摘要：從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念出發(fā)，提出數(shù)學(xué)問題教學(xué)的重要性。就數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)涵、數(shù)學(xué)教學(xué)問題解決過程的原則，從理論和實(shí)踐兩個(gè)層面上作了較深入的闡述，并且借助名師的課例，就如何在課堂教學(xué)中實(shí)施數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的策略和注意點(diǎn)進(jìn)行了積極的思考。

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué)；數(shù)學(xué)問題；問題解決

中圖分類號：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）07-090-04

義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）就數(shù)學(xué)目標(biāo)，專門把數(shù)學(xué)問題解決作為教學(xué)目標(biāo)之一。它比實(shí)驗(yàn)稿更重視數(shù)學(xué)問題解決的要求，從而“不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力?！惫P者就以上的學(xué)習(xí)，認(rèn)為加強(qiáng)初中課堂數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)，是當(dāng)今數(shù)學(xué)改革的一個(gè)重要突破口，為此，借助名師的課例為載體就數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)過程策略作分析和思考。

一、數(shù)學(xué)問題及數(shù)學(xué)問題解決概念的內(nèi)涵的認(rèn)識

要搞清什么是數(shù)學(xué)問題，首先要回答什么是問題。我們可以這樣說，問題是一個(gè)系統(tǒng)。如果這個(gè)系統(tǒng)中至少有一個(gè)元素、性質(zhì)或關(guān)系是他所不知的，那么這個(gè)系統(tǒng)對于這個(gè)人來說就是一個(gè)問題系統(tǒng)。于是，對這個(gè)人來說，這個(gè)問題系統(tǒng)就是一個(gè)問題。

什么是數(shù)學(xué)問題，眾多學(xué)者就此作了廣泛的探討。顯然，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師對學(xué)生的一些簡單的課堂提問，不能說是數(shù)學(xué)問題。最易被教師混淆的是，凡是數(shù)學(xué)習(xí)題、練習(xí)題、考試題均是數(shù)學(xué)問題。這種認(rèn)識是模糊的、膚淺的。如果這個(gè)問題系統(tǒng)的元素、性質(zhì)、關(guān)系都是數(shù)學(xué)的，那么它就是一個(gè)數(shù)學(xué)問題。象“歌德巴赫猜想問題”是形式化了的、常規(guī)性構(gòu)造的數(shù)學(xué)問題，目前，對所有人來說都是數(shù)學(xué)問題。不管是數(shù)學(xué)習(xí)題、練習(xí)題、考題，對于某個(gè)人來說，能解決的就不是問題，而還沒有解決的就是數(shù)學(xué)問題，是對他仍“具有智力挑戰(zhàn)特征、沒有現(xiàn)成直接方法、程序或算法的未解決的情景”，即具有其智力訓(xùn)練的價(jià)值，而不僅僅是“事實(shí)與技巧的訓(xùn)練”所能完成的。

這樣我們可以對數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)問題解決下這樣的定義：指不能用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和方法解決的一種情景狀態(tài)。數(shù)學(xué)問題解決是指學(xué)生在新的情景狀態(tài)下，運(yùn)用所掌握的數(shù)學(xué)知識對面臨的問題采用新的策略和方法尋求問題答案的一種心理活動(dòng)過程。

二、數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的原則

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程是問題解決的過程，是一種教學(xué)模式，其理論依據(jù)是現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)提出的引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)。一名出色的數(shù)學(xué)教師不是在教數(shù)學(xué)，而是引導(dǎo)、激發(fā)學(xué)生自己去學(xué)數(shù)學(xué)，這里的“引導(dǎo)”、“激發(fā)”，顯然都是從教師教的層面來認(rèn)識的?！耙龑?dǎo)”、“激發(fā)”其核心在于數(shù)學(xué)問題解決的過程。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)“經(jīng)歷從不同角度分析和解決問題的方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的基本方法”這應(yīng)該是數(shù)學(xué)問題解決過程的核心。數(shù)學(xué)問題解決過程如何圍繞這以核心展開，首先應(yīng)具有科學(xué)性、藝術(shù)性，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并遵循其基本原則。

1、科學(xué)性與趣味性相結(jié)合的原則

數(shù)學(xué)教學(xué)中興趣的培養(yǎng)是教學(xué)、研究的永恒的主題，教學(xué)中應(yīng)該處處遵循趣味性原則。數(shù)學(xué)問題的趣味性是要讓學(xué)生在解決問題的過程中，體驗(yàn)到美的情感，變數(shù)學(xué)的“苦學(xué)”為“樂學(xué)”，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對“美”的追求。而數(shù)學(xué)問題的科學(xué)性是指敘述上簡潔，使用的文字及數(shù)學(xué)語言規(guī)范，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對“真”的追求，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該是科學(xué)性與趣味性的辯證統(tǒng)一。因此，數(shù)學(xué)問題教學(xué)也就必須遵循科學(xué)性與趣味性相結(jié)合的原則。

例如，在教二元一次方程組的概念和解法時(shí)，筆者首先給學(xué)生提出我國古代一個(gè)有趣的問題——“雞兔同籠”：籠子里有一些雞和兔，已知雞和兔的頭數(shù)是6，腳數(shù)是18，問雞和兔各有多少只？形式化了的數(shù)學(xué)問題用生動(dòng)的情景吸引學(xué)生的注意，由此引出二元一次方程組的概念研究課題，增強(qiáng)其對概念的理解和激發(fā)學(xué)生對二元一次方程組這一章學(xué)習(xí)的興趣。

2、啟發(fā)性與探究性相結(jié)合的原則

“數(shù)學(xué)是思想的體操”，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動(dòng)的教學(xué)。學(xué)生的思維活動(dòng)依賴于教師的循循善誘和精心的點(diǎn)拔與啟發(fā)，而數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)又決定了數(shù)學(xué)內(nèi)容的掌握和運(yùn)用都需經(jīng)過艱苦細(xì)致的思考和探究。啟發(fā)性和探究性相結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)過程教與學(xué)相統(tǒng)一的具體體現(xiàn)。其中，啟發(fā)是探究的條件，探究是啟發(fā)的目的。好的數(shù)學(xué)問題，必須具有“啟智”的功能，同時(shí)，還要給學(xué)生留予充分的探究活動(dòng)的空間。

3、障礙性與當(dāng)前接受性相結(jié)合的原則

傳統(tǒng)教學(xué)觀念認(rèn)為，數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)要由易到難，形象地講，即為學(xué)生鋪石搭階，讓其拾級而上，達(dá)到知識的制高點(diǎn)。這種方法當(dāng)然能夠達(dá)到掌握知識的目的，但從素質(zhì)教育的觀點(diǎn)來看，“問題解決”教學(xué)過程也可以適當(dāng)?shù)胤雌涞蓝兄?，即——由難到易。具體說來，首先給學(xué)生探索的問題不妨難一些，是一個(gè)綜合性的超前問題，在學(xué)生遇到障礙時(shí)，再引導(dǎo)其逐步分解為當(dāng)前可以接受的問題，這就要求教師在選擇問題時(shí)，必須遵循障礙性與接受性相結(jié)合的原則。讓學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，點(diǎn)燃思維的火花。

4、系統(tǒng)性和連續(xù)性相結(jié)合原則

就一堂數(shù)學(xué)課而言，無論是教還是學(xué)，應(yīng)該處處充滿著數(shù)學(xué)問題，沒有問題就不成為教學(xué)，一個(gè)問題解決了，就會產(chǎn)生新的問題。學(xué)生應(yīng)該是帶著問題進(jìn)入學(xué)習(xí)，又帶著新的問題結(jié)束下課。因此教師在課堂中應(yīng)該不斷創(chuàng)設(shè)問題、激起學(xué)生一個(gè)又一個(gè)認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)問題、探究問題和解決問題。但這些問題的出現(xiàn)不是雜亂無章的，而是緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)系統(tǒng)而展開。第一個(gè)問題是承上啟下的，最后的問題是為了歸納總結(jié)，也是為后續(xù)發(fā)展作好鋪墊，而中間的問題又是互相聯(lián)系在一起。這樣，使問題系統(tǒng)地形成一個(gè)有效地課堂運(yùn)行機(jī)制。因此，數(shù)學(xué)問題解決應(yīng)遵循系統(tǒng)性和連續(xù)性相結(jié)合的原則。

三、數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的策略

“問題解決”教學(xué)絕不能簡單的認(rèn)為是問題的羅列，作為數(shù)學(xué)教師，也絕不能追求課堂上一問一答式的表面上的熱熱鬧鬧，簡單的提問不是數(shù)學(xué)問題。選擇富有智力挑戰(zhàn)價(jià)值的問題，并引導(dǎo)學(xué)生不斷的探究、不斷的提出問題、不斷的解決問題，在解決問題中又引導(dǎo)學(xué)生生成新的問題，以此循環(huán)往復(fù)，促進(jìn)學(xué)生在問題解決中不斷發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)“問題解決”的數(shù)學(xué)教學(xué)原則，筆者有幸在省教研活動(dòng)中聽了省特級教師盛志軍老師的一堂課：《圓周角（2）》?，F(xiàn)在以這堂課的幾個(gè)片段作為范本展開分析，予以闡述：

1、創(chuàng)設(shè)無痕的問題情境

這里，問題情境的定義是：把學(xué)生置于運(yùn)用已經(jīng)掌握的知識去研究新的未知問題的氣氛之中。

問題情境教學(xué)，就是在無痕情境中隱埋問題，呈現(xiàn)給學(xué)生刺激性數(shù)學(xué)信息，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，啟迪思維，激起學(xué)生的好奇心、發(fā)現(xiàn)欲。產(chǎn)生認(rèn)知沖突，誘發(fā)質(zhì)疑猜想，喚起強(qiáng)烈的問題意識。

教師首先出示以下問題情境：

同學(xué)們：“我們國家最大的一項(xiàng)文化建設(shè)工程——國家大劇院已經(jīng)竣工。請看屏幕。”

教師打開課件：

一個(gè)似乎習(xí)以為常的問題就因?yàn)閯?chuàng)設(shè)了特定的問題情境，抓住研究對象的本質(zhì)，緊扣學(xué)習(xí)的知識要點(diǎn)，具體準(zhǔn)確，語言簡練；制造懸念性和挑戰(zhàn)性，使學(xué)生全身心投入進(jìn)來，產(chǎn)生“伸手摸不到，跳一跳，夠得著”的效果，產(chǎn)生一種積極解決問題，積極探索的心理傾向。妙極了！

面對同學(xué)好奇、質(zhì)疑、困惑的表情，教師引導(dǎo)：同學(xué)們想搞清這個(gè)問題嗎？讓我們一起走進(jìn)這個(gè)數(shù)學(xué)世界吧！從而推出課題——《圓周角（2）》

自然、妥帖、到位、流暢。

上面的問題情境，事實(shí)上是教師從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)上來設(shè)置的。接著教師又從學(xué)生已有的原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中設(shè)置如下問題，為問題解決打下基礎(chǔ)：

2、建立數(shù)學(xué)問題的模型

在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，順其自然的抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提出要解決的數(shù)學(xué)問題模型，首先是完成教學(xué)任務(wù)的需要；其次是讓學(xué)生學(xué)會在問題情境中挖掘出主要的數(shù)學(xué)問題，明白本節(jié)課的基本任務(wù)，也使學(xué)生在興趣不減的時(shí)候不至于目的渺茫，無所事從，這樣在后面的學(xué)習(xí)和探究活動(dòng)中大家都知道自己要干什么，解決什么樣的問題，如何來評價(jià)自己的效果。我們看教師是怎么進(jìn)行的：

建模一：大劇院內(nèi)的座位椅子，從數(shù)學(xué)角度分析，為什么排成圓形的？

同學(xué)們，我們現(xiàn)在來討論這節(jié)可開頭提出的問題。教師在原圖形上作出有關(guān)輔助線，問：大家覺得在同排要使每一位觀眾的公平看演出，有什么方法呢？

學(xué)生紛紛發(fā)表自己的觀點(diǎn)，最集中的就是保證每一個(gè)觀眾的視角一樣大。為此，教師利用課件，標(biāo)出三個(gè)視角∠A、∠B、∠C.這三個(gè)角是什么角？大小關(guān)系如何呢？

由此，一個(gè)生活問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題。

建模二：泰坦尼克號沉海之謎？

數(shù)學(xué)建模并不是局限于一開始的問題，其實(shí)課堂中的其他環(huán)節(jié)中都可以穿插。在得出圓周角定理（2）后，利用原理時(shí)，教師就是有意把課本的例題作了改變：

通過這樣的改變，學(xué)生興趣徒增。同樣，在教師的引導(dǎo)下，一個(gè)數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)在眼前。教師學(xué)生發(fā)出感嘆：一個(gè)海難事件，原來也是一個(gè)數(shù)學(xué)問題。生活中到處有數(shù)學(xué)?。?/p>

3、數(shù)學(xué)問題解決的過程

（1）知識型數(shù)學(xué)問題解決過程

數(shù)學(xué)問題的解決不是一個(gè)行為外化的過程，也不僅僅是一個(gè)學(xué)生新舊知識點(diǎn)聯(lián)結(jié)的過程，而是一個(gè)讓學(xué)生積極主動(dòng)參與探究的過程。以第一個(gè)數(shù)學(xué)問題為例，教師是這樣與學(xué)生互動(dòng)達(dá)到問題解決的：

同學(xué)們：這堂課我們解決三個(gè)問題：

問題1：如圖1，在⊙O中，∠B，∠D，∠E的大小有什么關(guān)系？為什么？

問題2：如圖2，在⊙O中，∠A，∠B，的大小有什么關(guān)系？為什么？

問題3：如圖2，在⊙O中，∠A=∠B，則可得到什么結(jié)論？為什么？想一想，在等圓中，有上面這些結(jié)論嗎？

目標(biāo)明確，層次分明。教師引導(dǎo)學(xué)生合作討論，激活思維，積極尋求學(xué)生舊認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)圓周角定理的知識?？奎c(diǎn)，達(dá)到新知識的童話，讓學(xué)生自己得出結(jié)論：

圓周角定理的推論2：

同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

（2）例題變式數(shù)學(xué)問題解決過程

上例的問題其實(shí)是一個(gè)知識與技能的問題。其實(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過對大量的習(xí)題的解決來實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的目的。正如本文在前面所敘述的：數(shù)學(xué)問題不一定就是生活問題中的數(shù)學(xué)問題，其實(shí)對于學(xué)生來說，當(dāng)對一個(gè)常規(guī)的形式化的數(shù)學(xué)習(xí)題還未解決之前，就是一個(gè)數(shù)學(xué)問題。這在這需要教師充分研究學(xué)生的舊認(rèn)知結(jié)構(gòu)，挖掘數(shù)學(xué)習(xí)題的各種變化因素，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。思維是數(shù)學(xué)解決問題的靈魂所在。

課本例2

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，

以AB為直徑的圓交BC于D，交AC于E，

求證：弧 BD=弧DE；

當(dāng)解決了課本上這個(gè)數(shù)學(xué)問題后，教師充分利用該題的資源，又繼續(xù)要求學(xué)生完成：若△ABC是等邊三角形，你還可以得出什么結(jié)論？請說明理由。

這時(shí)，學(xué)生紛紛投入到挑戰(zhàn)當(dāng)中，分小組加強(qiáng)合作，大大提高了學(xué)習(xí)效益。這種以變式的拓展方法，對解決數(shù)學(xué)問題，訓(xùn)練學(xué)生的思維也是極為有利的。緊接著，就是讓學(xué)生獨(dú)自解決下列問題：

如圖，P是△ABC的外接圓上的一點(diǎn)

∠APC=∠CPB=60°.求證：△ABC是等邊三角形.

學(xué)生的好勝心理又一次激發(fā)。

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)新授課教學(xué)過程中通常用采用方法，通過把知識點(diǎn)隱含在類似的問題當(dāng)中讓學(xué)生按照新接受的數(shù)學(xué)思想和方法去解決基本問題。目的在于幫助學(xué)生深化新學(xué)的知識和技能，為學(xué)生綜合地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和技能解決有關(guān)的問題提供示范。需要注意的是例題的選擇要有代表性，解法要具有一般性，問題要源于知識點(diǎn)，但是又要略高于基本知識，敘述要規(guī)范，盡量做到一題多解。這里，教師充分重視了這一點(diǎn)。

（3）反饋評定式數(shù)學(xué)問題解決過程

建構(gòu)主義與傳統(tǒng)學(xué)習(xí)理論最大的區(qū)別在于要求學(xué)生原認(rèn)知學(xué)習(xí)，主動(dòng)學(xué)習(xí)，不斷反思，從反思中解決數(shù)學(xué)問題。教師為此以“快樂套餐”為招式，提供了一個(gè)組題，發(fā)揮學(xué)生的自我潛能，自主解決數(shù)學(xué)問題。

4、讓學(xué)生帶著問題出課堂

45分中在不知不覺中過去了。學(xué)生興味正濃。問題都解決了嗎？還有什么數(shù)學(xué)問題需要去解決？事實(shí)上一堂數(shù)學(xué)課學(xué)生是帶著問題進(jìn)課堂，在課堂中充滿著問題，也是不斷解決問題，而下課了，學(xué)生應(yīng)該帶著問題出課堂。為此，教師把本堂課的小結(jié)留給了同學(xué)，讓學(xué)生自己去追尋本堂課的要點(diǎn)，形成系統(tǒng)的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，這是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)問題。同時(shí)，教師布置了常規(guī)的配套作業(yè)以外，又給出一個(gè)挑戰(zhàn)題，讓學(xué)生到課外去探求更美的數(shù)學(xué)王國。

A.請歸納本節(jié)課：

（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？

（2）圓周角定理及其推論的用途你都知道了嗎？

（3）注意充分利用直徑和半徑作圓周角的輔助線.

（4）用到了什么思想方法？

B.向自己挑戰(zhàn)

已知BC為⊙O的直徑，AB=AF，AC交BF于點(diǎn)M，過A點(diǎn)作AD⊥BC于D，交BF于E，則AE與BE的大小有什么關(guān)系？為什么？

四、數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)要反思的問題

通過以上對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識和特級教師課例的鑒賞，反思自己的教學(xué)行為，對數(shù)學(xué)問題解決過程教學(xué)有以下幾個(gè)方面值得思考：

1、問題的針對性

因?yàn)槊總€(gè)問題情境中所涉及的知識都不是單一的，那么能夠提出的問題也就很多。如何才能做到問題更有針對性呢？這要求提出的問題要同時(shí)也要注意到上堂課的知識點(diǎn)，甚至要兼顧到下堂課的知識，使學(xué)生在思考的時(shí)候思路能夠連貫，不至于產(chǎn)生零亂的感覺。所以問題的提出應(yīng)該起到承上啟下的作用。

2、問題的懸念性和挑戰(zhàn)性

每個(gè)人有探索未知的好奇心和挑戰(zhàn)高度的天性，所以在提出問題時(shí)要抓住人的這種特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)脑O(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生全身心投入進(jìn)來，同時(shí)問題要增加一定障礙，產(chǎn)生“伸手摸不到，跳一跳，夠得著”的效果，激發(fā)學(xué)生的挑戰(zhàn)欲望。

3、問題的合理性

問題的呈現(xiàn)要抓住研究對象的本質(zhì)，要具體準(zhǔn)確，切忌泛泛而談，所以問題要緊扣學(xué)習(xí)的知識要點(diǎn)，問題所涉及的概念和理論要是學(xué)生大部分明白的。同時(shí)也要注意語言的簡練，不要讓學(xué)生誤解問題的本意。由于課堂教學(xué)的整體思路是課前已經(jīng)設(shè)定好了的，所以在提出問題時(shí)應(yīng)該本著為整個(gè)課堂教學(xué)的完成服務(wù)的。這要求問題的提出要緊扣教學(xué)思路，不能偏離教學(xué)主線。

4、問題的科學(xué)性

同樣一個(gè)問題，由于提問方法的不同，側(cè)重點(diǎn)不同，也就會導(dǎo)致人不一樣的思考，這里要求問題的提出以開放性問題為主，如“為什么”、“怎么樣”，切忌“是不是”、“對不對”型的問題。

最后，“問題解決”教學(xué)的全過程是一個(gè)系統(tǒng)連續(xù)的，要求問題與問題之間、內(nèi)容與內(nèi)容之間、課堂與課堂之間都相互聯(lián)系。它是根據(jù)教師和學(xué)生在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)的地位和作用提出來的。

在“問題解決”教學(xué)中，由于問題是系列的多類型的體系，它把基礎(chǔ)知識基本技能的掌握與能力培養(yǎng)結(jié)合起來，把書本知識與經(jīng)驗(yàn)的改造或生長結(jié)合起來，把一般能力與創(chuàng)造能力結(jié)合起來，這正是我國基礎(chǔ)教育課程改革所孜孜追求的目標(biāo)。

參考資料

[1] 顧明遠(yuǎn)， 孟繁華主編.《國際教育新理念》海南出版社2003年第4版.

[2] 張奠宙， 戴再平. 《中學(xué)數(shù)學(xué)問題集》，華東師范大學(xué)出版社，1996.3.

[3] 錢從新. “有關(guān)開放題的幾點(diǎn)思考”《數(shù)學(xué)通報(bào)》1999.11.

[4] 李小冬. 《初探“問題解決”教學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式》載于http://www.xgpczx.net/ReadNews.asp?NewsID=588網(wǎng).

[5] 中華人民共和國教育部. 《2012義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》北京師范大學(xué)出版社，2012.3.