布魯爾的SMK（sociology of Mathematic Knowledge）思想是其SSK（sociology of scientific knowledge）思想的重要組成部分，其內(nèi)涵在于指出并不存在獨(dú)立于環(huán)境的所謂理性范式，即便數(shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的理論性和邏輯自恰性，也應(yīng)該對(duì)它進(jìn)行社會(huì)學(xué)分析；社會(huì)力量對(duì)于最深?yuàn)W、最抽象的數(shù)學(xué)領(lǐng)域也能夠施加有力的影響，數(shù)學(xué)的威力就在于其中不可剔除的社會(huì)性成分。他以2+2=4為例，對(duì)其進(jìn)行了具體的社會(huì)學(xué)分析；在這之前，他首先予以明確。
　　一、對(duì)2＋2＝4進(jìn)行社會(huì)學(xué)分析具有可能性
　　“2+2=4這些術(shù)語的意義清澈如晶體，毫無彈性，以致命題只有單一的解釋，其真實(shí)性絲毫不容反駁，千秋萬世，顯示著理性所固有的洞燭真?zhèn)蔚哪芰Α盵1]，事實(shí)果然如此？
　　對(duì)此，知識(shí)社會(huì)學(xué)創(chuàng)始人卡爾·曼海姆（Karl Mannheim）明確指出，自然科學(xué)中質(zhì)的方面所包含的因素或多或少與認(rèn)知主體的世界觀交織在一起，但是“它的可定量領(lǐng)域，在很大程度上可以超脫于研究者的歷史——社會(huì)視角?！北热鐢?shù)學(xué)的歷史發(fā)展“在很大程度上決定于內(nèi)在的因素。”因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)有特殊的認(rèn)識(shí)論地位，它與研究者的歷史社會(huì)觀在很大程度上是脫離的，對(duì)它的研究不受研究者觀念形態(tài)的影響，它是可以逃避思想批判的知識(shí)形式，無法對(duì)其進(jìn)行社會(huì)學(xué)的分析，因而需要從知識(shí)社會(huì)學(xué)的研究視野中將其剔除。
　　布魯爾否定曼海姆的這種觀點(diǎn)，他認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)并不具備社會(huì)學(xué)分析的豁免權(quán)，因?yàn)槲覀儫o法在物理、化學(xué)等經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)和通常認(rèn)為的包括數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)在內(nèi)的非經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)之間做出區(qū)分，更不能將不同的心智器官視為不同知識(shí)的產(chǎn)生源泉，比如說感覺經(jīng)驗(yàn)器官產(chǎn)生關(guān)于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的有條件的知識(shí)，而理性的器官則產(chǎn)生關(guān)于邏輯和數(shù)學(xué)必然性的真理。
　　布魯爾以因果性、公平性、對(duì)稱性等原則構(gòu)成的綱領(lǐng)為理論平臺(tái)，指出并不存在超文化的所謂的理性范式，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)也應(yīng)該進(jìn)行社會(huì)學(xué)分析，從而將因果性指導(dǎo)原則推及到了傳統(tǒng)上認(rèn)為是自然科學(xué)知識(shí)中的硬核部分——數(shù)學(xué)領(lǐng)域，“我們至今所討論的問題以及問題討論的結(jié)論將從經(jīng)驗(yàn)知識(shí)領(lǐng)域和有條件的知識(shí)領(lǐng)域，擴(kuò)展到‘必然性’真理的王國”。所以對(duì)包括2+2=4這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)也是可以進(jìn)行社會(huì)學(xué)的分析的。
　　另外，為了批判2+2=4具有意義確定性的觀點(diǎn)，布魯爾還理性地構(gòu)建了語境。他認(rèn)為2+2=4這個(gè)式子的含義并非如理性主義者所想的那樣確切，它依賴于具體的語境，比如在他所構(gòu)造的僅有0、1、2、3、4這樣5個(gè)數(shù)字的有限算數(shù)（finite arithmetic）的環(huán)境中，當(dāng)人們回答3+3=1，3+4=2，2*2=4，3*3=4的時(shí)候，2+2=4的意義就異于它在十進(jìn)制中的意義。也即單單拿出一個(gè)孤立的式子2+2=4，實(shí)際上我們無法理解其確切、具體的含義，我們無法判斷它究竟是應(yīng)用于十進(jìn)制還是五進(jìn)制的語境中。我們不能因?yàn)槲暹M(jìn)制的應(yīng)用范圍小于十進(jìn)制的，就認(rèn)為五進(jìn)制的應(yīng)用不合理、沒有意義。這也是布魯爾強(qiáng)綱領(lǐng)中公正性原則的貫徹，即“它應(yīng)當(dāng)對(duì)真理和謬誤、合理性或者不合理性、成功或者失敗，保持客觀公正的態(tài)度。這些二分狀態(tài)的兩個(gè)方面都要加以說明?！?br/>　　二、對(duì)2＋2＝4“非社會(huì)學(xué)分析”觀點(diǎn)的批判
　　布魯爾采用他一貫主張的自然主義、經(jīng)驗(yàn)主義的原則，對(duì)2+2=4的產(chǎn)生和建立進(jìn)行了分析。他通過對(duì)2+2=4低階（low-status）、中階（middle-status）和高階（high-status）三階證明的批判，得出“2+2=4的可信性并不是建立在證明的基礎(chǔ)之上，具有充分必要條件的證明并不存在”的結(jié)論，針鋒相對(duì)地反駁了勞丹的觀點(diǎn)——由證明產(chǎn)生的理性的信念是2＋2=4的可信性的根源。
　　首先，布魯爾對(duì)2+2=4的低階證明進(jìn)行了批判。低階證明是普通人對(duì)這個(gè)公式的認(rèn)識(shí)過程。這時(shí)人們往往借助實(shí)物進(jìn)行證明，從一堆蘋果中選取一對(duì)兒，數(shù)數(shù)：一、二。從這堆蘋果中另取一對(duì)兒，數(shù)數(shù)：一、二。然后將兩對(duì)并行放置，數(shù)數(shù)：一、二、三、四。這就是2＋2=4的原因。最后的結(jié)論可能是：所有與之相似的群體都會(huì)產(chǎn)生與之同樣的結(jié)果。于是：2+2=4。但布魯爾認(rèn)為，僅僅因?yàn)檫@些蘋果現(xiàn)在以這種方式作為，并不能說明它們將會(huì)總是以同樣的方式作為。如此方式建立的一個(gè)歸納和經(jīng)驗(yàn)的真理，顯然無法推延到建立2+2總是并且必須等于4這樣一個(gè)永恒真理。所以，以這種方式對(duì)2+2=4進(jìn)行的低階證明，是不能成立的。
　　其次，布魯爾對(duì)2+2=4的中階證明進(jìn)行了批判。弗雷格（Frege）和皮諾（Peano）所使用的證明用相繼關(guān)系定義自然數(shù)，1是0的后繼者，2是1的后繼者，2也是0的后繼者的后繼者，等等。符號(hào)表示為：1=S（0），2=S（1），或者2=S（S（0））。這樣，2+2=S（S（0））+S（S（0）），4=S（S（S（S（0））））。顯然，要使用這種方法證明2+2=4，我們就要追尋S的使用次數(shù)。事實(shí)上也就是在數(shù)數(shù)，這樣，在證明之初就已經(jīng)預(yù)設(shè)了要證明的結(jié)果。
　　再次，布魯爾對(duì)2+2=4的高階證明進(jìn)行了批判。職業(yè)邏輯學(xué)家麥克爾（J.L.Mackie）在1966年對(duì)于2+2=4做了一個(gè)12步的高階證明，第1步是他用符號(hào)化的語言表達(dá)了進(jìn)行低階證明的記數(shù)者（quantifiers）的行為。后2步是對(duì)第1步信息的重復(fù)，但消解掉了記數(shù)者存在的信息。以后的幾步都是對(duì)前面步驟的歸約，到了第11步，他把一開始消解掉的記數(shù)者又拾了回來。第12步則表達(dá)了這樣的信息，即對(duì)于K、L和M集合，如果K只有2個(gè)元素，L也只有2個(gè)元素，那么當(dāng)M把兩個(gè)集合合并，M就是一個(gè)四元素的集合。麥克爾的結(jié)論是，基于符號(hào)邏輯的12個(gè)步驟進(jìn)行演算的這個(gè)高階證明，與我們進(jìn)行低階證明時(shí)所依賴的完全是一樣的思維過程，即我們依賴于2+2=4這個(gè)例證。
　　在布魯爾看來，這個(gè)所謂的高階證明不外乎是引進(jìn)了a、b、c、d四個(gè)符號(hào)，a和b形成一個(gè)2元素的集合K，c和d形成一個(gè)2元素集合L，a、b、c、d則形成了一個(gè)4元素的集合M，其實(shí)，它們與低階證明并無二致，至多前者是一個(gè)身體性的收集活動(dòng)，后者是一個(gè)符號(hào)性的操作活動(dòng)。顯然麥克爾的證明恰恰說明2+2=4奠基于原始的社會(huì)性活動(dòng)中。布魯爾對(duì)此深刻地指出，如果說我們從建構(gòu)中得到了什么，原因還是在于我們作為孩童時(shí)刻接受的訓(xùn)練。對(duì)于2+2=4來說，我們接受它，是因?yàn)樗鼇碜詡鹘y(tǒng)，來自社會(huì)性活動(dòng)，而不是所謂的證明或自明。
　　這樣，對(duì)于2+2=4來說，無論是低階證明、中階證明還是高階證明，都是建立在社會(huì)性活動(dòng)的基礎(chǔ)上的，都可以在其中發(fā)現(xiàn)社會(huì)因素的存在。
　　三、布魯爾對(duì)2＋2＝4的社會(huì)學(xué)分析及其對(duì)當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的意義
　　布魯爾認(rèn)為，2+2=4之所以具有可信性，不在于它得到了證明，而在于它是一種約定，并對(duì)這種約定的社會(huì)本性進(jìn)行了如下分析：
　　布魯爾首先將數(shù)學(xué)與語言、學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)與學(xué)習(xí)拼寫進(jìn)行了類比，“我們?cè)跀?shù)數(shù)中受訓(xùn)，正如我們?cè)谧帜钢惺苡?xùn)一樣，我們學(xué)習(xí)加法就像我們學(xué)習(xí)拼寫一樣”，繼而指出無論是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還是學(xué)習(xí)語言，它們都涉及規(guī)則的遵守，“但是沒有人不把字母或拼寫規(guī)則視作社會(huì)約定”，“當(dāng)孩子們?cè)趯W(xué)習(xí)算術(shù)時(shí)，孩子們所受的訓(xùn)練受制于他們的老師，還有什么比在學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)過程中堅(jiān)決要求孩子必須說4之后是5，3之后是4更強(qiáng)烈的權(quán)威訴求嗎”？而整個(gè)“傳授過程必須被看作是社會(huì)性決定的和有社會(huì)性條件的”?！皵?shù)學(xué)的必然性不過是通常附著于某種更重要的社會(huì)約定的道德必然性的一個(gè)種類，數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性不過是一種社會(huì)需要的嚴(yán)格性，即這種社會(huì)需要我們使用這種技藝而不是那種技藝”。
　　對(duì)于2＋2＝4的使用，已經(jīng)日?；搅宋覀兊膶?shí)踐當(dāng)中。而對(duì)于2＋2＝4的這種約定，不外乎說明了一種我們集體所認(rèn)可的方式，這從維特根斯坦的著作中可以清晰發(fā)現(xiàn)，“要明白2＋2＝4，你只需看一下圖1”
　　這樣的分類模式一定是已經(jīng)訓(xùn)練好了的，否則為什么不是圖2所示？
　　不同的分類模式正是有限論（一個(gè)詞語的現(xiàn)今用法無法決定其將來的用法）得以建立的基礎(chǔ)，因?yàn)槿藗兊纳鐣?huì)約定不同，導(dǎo)致分類模式相異，進(jìn)而也將直接導(dǎo)致體現(xiàn)在數(shù)學(xué)認(rèn)知上的差異：2+2=4？2+2=5？布魯爾認(rèn)為，事實(shí)上2+2=5一點(diǎn)都不離經(jīng)叛道，它也不是我們大腦正常工作的劇烈破壞或者是徹底的洗腦，因?yàn)槿绻鼡Q一個(gè)情境，比如拉卡托斯在《證明和反駁》一書中所設(shè)置的虛擬情景——設(shè)想一下我們要郵遞兩個(gè)各自重量為2磅的物品，它們被裝在一個(gè)重量為1磅的盒子里遞，那么在這個(gè)包裹中兩個(gè)2磅就是5磅！我們樸素地認(rèn)為2+2=4，是因?yàn)橛兄@樣一個(gè)輔助的約定，即包裝材料的重量為零。
　　2+2=4而不是2+2=5，這并不說明前者對(duì)應(yīng)著某種神秘的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，人們之所以偏愛拉卡托斯的“無重量”加法，是因?yàn)椤皩?duì)加法建立一個(gè)約定意味著解決一個(gè)協(xié)調(diào)問題，就是說要使每一個(gè)人適應(yīng)于同一個(gè)程序”，完全是出于實(shí)用的理由。2+2=4這個(gè)經(jīng)由諸多證明得出的穩(wěn)定結(jié)論的意義，就在于它“具有的制度性的特征”。
　　拉卡托斯就曾經(jīng)指出，說數(shù)學(xué)的某些方面、論證的某些風(fēng)格呈現(xiàn)出永恒真理的外觀，那是因?yàn)榇藭r(shí)的數(shù)學(xué)處于常規(guī)發(fā)展時(shí)期，它的范式?jīng)]有受到批判。布魯爾也認(rèn)為數(shù)學(xué)中不存在任何終極性的邏輯本質(zhì)，數(shù)學(xué)與物理學(xué)、化學(xué)等其他科學(xué)一樣，都可以利用猜想、反駁的方法加以研究。說數(shù)學(xué)是一目了然的，那是因?yàn)樗幱谝粋€(gè)沒有受到批判的研究范式下，而來源于庫恩的范式，當(dāng)然為社會(huì)性因素的進(jìn)入提供了方便之門！
　　可以說，教育、科技一直以來尤其現(xiàn)在更是我國的大事，教育觀必須以科技觀為先導(dǎo)，更具體地講，數(shù)學(xué)教育觀要以數(shù)學(xué)觀為先導(dǎo)。而數(shù)學(xué)觀作為一種理論概括，它應(yīng)該與數(shù)學(xué)史的發(fā)展保持一致，邏輯的總要與歷史相統(tǒng)一。而當(dāng)前在我國數(shù)學(xué)教育中，理性推導(dǎo)與公式記憶的教學(xué)法一直占據(jù)主流，數(shù)學(xué)史的教學(xué)非常薄弱，而數(shù)學(xué)史以及其中形成的數(shù)學(xué)觀對(duì)于數(shù)學(xué)教育的重要意義已經(jīng)顯而易見：改變數(shù)學(xué)枯燥、抽象的形象；加大數(shù)學(xué)文化功能的研究；提升學(xué)生人文素質(zhì)的重要途徑；讓學(xué)生不僅知道數(shù)學(xué)之然而且知其所以然，從而為進(jìn)一步創(chuàng)新打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。
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　?。ㄘ?zé)任編輯 劉永