摘 要： 《線性代數(shù)》是高等院校一門的重要基礎(chǔ)課程，具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性。本文就在線性代數(shù)的教學(xué)中如何與中學(xué)代數(shù)緊密銜接、如何確定線性代數(shù)的主線及如何闡明線性代數(shù)的思想三個(gè)問(wèn)題，給出了一些建議。
　　關(guān)鍵詞： 線性代數(shù) 中學(xué)代數(shù) 主線 思想方法
　　線性代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支，它主要研究有限維線性空間中的線性關(guān)系和數(shù)組間的運(yùn)算關(guān)系。線性代數(shù)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代物理學(xué)、現(xiàn)代化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、現(xiàn)代通信等提供了重要的結(jié)論和研究方法。在當(dāng)今信息時(shí)代，線性代數(shù)有了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，它已成為工科類本科的主干基礎(chǔ)課之一。如何教好這門課呢？筆者根據(jù)自己在講授線性代數(shù)課的體會(huì)，認(rèn)為在教學(xué)中應(yīng)該需要解決好以下三個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。
　　1.如何與中學(xué)代數(shù)緊密銜接
　　中學(xué)代數(shù)主要是常量代數(shù)，研究的多是常量的定量計(jì)算，其教材難度較小，且表述較具體形象，容易理解和接受。線性代數(shù)與中學(xué)代數(shù)相比，具有極強(qiáng)的邏輯性和抽象性。如果不能很好地解決線性代數(shù)與中學(xué)代數(shù)的銜接問(wèn)題，勢(shì)必會(huì)造成大一學(xué)生的諸多不適應(yīng)。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我們應(yīng)從中學(xué)代數(shù)中最基本的解二元一次方程組的消元法引出矩陣及矩陣初等變換的概念，這些概念和方法既與中學(xué)代數(shù)緊密相連，又貫穿于線性代數(shù)這門課程的始終，并讓學(xué)生明白解線性方程組是線性代數(shù)解決的主要問(wèn)題之一。這樣可以與中學(xué)代數(shù)緊密銜接，讓學(xué)生感覺(jué)到線性代數(shù)與中學(xué)代數(shù)的緊密聯(lián)系，并且增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的動(dòng)力和興趣。
　　2.如何確定線性代數(shù)的主線
　　線性代數(shù)課程中表面看起來(lái)概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、計(jì)算麻煩，且前后內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)會(huì)覺(jué)得有些難度。因此如何從縱橫交錯(cuò)的內(nèi)容中確定出主線，找出前后知識(shí)的緊密聯(lián)系，是在教學(xué)過(guò)程中必須解決的重要問(wèn)題之一。（1）第一條主線——線性方程組。線性方程組是產(chǎn)生線性代數(shù)這門課程的原動(dòng)力，對(duì)它的研究促成了行列式和矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展。行列式是線性代數(shù)一個(gè)重要的概念，它廣泛2a23130a99b89ce727cb8bcf6d1db90823bec08bc1bb53ab36fb24e3900ebd53應(yīng)用于數(shù)學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域。中學(xué)代數(shù)已經(jīng)講過(guò)二元一次、三元一次方程組（方程的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)相等）的消元解法，而對(duì)于方程的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)相等的一般線性方程組，應(yīng)該怎樣求解呢？為此引入行列式的概念，進(jìn)而給出求此類線性方程組的一個(gè)重要法則——克拉默法則。因此行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解。而克拉默法則對(duì)于方程的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)不相等的線性方程組就不適用了，這時(shí)我們就需要引入矩陣這個(gè)工具。為了給出一般線性方程組的求解方法，引入矩陣的秩的概念和矩陣的初等變換，通過(guò)對(duì)增廣矩陣施行初等行變換得到方程組的通解，并利用矩陣的秩的定義給出線性方程組有解的充要條件。對(duì)任何一個(gè)線性方程組，在有解的情況下，我們都能利用初等變換求出它的全部解。那么在線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解的情況下，解與解之間的關(guān)系又如何呢？能不能利用有限個(gè)解去表示這無(wú)窮多個(gè)解呢？而要解決這兩個(gè)問(wèn)題，我們又必須討論向量組的線性相關(guān)性的有關(guān)理論。向量組的線性相關(guān)性和線性無(wú)關(guān)性不過(guò)是把線性方程組有無(wú)非零解換成另一種說(shuō)法而已。因?yàn)橄蛄拷M的線性相關(guān)等價(jià)于齊次線性方程組有非零解。一個(gè)向量可由另外一個(gè)向量組線性表示的充要條件是由這些向量構(gòu)成的線性方程組有解。為了利用線性方程組的有限個(gè)解去表示無(wú)窮多個(gè)解，我們需要掌握向量組的極大無(wú)關(guān)組這個(gè)概念，而用極大大無(wú)關(guān)組表示其余向量本質(zhì)上就是同時(shí)解若干個(gè)非齊次方程組。最終利用向量組的線性相關(guān)性的理論研究線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，從而完善線性方程組的理論。由此可見(jiàn)，線性方程組這條主線將行列式、矩陣和向量組合理地聯(lián)系起來(lái)。（2）第二條主線——實(shí)二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形。在解析幾何中，為了便于研究二次曲線的幾何性質(zhì)，可以做適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，將方程化為只含有平方項(xiàng)的形式，通過(guò)這種形式我們可以很方便地識(shí)別曲線的類型，研究曲線的性質(zhì)。而在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域中也會(huì)遇到這樣類似的問(wèn)題：要把二次型通過(guò)變量的線性變換化簡(jiǎn)為只含有平方項(xiàng)的形式，即將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。而為了完成這一工作，我們就需要引入矩陣的特征值和特征向量的概念，進(jìn)而研究矩陣對(duì)角化的條件，重點(diǎn)討論實(shí)對(duì)稱矩陣可對(duì)角化，為將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形做好準(zhǔn)備。有了前面的知識(shí)準(zhǔn)備，我們可以給出三種二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，重點(diǎn)討論用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。因此，線性代數(shù)的后兩章是以實(shí)二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形為主線展開(kāi)討論，這樣就將矩陣的特征值和特征向量、矩陣可對(duì)角化及二次型理論有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)。由上可見(jiàn)，通過(guò)解線性方程組和實(shí)二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形這兩條線，可將線性代數(shù)課程的主要知識(shí)點(diǎn)合理地組織起來(lái)。學(xué)生抓住這兩條主線，能從整體上更清楚地把握線性代數(shù)課程的思想和方法，讓老師和學(xué)生在教與學(xué)的過(guò)程中做到有的放矢。
　　3.如何闡明線性代數(shù)的思想
　　線性代數(shù)具有極強(qiáng)的邏輯性和抽象性，而這門課程主要面對(duì)的是應(yīng)用型本科學(xué)生，那么如何做到既能闡明線性代數(shù)的主要思想，又能讓工科學(xué)生容易接受，這是一個(gè)值得探究的問(wèn)題。筆者認(rèn)為在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該通過(guò)大量的例題來(lái)闡明線性代數(shù)的思想。例如我們?cè)谥v解行列式的概念時(shí)，用平行四邊形的面積和平行六面體的體積的例子來(lái)引出二階和三階行列式的概念，這樣可使學(xué)生領(lǐng)會(huì)到行列式的理論與幾何理論的關(guān)系，把行列式用形象的幾何圖形來(lái)描述，讓學(xué)生了解行列式定義的由來(lái)和相關(guān)的背景。這樣就把很抽象的行列式的概念變得具體化，讓學(xué)生能較直觀地理解概念，并能靈活應(yīng)用。又如通過(guò)求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組，并將該向量組中其余向量用此極大無(wú)關(guān)組線性表出這樣一個(gè)例子可以體現(xiàn)出線性代數(shù)中的化歸思想。我們可將該問(wèn)題化歸為線性方程組的求解問(wèn)題，而用矩陣的行初等變換求解線性方程組，因?yàn)樗子诶斫馇也僮餍詮?qiáng)，所以只要弄清楚線性方程組的求解問(wèn)題，向量組極大無(wú)關(guān)組的問(wèn)題也就迎刃而解了。我們?cè)谥v行列式的定義時(shí)，首先會(huì)講2階的行列式是2項(xiàng)的代數(shù)和，每項(xiàng)為行列式中不同行不同列的2個(gè)元之積，且將每項(xiàng)元素按行下標(biāo)自然順序排列，列下標(biāo)的逆序數(shù)決定該項(xiàng)的正負(fù)號(hào)；3階的行列式是6項(xiàng)的代數(shù)和，每項(xiàng)為行列式中不同行不同列的3個(gè)元之積，且將每項(xiàng)元素按行下標(biāo)自然順序排列，列下標(biāo)的逆序數(shù)決定該項(xiàng)的正負(fù)號(hào)。同樣，可類比思考4階行列式的定義，進(jìn)而讓同學(xué)自己給出階行列式的定義。由直角坐標(biāo)系下幾何向量的長(zhǎng)度、夾角、內(nèi)積、距離公式類比推出規(guī)范正交基下維歐氏空間中向量的長(zhǎng)度、夾角、內(nèi)積、距離公式。我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，通過(guò)大量例題來(lái)闡明線性代數(shù)的抽象化思想、化歸思想、類比思想等思想方法，既有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究和創(chuàng)新能力，又能增強(qiáng)應(yīng)用型本科生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。結(jié)合線性代數(shù)中的這些思維方法，學(xué)生可在此啟發(fā)下對(duì)高等數(shù)學(xué)、概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)的某些內(nèi)容進(jìn)行相同的分析，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。
　　在線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，如果我們能解決好以上三個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，相信教學(xué)效果會(huì)有明顯的改善，而學(xué)生也會(huì)學(xué)得更加輕松快樂(lè)。
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