馮 志 新

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

復(fù)數(shù)域中兩類函數(shù)的單值分支問題

馮 志 新

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

針對不同多值函數(shù)，分別運(yùn)用限制輻角法和連續(xù)變化法系統(tǒng)地研究了對數(shù)函數(shù)與根式函數(shù)的單值分支問題.

多值函數(shù)；輻角；函數(shù)改變量；單值分支

初等多值函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論中初等函數(shù)部分的一個(gè)重要內(nèi)容[1]，其解析性質(zhì)和映射性質(zhì)要比初等單值函數(shù)復(fù)雜得多，研究的思想方法也比較獨(dú)特，學(xué)生不易理解和掌握，從而這部分內(nèi)容成為該課程教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)．復(fù)變函數(shù)的解析性是以極限、連續(xù)、可微作為基礎(chǔ)，而這些概念都是針對單值函數(shù)來說的，因此無法在原來的意義下研究多值函數(shù)的解析性．在實(shí)際應(yīng)用中遇到多值函數(shù)時(shí)也只是取它的一個(gè)確定的值，因此研究多值函數(shù)的根本方法是把多值函數(shù)分解為單值函數(shù)來研究，即通過特殊的方法把初等多值函數(shù)分解為若干單值分支，進(jìn)而再研究每個(gè)單值分支的連續(xù)性、解析性等性質(zhì)．

對于初等多值函數(shù)，引起其多值性的主要原因是輻角的多值性，針對比較簡單的多值函數(shù)，如根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)Lnz用“限制輻角法”將其分解為單值函數(shù)比較簡單，比較復(fù)雜的一般根式函數(shù)和一般對數(shù)函數(shù)LnR(z) 用“連續(xù)變化法”分解(其中R(z)為有理函數(shù))．

1 根式函數(shù)w= (n是＞1的整數(shù))的可單值分支問題

用限制輻角的方法確定其單值分支，步驟如下：

限制輻角：令0≤ ar gz＜ 2π(或 -π＜ argz≤π)

2 一般根式函數(shù)）與一般對數(shù)函數(shù) LnR（ z）的可單值分支問題

顯然這兩個(gè)多值函數(shù)的多值性是由 ArgR（z） 的多值性引起的，因此先研究ArgR（z）的可單值分支問題．而函數(shù) ArgR（z） 比 Argz要復(fù)雜得多，繼續(xù)用限制輻角法研究很困難，利用函數(shù)改變量研究起來思路清晰，比較容易理解．

2.1 ArgR（ z）的可單值分支問題

用簡單曲線l適當(dāng)?shù)剡B接各支點(diǎn)，沿l割開z平面得到的區(qū)域D就是ArgR（z）的可單值分支區(qū)域．

ArgR（z）可單值分支的確定:設(shè)D是 ArgR（z） 的可單值分支區(qū)域z0∈D，初值?0=argR（z0）．對于?z∈D，在D內(nèi)任意作一條連接z0,z的簡單曲線L，ΔLArgR（z）= argR（z） - argR（z0），故f（z） = argR（z）= ΔLArgR（z） +?0，稱其為由初值?0確定的單值分支．

2.2 LnR（ z）的可單值分支問題

定理2LnR（z） 的支點(diǎn)與正常點(diǎn)和 ArgR（z）相同．

故 LnR（z） 的可單值分支區(qū)域與 ArgR（z）的可單值分支區(qū)域作法相同．

例2 求函數(shù)w=Ln（ 1-z2）的一個(gè)可單值分支區(qū)域，并求當(dāng)z=0時(shí)取值為零的分支在z=2點(diǎn)的值．

圖1 w=Ln（1- z2）的可單值分支區(qū)域

2.3 w=）的可單值分支問題

圖2 w=的可單值分支區(qū)域

用連續(xù)變化法研究多值函數(shù)的單值分支問題時(shí)需要注意的是，支割線應(yīng)盡量選取一條最簡單的連接所有支點(diǎn)的曲線，特殊情況也可選多條，同時(shí)所作支割線要避開題中給出的已知點(diǎn)(起點(diǎn))和要求的點(diǎn)(終點(diǎn))，因?yàn)檫@兩點(diǎn)應(yīng)該是在可單值分支區(qū)域內(nèi)的，有時(shí)也在邊界上岸或下岸；在可單值分支區(qū)域內(nèi)作簡單曲線連接起點(diǎn)和終點(diǎn)，因此這條簡單曲線不能和支割線有交點(diǎn)．

容易看出和 Lnz分別是和 LnR（z）的特殊情況，也可用連續(xù)變化法求解，根據(jù)定理1和定理3，和 Lnz的支點(diǎn)都為 0,∞ ，因此任意一條連接0,∞的簡單曲線都是支割線，但其中最簡單的就是正實(shí)軸或負(fù)實(shí)軸，可見還是限制輻角法比較簡單．

[1] 韓惠麗,房彥兵.多值函數(shù)在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23(4):180-183.

[2] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,2004:64-87.

[3] 劉聲華,宮子吉,沈永祥.初等解析函數(shù)[M].長春:吉林大學(xué)出版社,1991.

[4] 王長慶,姜俊彬.多值函數(shù)改變量及其在求解單值分支中的應(yīng)用[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào),1997(4):347-350.

The Single-Valued Branches of Two Functions in Complex Number Field

FENG Zhi-xin
(College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping, Jilin 136000, China)

In this paper, we make a systematic study of the single-valued branches of logarithmic function and radical function in complex number field by using “l(fā)imiting argument” method and “continuous transforming” method.

multi-valued function; argument; function transforming; single-valued branches

O174.5

A

1673-2065(2012)01-0029-04

2011-09-26

吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(2011- 160)

馮志新(1979-),女,吉林雙遼人,吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院講師,理學(xué)碩士.

(責(zé)任編校：李建明英文校對：吳秀蘭)