李男杰，汪蘭英，魏俊潮＊

（1．揚州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚州225002；2．南京郵電大學(xué) 吳江職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 吳江215200）

0 引言

在本文中，R 表示有單位元的結(jié)合環(huán)，Zl（R），J（R）分別表示R 的左奇異理想和Jacobson根．設(shè)X 是R 的一個非空子集，用l（X），r（X）分別表示X 在R 中的左零化子和右零化子．特別地，當(dāng)X＝｛a｝時，記l（X）＝l（a），r（X）＝r（a）．

設(shè)M 為左R－模，若對每個a∈R 及R 的每個補左理想C，每個左R－單射f：Ca→M 都可擴充到R，即總存在左R－同態(tài)g：R→M，使得g｜Ca＝f，則稱M 為MUP－內(nèi)射模［1］．ROGER［1］428指出，左MUP－內(nèi)射模是左p－內(nèi)射模［2］的真正推廣．若對每個0≠a∈R，存在n≥1，使得an≠0且對R 的每個補左理想C，每個左R－單射f：Can→M 都可擴充到R，則稱左R－模M 為QMUP－內(nèi)射模．顯然，左QMUP－內(nèi)射模是左YJ－內(nèi)射模［3］和左MUP－內(nèi)射模的推廣．若左R－模R 是QMUP－內(nèi)射的，則稱R 為左QMUP－內(nèi)射環(huán)．

若R 的每個極小左理想均由一個冪等元生成，則稱R 為左泛極小內(nèi)射環(huán)［4］．顯然半素環(huán)是左泛極小內(nèi)射環(huán)．若R 的每個極小左理想都是投射左R－模，則稱R 為左PS環(huán)［5］．顯然左泛極小內(nèi)射環(huán)是左PS環(huán)．若對R 的極小左理想I，當(dāng)I?Rg，g2＝g∈R 時，必有I＝Rh，h2＝h∈R，則稱R 為左MC2環(huán)［6］．筆者［7］曾指出：R 為左泛極小內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R 稱為左PS環(huán)和左MC2環(huán)．在本文中，筆者擬利用左QMUP－內(nèi)射模給出這些環(huán)的一些刻畫．

1 主要結(jié)果

定理1設(shè)R 為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R 為一個左泛極小內(nèi)射環(huán)；

2）每個單左R－模是MUP－內(nèi)射模；

3）每個單左R－模是QMUP－內(nèi)射模．

證明 2）?3）：顯然．

1）?2）：設(shè)M 為單左R－模．任取a∈R 及R 的每個補左理想C，并設(shè)f：Ca→M 是任意左R－單射．由于M 是單模，從而f 是同構(gòu)，所以Ca是R 的極小左理想．由于R 為左泛極小內(nèi)射環(huán)，所以Ca＝Rh，h2＝h∈R．設(shè)f（h）＝m∈M．作σ：R→M 滿足σ（r）＝rm，r∈R，則σ 是左R－同態(tài)且σ（ca）＝cam＝caf（h）＝f（cah）＝f（ca），c∈C，因此M 是MUP－內(nèi)射模．

3）?1）：設(shè)I＝Rk是R 的任意極小左理想，則由3）知，RI 是QMUP－內(nèi)射模，故存在n≥1，使得kn≠0，任意左R－單射：Rkn→I可擴張到R．由于Rk＝Rkn＝I，從而恒等映射1：Rkn→I也可擴張到R，即有g(shù)：R→I，使得g（k）＝1（k）＝k．設(shè)g（1）＝dk，d∈R，則k＝kdk．記e＝dk，則e2＝e且Rk＝Re，所以R 為左泛極小內(nèi)射環(huán)．

注：由于半素環(huán)上的單模未必為YJ－內(nèi)射模，且半素環(huán)為左泛極小內(nèi)射環(huán)，故由定理1 知QMUP－內(nèi)射模是YJ－內(nèi)射模的真正推廣．

筆者［8］曾指出：一個環(huán)R 為左MC2環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對每個a∈R，每個左極小冪等元g（即g2＝g 且Rg 是R 的極小左理想），aRg＝0蘊涵gRa＝0．顯然R 為左MC2環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R 的每個投射的極小左理想是R 的直和項．由于R 的每個極小左理想要么是投射的，要么是奇異的，因此由定理1知有下列推論．

推論2設(shè)R 為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R 為一個左泛極小內(nèi)射環(huán)；

2）R 是左MC2環(huán)，每個奇異單左R－模是MUP－內(nèi)射模；

3）R 是左MC2環(huán)，每個奇異單左R－模是QMUP－內(nèi)射模．

筆者［8］655曾指出：一個環(huán)R 為左MC2環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個投射單左R－模是極小內(nèi)射模．類似地，可得到下面的定理．

定理3設(shè)R 為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R 為左MC2環(huán)；

2）每個投射單左R－模是MUP－內(nèi)射模；

3）每個投射單左R－模是QMUP－內(nèi)射模．

若R 的每個極小左理想是投射左R－模，則稱R 為左PS環(huán)［5］443．由定理1的證明知有下面的推論．

定理4設(shè)R 為一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R 為左PS環(huán)；

2）每個奇異單左R－模是MUP－內(nèi)射模；

3）每個奇異單左R－模是QMUP－內(nèi)射模．

定理5設(shè)R 為一個左QMUP－內(nèi)射環(huán)，I為R 的非奇異的有限生成左理想，則I是R 的直和項．

證明 1）首先假設(shè)I＝Rb，0≠b∈R．由于R 為左QMUP－內(nèi)射環(huán)，故存在n≥1，使得bn≠0且對每個補左理想C，從Cbn到R 的任意左R－單射可擴張到R．現(xiàn)設(shè)C 是l（bn）的補左理想，則C≠0．作f，則

f 是左R－單射，故有x∈R，使得對每個c∈C，有c＝cbnx，因此C⊕l（bn）?l（bn－bnxbn），這說明bn－bnxbn∈I∩Zl（R）＝0，所以bn＝bnxbn，從而bn為von Neumann正則元．記b1＝bn－1－bn－1xbn，則b21＝0．如果b1≠0，則因b1∈I，故由上述證明知存在x1∈R，使得b1＝b1x1b1，所以bn－1＝bn－1（xb＋（1－xbn）x1（1－bn－1xb））bn－1．如果b1＝0，則bn－1＝bn－1（xb）bn－1，可見在任何情況下，bn－1為von Neumann正則元．如此下去，可證得b為von Neumann正則元，從而I是R 的直和項．

2）現(xiàn)設(shè)I＝Ra＋Rb，a，b∈R．由1）知，Rb＝Re，e2＝e∈R，從而I＝Re⊕Ra（1－e）＝Re⊕Rw，其中Rw＝Ra（1－e），w2w∈R．設(shè)g＝（1－e）w，則wg＝w，g2＝g 且Rg＝Rw，從而I＝Re⊕Rg＝R（e＋g），其中e＋g＝（e＋g）2，所以I是R 的直和項．

3）利用1）和2），對I的生成元的個數(shù)由數(shù)學(xué)歸納法知I 是R 的直和項．

設(shè)I是R 的理想，記1＝｛x∈R｜存在n≥1，使xn∈I｝，則有下面的定理．

定理6設(shè)R 為一個左QMUP－內(nèi)射環(huán)，則1）是π－正則環(huán)．

證明 1）設(shè)a∈Zl（R）．任取b∈R，則ab∈Zl（R），所以l（1－ab）＝0．由于R 為左QMUP－內(nèi)射環(huán)，所以存在n≥1，使得左R－單射可擴張到R，即有y∈R，使得1＝f（（1－ab）n）＝（1－ab）ny，因此a∈J（R），從而Zl（R）?J（R）．

2）設(shè)0≠c∈J（R）．由于R 為左QMUP－內(nèi)射環(huán)，所以存在n≥1，使得cn≠0及對任意補左理想D，任意左R－單射：Dcn→R 可擴張到R．如果cn?Zl（R），則由定理1的證明知，存在y∈R，使得cn－cnycn∈Zl（R）．由于c∈J（R），所以1－ycn是可逆元，從而cn∈Zl（R），矛盾；因此，cn∈從而

3）設(shè)c∈R＼Zl（R），則存在n≥1，使得cn≠0及對任意補左理想D，任意左R－單射：Dcn→R 可擴張到R．如果cn∈Zl（R），則在ˉR＝R／Zl（R）中，ˉcn＝0－＝ˉcnˉcnˉcn．如果則由定理1的證明知，存在y∈R，使得cn－cnycn∈Zl（R），從而ˉR＝R／Zl（R）中，ˉcn＝ˉcnˉyˉcn，因此ˉR＝R／Zl（R）是π－正則環(huán)．

設(shè)a∈R，若l（a）＝0，則稱a為R 的左正則元．為方便計，用W（R）表示R 的所有左正則元的集合．設(shè)a∈R，若存在b∈R，使得ab＝1，則稱a是R 的右可逆元．若對每個a∈W（R），都有Ra｜R，則稱R 是左WGC2環(huán)［9］．若對每個a∈R，作為左R－模，當(dāng)Ra?R 時，總有Ra｜R，則稱R 是左GC2環(huán)［10］．顯然左GC2環(huán)是左WGC2環(huán)．文獻［9］6定理1證明了：R 是左WGC2環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個左正則元是右可逆元．

定理7設(shè)R 是左QMUP－內(nèi)射環(huán)，則R 是左GC2環(huán)．

證明 設(shè)a∈R，使得Ra?σR．設(shè)σ（a）＝c∈R，σ（ba）＝1，記d＝ba，則l（d）＝0，Rd＝Ra．由于R 為左QMUP－內(nèi)射環(huán)，所以存在n≥1，使得dn≠0且左R－單射可擴張到R，即存在y∈R，使得1＝dny，所以d＝dnyd．記e＝dn－1yd，則e2＝e，Ra＝Rd＝Re，所以Ra｜R，即R 是左GC2環(huán)．

推論81）設(shè)R 是左QMUP－內(nèi)射環(huán)，則R 是左WGC2環(huán)．

2）設(shè)R 是左MUP－內(nèi)射環(huán)，則R 是左GC2環(huán)．

3）設(shè)R 是QMUP－內(nèi)射環(huán)，則R 是左WGC2環(huán)．

設(shè)a∈R，若l（a）＝r（a）＝0，則稱a是R 的非零因子．設(shè)M 是左（右）R－模，若對R 的每個非零因子a，總有M＝aM（M＝Ma），則稱M 是可除左（右）R－模．由文獻［9］7推論3，4，5，定理7和推論8可知有下列推論．

推論9設(shè)R 是左QMUP－內(nèi)射環(huán)，則每個左或右R－模是可除模．

設(shè)R 為一個環(huán)，r∈R．若Rr（rR）為R 的極小左（右）理想，則稱r 為R 的左（右）極小元．用minl（R）表示環(huán)R 的全體左極小元的集合．若對每個x∈minl（R），有rl（x）＝xR，則稱R 為左極小內(nèi)射環(huán)［4］548．由文獻［4］551知，左極小內(nèi)射環(huán)是左MC2環(huán)．

定理10左QMUP－內(nèi)射環(huán)是左極小內(nèi)射環(huán)．

證明 設(shè)x∈minl（R）．由于R 為左QMUP－內(nèi)射環(huán)，所以存在n≥1，使得xn≠0及對任意補左理想D，任意左R－單射：Dcn→R 可擴張到R．顯然Rx＝Rxn，l（x）＝l（xn）．對于任意y∈rl（x），總有l(wèi)（x）＝l（y），作則f 是左R－單射．由假設(shè)存在z∈R，使得y＝f（x）＝xz∈xR，因此從而R 為左極小內(nèi)射環(huán)．

推論11左MUP－內(nèi)射環(huán)是左極小內(nèi)射環(huán)．

文獻［11］定理4．1指出：如果R 為左MC2環(huán)，包含一個內(nèi)射的極大左理想，則R 為左自內(nèi)射環(huán)．由于左自內(nèi)射環(huán)是左MUP－內(nèi)射環(huán)，故由定理10可得下面的推論．

推論12設(shè)R 為一個環(huán)，包含一個內(nèi)射的極大左理想，則下列條件等價：

1）R 是左自內(nèi)射環(huán)；

2）R 是左MUP－內(nèi)射環(huán)；

3）R 是左QMUP－內(nèi)射環(huán)；

4）R 是左極小內(nèi)射環(huán)；

5）R 是左MC2環(huán)．

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