的適用范圍，對微加速度計結(jié)構(gòu)拓撲的設(shè)計與優(yōu)化研究，尚存很大的研究空間［6］.

為此，本文以一種MEMS技術(shù)制備的電容式諧振微加速度計為研究對象，建立微加速度計檢測電容為輸出性能的計算模型，實現(xiàn)面向微加速度計最終輸出性能——檢測電容的動力學(xué)特性與檢測特性的分析；為提高微加速度計的輸出性能，建立了拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，根據(jù)拓撲優(yōu)化流程進行了微加速度計結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，并以算例說明所提方法的有效性.

1 微加速度計的工作原理與輸出性能建模

1.1 微加速度計的結(jié)構(gòu)與工作原理

微加速度計的結(jié)構(gòu)如圖1a所示.該微加速度計為“三明治”結(jié)構(gòu)，為了提高檢測精度，采用差動電容檢測.整個微加速度計結(jié)構(gòu)由上下兩塊玻璃板和中間的硅片組成，上下玻璃板上各有1塊檢測電容，如圖1b所示.工作時，中間的敏感質(zhì)量塊在加速度作用下往一側(cè)偏移，此時差分檢測電容由于極板距離發(fā)生變化而改變，通過檢測差分電容的變化量，可以得到系統(tǒng)的加速度.

圖1 微加速度計的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic drawing of the micro－accelerometer

1.2 微加速度計的輸出性能建模

微加速度計依靠電容輸出檢測加速度，因而需要明確輸出性能——檢測電容的計算方法，解析面向微加速度計最終輸出的動力學(xué)特性與檢測特性.微加速度計最終的電容輸出性能模型，即檢測電容的檢測特性與其微結(jié)構(gòu)之間的動力學(xué)模型，是后續(xù)分析和優(yōu)化的基礎(chǔ).

當(dāng)系統(tǒng)有加速度作用時，微加速度計中間的敏感質(zhì)量塊在加速度作用下往一側(cè)偏移，如圖2所示.由模態(tài)分析可知，微加速度計的第1階振動模態(tài)為其工作模態(tài)，固有頻率為12 443 Hz，第2，3，4階模態(tài)的固有頻率分別為18 814，34 281，51 685Hz.

圖2 微加速度計的工作狀態(tài)Fig.2 Working state of the micro－accelerometer

微加速度計的基本數(shù)學(xué)模型是一個質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)，加速度通過敏感質(zhì)量形成慣性力作用于系統(tǒng).對于該力學(xué)模型，可列出如下2階微分方程：

式中：m為質(zhì)量；b為黏性阻尼系數(shù)；k為彈性剛度；t為時間；z（t）為敏感質(zhì)量塊相對微加速度計固定端的位移；a（t）為輸入的加速度.

根據(jù)振動理論，當(dāng)微加速度計處于常加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)時，其敏感質(zhì)量塊相對固定端的位移z趨于穩(wěn)態(tài)值：

式中ω為微加速度計的第1階固有頻率.

當(dāng)加速度a＝0時，敏感質(zhì)量塊位于平衡位置，兩差動電容C1和C2相等，即

式中：C0為C1和C2的靜態(tài)初始電容；ε0為真空介電常數(shù)；ε為介質(zhì)的相對介電常數(shù)；A為電容極板面積；d0為電容極板標(biāo)稱間距.

當(dāng)存在加速度時，敏感質(zhì)量塊由于加速度造成的微小位移可轉(zhuǎn)化為差動電容的變化，且兩電容的差值與位移量成正比，雙邊電容相對變化量ΔC與C0存在如下關(guān)系：

將式（2）代入式（4），可得輸入加速度a和雙邊電容變化的關(guān)系為

因此，不同的加速度輸入可對應(yīng)不同的電容變化，輸出電容與加速度呈正比關(guān)系.將電容變化通過檢測電路轉(zhuǎn)換成電信號，就可以用這個電信號來表征被測加速度的大小.由式（5）可得輸出檢測電容相對輸入加速度的靈敏度k為

靈敏度是微加速度計的最重要性能指標(biāo)之一，一般希望微加速度計以高靈敏度方式工作，要求其輸出電容最大化.

2 微加速度計的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化算法

2.1 微加速度計的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化流程

為使微加速度計具有更好的性能，即具有更高的靈敏度和穩(wěn)態(tài)輸出，對微加速度計的結(jié)構(gòu)拓撲進行優(yōu)化.目前的拓撲優(yōu)化算法有多種，包括基結(jié)構(gòu)法、遺傳算法、漸進結(jié)構(gòu)法、水平集方法、均勻化方法、相對密度法等.基結(jié)構(gòu)法和遺傳算法適用于離散結(jié)構(gòu).漸進結(jié)構(gòu)法則缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，嚴(yán)重依賴有限元軟件，且不能保證總能獲得最優(yōu)解.水平集方法存在邊界演化停滯問題，且計算效率較低.相對密度法受均勻化方法的啟發(fā)而產(chǎn)生，以密度為拓撲設(shè)計變量，將結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為材料的最優(yōu)分布問題，是微型結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中一種較為有效的物理描述方法，故采用相對密度法對微加速度計的結(jié)構(gòu)拓撲進行優(yōu)化.

相對密度法引入一種假想的相對密度在0～1之間可變的材料，優(yōu)化時以密度為拓撲設(shè)計變量，這樣結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題就轉(zhuǎn)化為材料的最優(yōu)分布問題.相對密度法的材料模型如下：

式中：ρ和E分別為所選材料的密度矩陣和彈性矩陣；ρ0和E0分別為均質(zhì)實體的密度矩陣和彈性矩陣；x為設(shè)計變量；xe為單元的相對密度；p為懲罰因子.

采用相對密度法進行結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化會出現(xiàn)棋盤格現(xiàn)象，因而需對原始拓撲圖進行過濾，這里采用Diaz和Sigmund等人提出的過濾求解技術(shù)［7－8］.微加速度計的拓撲優(yōu)化流程如圖3所示.

圖3 微加速度計的拓撲優(yōu)化流程圖Fig.3 Flow chart of topology optimization of the micro－accelerometer

2.2 輸出性能最大化的目標(biāo)函數(shù)

由式（5）和式（6）可知，為提高微加速度計的靈敏度，就必須增加檢測電容輸出，因此，優(yōu)化的理想目標(biāo)為微加速度計的差分輸出電容ΔC的最大化，即

微加速度計依靠彈性變形實現(xiàn)電容輸出，由式（4）可知，輸出電容ΔC與微陀螺敏感質(zhì)量塊的z向位移呈正比關(guān)系，故增大輸出位移等同于增加微加速度計的靈敏度.同時，微加速度計的輸出位移越大，其柔度越大.結(jié)構(gòu)的柔度一般用互應(yīng)變能來表征，則靈敏度最大的優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為互應(yīng)變能QMSE最大的優(yōu)化問題，即

式中：v為單位載荷作用下的節(jié)點位移矩陣；K為整體剛度矩陣；u為實際載荷作用下的節(jié)點位移矩陣.

只追求輸出位移的最大化，會使微加速度計的結(jié)構(gòu)柔度增大，剛度變小，這樣會大大減小結(jié)構(gòu)的負載能力和抗沖擊能力，所以拓撲優(yōu)化的另一個目標(biāo)是需要保證微結(jié)構(gòu)的剛度和負載能力.剛度可用應(yīng)變能QSE衡量，使結(jié)構(gòu)剛度最大化的目標(biāo)函數(shù)可表示為

互應(yīng)變能和應(yīng)變能是兩個此消彼長的目標(biāo)，二者之間需要合適的平衡，則綜合式（11）和式（12），可得微加速度計拓撲優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

式中：α和β為權(quán)重系數(shù)，且滿足α＋β＝1.

以單元密度或厚度xi（i＝1，2，…，n）為設(shè)計變量，則可對目標(biāo)函數(shù)進行進一步簡化［9］，由式（13）可得目標(biāo)函數(shù)為

把式（14）對設(shè)計變量xi求導(dǎo)，可得目標(biāo)函數(shù)的靈敏度Se為

2.3 考慮頻率約束的目標(biāo)函數(shù)與約束條件

為避免耦合，約束條件還應(yīng)考慮頻率約束，使優(yōu)化后的第1階固有頻率f1盡量遠離第2階固有頻率f2.在拓撲優(yōu)化過程中，當(dāng)其中一個階次的頻率達到較大時，其他階次的頻率會降到一個較低的值［10］，因此可采用增加微加速度計第2階固頻的方法來實現(xiàn)增大頻率差的目的.考慮頻率約束的設(shè)計變量迭代公式可寫為［11］

式中：k為迭代次數(shù)；Wi為單元重量系數(shù)；ω為頻率低限；λ為結(jié)構(gòu)的特征值；Gi為頻率梯度.

拓撲優(yōu)化過程中，各階模態(tài)可能會調(diào)換次序，因此需要限制微加速度計的第1階振型不變，故約束條件考慮如下模態(tài)性能約束：

式中，γ1為微加速度計的第1階振動模態(tài)的模態(tài)參與因子.

式（17）保證在拓撲優(yōu)化過程中，微加速度計的振動模態(tài)型式不會發(fā)生改變.

2.4 目標(biāo)函數(shù)的綜合協(xié)調(diào)

考慮到多目標(biāo)優(yōu)化問題，對輸出電容和頻率目標(biāo)函數(shù)得到的設(shè)計變量進行綜合協(xié)調(diào).假設(shè)輸出電容目標(biāo)函數(shù)和頻率目標(biāo)函數(shù)得到的更新的設(shè)計變量分別為xci和xfi，協(xié)調(diào)后新的設(shè)計變量xnewi可寫為［11］

式中med表示對向量取中間值.

合并xci和xnewi，則可得到最終的設(shè)計變量xi.

3 微加速度計的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化算例

以圖1所示的微加速度計結(jié)構(gòu)為對象，采用以上所提出的拓撲優(yōu)化算法，討論微加速度計的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題.

3.1 拓撲優(yōu)化對象與初始條件

微加速度計是諧振型器件，實施檢測的彈性變形由彈性梁來保證，因而彈性梁結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)的動力學(xué)性能有著至關(guān)重要的作用.彈性梁能夠傳遞振動，緩解沖擊，影響系統(tǒng)的耦合特性，并能釋放殘余應(yīng)力.彈性梁結(jié)構(gòu)在很大程度上決定了微加速度計的動力學(xué)性能，因而彈性梁也就決定了微加速度計的振動模態(tài)、靈敏度和穩(wěn)態(tài)輸出.

圖1所示的微加速度計有4 個彈性梁，連接著敏感質(zhì)量塊和固定質(zhì)量塊，呈對稱形式分布，起著極其重要的連接和傳遞作用，是微加速度計最關(guān)鍵的結(jié)構(gòu)之一.因此，選擇微加速度計的彈性梁結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化作為算例，初始條件如表1所示.

表1 拓撲優(yōu)化初始條件Tab.1 Initial conditions of topology optimization

3.2 拓撲優(yōu)化結(jié)果與討論

根據(jù)建立的設(shè)計變量更新公式和圖3所示的拓撲流程圖，對微加速度計的彈性梁進行拓撲優(yōu)化，得到拓撲優(yōu)化過后的材料分布圖如圖4所示.

圖4 拓撲優(yōu)化后的微加速度計材料分布圖Fig.4 Material distribution of the micro－accelerometer after topology optimization

拓撲優(yōu)化所得的結(jié)構(gòu)是非光滑鋸齒狀跳躍邊界的幾何模型，加工的難度非常大，故需重新處理拓撲優(yōu)化結(jié)果的材料分布，并盡可能簡化結(jié)構(gòu)以利于加工.處理后的模型如圖5所示.

圖5 拓撲優(yōu)化結(jié)果處理后的模型Fig.5 The model after result processing of topology optimization

按圖5的模型對微加速度計的模態(tài)和輸出性能進行分析，得到的對比結(jié)果分別如表2和表3所示.

表2 優(yōu)化前后的微加速度計固有頻率對比Tab.2 Comparison of the natural frequencies of the initial and optimized micro－accelerometers Hz

表3 優(yōu)化前后的微加速度計輸出電容對比Tab.3 Comparison of the output capacitance of the initial and optimized micro－accelerometers

由表2可見，微加速度計的前2階固頻差值為6 657Hz，比優(yōu)化之前增加了286Hz，進一步避免了前2階模態(tài)的耦合.由表3可見，微加速度計的電容輸出性能提高了4.92%.由于輸出電容與微加速度計的靈敏度呈正比關(guān)系，因而微加速度計的靈敏度也相應(yīng)提高了4.92%.由于彈性梁的質(zhì)量占微加速度計整體質(zhì)量的比重約為1.4%，因而彈性梁結(jié)構(gòu)的改變對品質(zhì)因子（Q值）的影響可以忽略不計.

4 結(jié)論

（1）以MEMS 技術(shù)制備的電容式硅微加速度計為研究對象，建立了微加速度計最終的輸出性能——檢測電容的計算模型和計算方法，實現(xiàn)了面向微加速度計最終輸出性能的動力學(xué)特性與檢測特性的分析.在微加速度計的性能解析、結(jié)構(gòu)優(yōu)化等方面，采用所提出的模型和方法，可實現(xiàn)面向微加速度計最終輸出性能的計算與分析.

（2）以提高微加速度計輸出性能為目的，建立了微加速度計結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的流程、優(yōu)化模型與目標(biāo)函數(shù).優(yōu)化結(jié)果表明，優(yōu)化后微加速度計的輸出性能和靈敏度提高了4.92%；通過拓撲優(yōu)化進一步限制了模態(tài)耦合，而微加速度計的品質(zhì)因子卻未受到影響.

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