王 成，王解先

（同濟(jì)大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院，上海200092）

在高精度GPS（global positioning system）數(shù)據(jù)處理中，周跳探測一直是GPS載波相位觀測數(shù)據(jù)預(yù)處理中比較重要的問題.周跳的探測與修復(fù)對于后續(xù)模糊度的確定以及最終定位結(jié)果的精度至關(guān)重要.針對相關(guān)內(nèi)容，國內(nèi)外學(xué)者做了一系列研究，目前常用的周跳探測方法有：多項(xiàng)式擬合法、高次差法、雙頻碼相組合法、電離層殘差法以及各種星間或站間差分方法等［1－2］.其中比較有效的周跳探測方法如電離層殘差法、MW（Melbourne－Wübbena）組合探測法等都是基于雙頻觀測數(shù)據(jù)的，而單頻接收機(jī)數(shù)據(jù)無法構(gòu)成MW 組合以及電離層殘差組合，因此周跳的探測與修復(fù)是單頻精密單點(diǎn)定位技術(shù)的難點(diǎn)之一.非差相位觀測值的周跳探測方法相比雙差模式的少，而單頻非差相位觀測值的周跳探測則更加困難，一些經(jīng)典的周跳探測方法對于單頻非差相位觀測值的周跳探測不再適用.針對這一問題，國內(nèi)一些學(xué)者提出了相應(yīng)的處理方法.2001年，賈沛璋采用3階多項(xiàng)式模型的卡爾曼濾波檢測周跳，該方法適用于采樣率為1Hz的觀測數(shù)據(jù)［3］.2009年，曹佚之提出基于信息向量的自適應(yīng)兩步階段卡爾曼濾波，克服了濾波容易發(fā)散的特點(diǎn)，對于高采樣率的單頻GPS周跳探測與修復(fù)具有良好的效果，但隨著采樣間隔加大，該方法周跳探測能力隨之下降［4］.2010年，陶庭葉采用一類支持向量機(jī)可有效探測靜態(tài)或低動(dòng)態(tài)情況下的周跳，但核函數(shù)及其參數(shù)的選擇對于周跳探測準(zhǔn)確率有較大影響，如何合理選擇模型參數(shù)需要進(jìn)一步研究［5］.2011年，騰云龍將時(shí)間序列分析用于周跳探測與修復(fù)，該方法由于采用的差分次數(shù)較多，對于1～3周的小周跳，差分序列跳變幅度不明顯從而難以準(zhǔn)確判定是否發(fā)生周跳［6］.傳統(tǒng)的多項(xiàng)式擬合和高次差分法對采樣率要求較高，且難以探測小周跳［2］.在低采樣率下，利用多普勒觀測值計(jì)算的相位變化無法反應(yīng)歷元間觀測值的實(shí)際變化，從而影響周跳探測的可靠性［7］.本文對偽距與載波相位觀測值做二次差分進(jìn)而構(gòu)造周跳檢驗(yàn)量，并基于灰色理論對周跳檢驗(yàn)量進(jìn)行預(yù)測，然后判定下一歷元的周跳檢驗(yàn)量是否在預(yù)測的數(shù)值區(qū)間內(nèi)，如果在預(yù)測范圍內(nèi)，則認(rèn)為觀測數(shù)據(jù)正常，否則認(rèn)為發(fā)生周跳.試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法簡單易行，不僅能有效適用于不同采樣率數(shù)據(jù)的周跳探測，還可對載波相位值進(jìn)行修復(fù)，為單頻非差精密單點(diǎn)定位提供了良好的數(shù)據(jù)質(zhì)量控制.

1 周跳探測的數(shù)學(xué)模型

1.1 周跳檢驗(yàn)量的構(gòu)造

偽距觀測方程與載波相位觀測方程分別為

式中：ρ為偽距觀測值；R0為站星幾何距離；c為光速；VR為接收機(jī)鐘差；VS為衛(wèi)星鐘差；I為電離層延遲量；T為對流層延遲量；eρ為包含多路徑效應(yīng)影響與偽距觀測噪聲等綜合誤差；λ為載波波長；N為整周模糊度；eφ為包含多路徑效應(yīng)影響與載波相位噪聲等綜合誤差.

將式（1）與式（2）作差，消去了站星幾何距離、接收機(jī)鐘差、衛(wèi)星鐘差和對流層延遲量得

將式（3）在歷元間作差，可消去整周模糊度這一項(xiàng)，得

式中：ΔI為電離層延遲量的變化量；Δe為差分綜合誤差.

假設(shè)第t＋1歷元發(fā)生周跳，設(shè)周跳參數(shù)為v，則

將式（5）兩邊同時(shí)除以波長λ，得

根據(jù)式（6）構(gòu)造周跳檢驗(yàn)量為

由式（6）和式（7）可知，如果電離層延遲量的變化量和差分綜合誤差在時(shí)間序列上表現(xiàn)為平滑的特性，即可使用式（7）的周跳檢驗(yàn)量來探測周跳.

1.2 周跳檢驗(yàn)量的時(shí)間序列

一般來說，如果沒有發(fā)生周跳，由式（7）構(gòu)造的周跳檢驗(yàn)量在時(shí)間序列上表現(xiàn)為相對平滑的曲線，如圖1；若發(fā)生周跳時(shí)，這種平滑的特性將被破壞進(jìn)而使周跳檢驗(yàn)量在時(shí)序上發(fā)生突變，如圖2.

由圖1和圖2可知，如果沒有發(fā)生周跳，周跳檢驗(yàn)量在短時(shí)段內(nèi)變化不大，在時(shí)序上比較平緩，一旦發(fā)生周跳，則會破壞原有的平滑特征.

1.3 灰色預(yù)測

灰色系統(tǒng)理論把一切隨機(jī)過程看作是在一定范圍內(nèi)變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過程，用數(shù)據(jù)生成的方法，將雜亂無章的原始數(shù)據(jù)整理成規(guī)律性較強(qiáng)的生成數(shù)列后再作研究.累加生成與累減生成是灰色系統(tǒng)理論與方法中的兩種數(shù)據(jù)生成方法，常用于建模［8］.設(shè)原始數(shù)列為

對x（0）作一次累加生成

即可得到一個(gè)生成序列

對此生成序列建立1階微分方程

式中，?a和?u是灰參數(shù)，其白化值為a＾＝［au］T.用最小二乘法求解，得

式中：

求得a＾后帶入式（11），解微分方程得

對x＾（1）（k＋1）作累減生成，可還原數(shù)據(jù)

當(dāng)k＜n時(shí)，稱x＾（0）（k）為模型模擬值；當(dāng)k＝n時(shí)，稱x＾（0）（k）為模型濾波值；當(dāng)k＞n時(shí)，稱x＾（0）（k）為模型預(yù)測值.

對于模型精度即模型擬合程度評定的方法有殘差大小檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)3種.其中殘差大小檢驗(yàn)是對模型值和實(shí)際值的誤差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn)；關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)是考察模型值與建模序列曲線的相似程度；后驗(yàn)差檢驗(yàn)是對殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn)［9－10］.本文采用殘差大小檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)周跳檢驗(yàn)量預(yù)測值與實(shí)測值的符合接近程度.灰預(yù)測包含數(shù)列灰預(yù)測、災(zāi)變灰預(yù)測、季節(jié)災(zāi)變灰預(yù)測、拓?fù)浠翌A(yù)測和系統(tǒng)灰預(yù)測［8］.本文根據(jù)周跳檢驗(yàn)量的時(shí)序特征選擇數(shù)列灰預(yù)測方法.

2 周跳探測與修復(fù)

利用灰色理論建模的主要目的是預(yù)測，但隨著預(yù)報(bào)步數(shù)的增加，預(yù)報(bào)準(zhǔn)確性越差，所以預(yù)報(bào)的步數(shù)應(yīng)盡可能小.為了提高預(yù)測的精度和可靠性，本文選擇由若干歷元（一般取10～30）周跳檢驗(yàn)量構(gòu)成灰色理論的原始數(shù)列窗口，對窗口內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行灰色建模并計(jì)算灰色預(yù)測值與預(yù)測區(qū)間，之后對實(shí)測值進(jìn)行檢驗(yàn)，具體步驟如下：

（1）對當(dāng)前歷元窗口內(nèi)的周跳檢驗(yàn)量進(jìn)行灰色建模計(jì)算預(yù)測值，并與窗口內(nèi)周跳檢驗(yàn)量的3倍中誤差構(gòu)成預(yù)測區(qū)間；

（2）判定歷元窗口之后的下一個(gè)歷元周跳檢驗(yàn)量是否在預(yù)測區(qū)間內(nèi)，如果在范圍內(nèi)則表明沒有發(fā)生周跳，否則認(rèn)為發(fā)生周跳；

（3）如果發(fā)生周跳，需要對該歷元進(jìn)行周跳修復(fù)，即用預(yù)測值減去該歷元周跳檢驗(yàn)值四舍五入取整，然后對該歷元及后續(xù)所有相位觀測值減去這個(gè)數(shù)值；

（4）加入一個(gè)最新歷元的周跳檢驗(yàn)量，去掉一個(gè)最舊歷元的周跳檢驗(yàn)量，構(gòu)造新的歷元窗口，重復(fù)上述步驟，依次進(jìn)行周跳探測與修復(fù).

周跳探測與修復(fù)的流程圖見圖3.

圖3 周跳探測流程圖Fig.3 Flow diagram of cycle slip detection

3 實(shí)驗(yàn)分析

采 用2009 年5 月10 日 某 測 站GPS 觀 測 數(shù) 據(jù)26號衛(wèi)星一個(gè)弧段的干凈數(shù)據(jù)，歷元窗口選擇為10，使用上述周跳探測方法分別對以下3種方案進(jìn)行算例分析，各方案周跳檢驗(yàn)量及殘差如圖4—9，周跳探測及修復(fù)信息如表1.

（1）采樣間隔為5s，對載波在第800，1 800，2 700歷元分別加入1周、8周和6周；

（2）采樣間隔為15s，對載波在第300，550，700歷元分別加入10周、1周和8周；

（3）采用間隔為30s，對載波在第100，230，400歷元分別加入25周、10周和3周.

由圖4—9及表1可知，在高采樣率下，灰色模型的建模精度較高，預(yù)測值與實(shí)際周跳檢驗(yàn)量的符合程度較好，當(dāng)發(fā)生周跳時(shí)，實(shí)測周跳檢驗(yàn)量會超出預(yù)測范圍進(jìn)而探測出周跳，同時(shí)將預(yù)測值與實(shí)測值

作差即可得到周跳改正量，從而實(shí)現(xiàn)周跳的快速修復(fù).當(dāng)采樣間隔增大到30s時(shí)，建模精度有所下降，預(yù)測值與實(shí)際周跳檢驗(yàn)量的符合程度降低，歷元窗口內(nèi)的周跳檢驗(yàn)量的方差增大，從而使預(yù)測區(qū)間增大，導(dǎo)致不能探測小于3周左右的周跳，并且周跳修復(fù)存在1周左右的偏差.

表1 各方案周跳探測與修復(fù)信息Tab.1 Slip detection and correction information of different projects 周

此外，當(dāng)衛(wèi)星高度角鄰近最大時(shí)，衛(wèi)星相對于測站的運(yùn)動(dòng)趨勢有所變化，周跳檢驗(yàn)量由正到負(fù)，此時(shí)建模精度較差.根據(jù)灰理論中的級比判斷準(zhǔn)則也可驗(yàn)證方案一中的周跳檢驗(yàn)量序列不具備GM（1，1）建模的可行性［8］.為此，可將方案一周跳檢驗(yàn)量序列的每一個(gè)值分別減去序列最小值從而得到一組非負(fù)的序列，然后用灰理論建模得到模型值，最后加上原序列最小值即可.另外，可采用內(nèi)生控制灰數(shù)u近似作為預(yù)測值，如果事后處理，可在高度角鄰近最大前后分別建模.采用26號衛(wèi)星的一段數(shù)據(jù)，采樣間隔為30s，歷元窗口為10，最大高度角位于314歷元，分別對以下4種方案進(jìn)行算例分析：①歷元窗口為285至294，位于鄰近最大高度角；②歷元窗口為251至260，位于最大高度角前；③歷元窗口為315至324，位于最大高度角后；④數(shù)據(jù)同方案一，采用改進(jìn)灰色模型.其中衛(wèi)星高度角如圖10，周跳檢驗(yàn)量樣本如圖11，殘差如圖12，相關(guān)計(jì)算結(jié)果如表2.

圖10 衛(wèi)星高度角Fig.10 Altitude angle of satellite

由圖11，12及表2可知當(dāng)周跳檢驗(yàn)量序列的數(shù)值都為正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，GM（1，1）模型的建模精度較好，而同時(shí)包含正數(shù)和負(fù)數(shù)的方案一建模精度較差.表2中方案一的第2行為預(yù)測值采用內(nèi)生控制灰數(shù)的相關(guān)信息，可知當(dāng)數(shù)據(jù)序列不具備建立GM（1，1）模型時(shí)也可近似采用內(nèi)生控制灰數(shù)作為預(yù)測值，但卻違背了灰理論建模的條件，而改進(jìn)的灰色模型不僅能夠符合灰建模的條件，其建模精度和通常的序列建模精度基本一致，能夠有效用于周跳探測.

表2 4種方案周跳探測信息Tab.2 Slip detection information of 4projects 周

4 結(jié)語

本文使用單頻單測站的偽距與載波相位觀測值構(gòu)造周跳檢驗(yàn)量，采用灰色理論對歷元窗口內(nèi)周跳檢驗(yàn)量進(jìn)行建模計(jì)算預(yù)測值以及預(yù)測區(qū)間，通過檢驗(yàn)實(shí)測周跳檢驗(yàn)量是否落在預(yù)測范圍內(nèi)來判斷是否發(fā)生周跳.通過算例分析表明，該方法計(jì)算簡單，易于實(shí)現(xiàn)，對于5s，15s采樣間隔的非差載波相位觀測值能夠有效地探測1周及以上的周跳，并且能夠較好地修復(fù)周跳，對于30s采樣間隔的數(shù)據(jù)能夠探測3周及以上的周跳，但周跳修復(fù)存在1周左右的偏差.當(dāng)衛(wèi)星高度角不斷增大，電離層延遲量的變化量和差分綜合誤差歷元間差分出現(xiàn)負(fù)值，此時(shí)建模精度較差，當(dāng)周跳檢驗(yàn)量序列中同時(shí)含有正負(fù)數(shù)時(shí)，不具備灰色建模的可行性，而采用改進(jìn)灰色模型先將序列編輯為非負(fù)數(shù)從而能夠符合灰建模的條件，然后建模得到模型值及預(yù)測值，并能夠用于周跳探測.由于本文實(shí)驗(yàn)所采用的單頻數(shù)據(jù)是從雙頻接收機(jī)所接收數(shù)據(jù)中提取的單個(gè)頻率的觀測值，而一般情況下單頻接收機(jī)所獲取的數(shù)據(jù)質(zhì)量通常比雙頻接收機(jī)的差，因此，在實(shí)際應(yīng)用中，使用單頻非差載波相位觀測值進(jìn)行周跳探測時(shí)，其精度水平可能低于上述精度指標(biāo).

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