索南加樂，王 斌，宋國兵，康小寧，焦在濱

（西安交通大學 電氣工程學院，陜西 西安 710049）

目前，電力系統(tǒng)的工頻相量測量在電力系統(tǒng)事件錄波、狀態(tài)估計、系統(tǒng)保護和系統(tǒng)控制中有著廣泛的應(yīng)用，它也是實現(xiàn)電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行的基本電氣量［1-2］.

國內(nèi)外學者在電力系統(tǒng)工頻相量測量方面取得了大量研究成果.按照不同的信號觀測模型，各個算法會具有一些本質(zhì)的特性，而這些特性很大程度上依賴于信號觀測模型的復(fù)雜程度.故按照信號模型的復(fù)雜程度，將工頻相量測量算法分為3類：①基于單個純余弦信號的算法［3-6］；②基于“諧波和”模型的算法［7-8］；③基于“衰減指數(shù)和”模型的算法［9-12］.

基于單個余弦信號的算法在電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時具有良好的性能，但是當電力系統(tǒng)中出現(xiàn)諧波時，算法的性能會受到不同程度的影響.基于“諧波和”模型的算法，比如傅里葉算法及其改進算法、最小二乘算法等，可以有效地克服恒定直流分量和各種諧波分量的影響，但是衰減直流分量和衰減余弦分量會給這類算法帶來不可忽視的誤差.基于“衰減指數(shù)和”模型的算法，如Prony算法、矩陣束算法等，有能力提供較精確的工頻相量值，它們會在響應(yīng)時間、計算量、抗噪性及一些算法的特殊要求等方面有一定的區(qū)別.

文獻［12］提出了快速相量提取算法，該算法基于“衰減指數(shù)和”信號模型，具有計算量小、不受整次諧波和非整次諧波影響、受衰減分量影響小以及在較短數(shù)據(jù)窗仍能保持較高精度等優(yōu)點.

筆者將進一步探究快速相量提取算法的性能，并討論數(shù)據(jù)窗長和頻率偏移對算法測量結(jié)果的影響，同時與傳統(tǒng)的傅里葉算法進行對比.

1 快速相量提取算法

將待測信號看成一組衰減分量的和，即

式中 Am為幅值；φm為相位；αm＜0，為衰減因子；fm為頻率；q為信號分量的個數(shù).

將待測信號中的衰減余弦分量用歐拉公式展開，并對待測信號整體進行抽樣，得到

式（2）～（4）中 M=2q1+q2；pk為信號中第k個分量的復(fù)幅值；zk為信號中第k個分量的幅值和相位在一個采樣間隔內(nèi)的變化量；Ts為采樣間隔.

類似地構(gòu)造參考信號u（t），其離散時間函數(shù)形式為

令其具有與i（t）相同的頻率分量，且各個分量的衰減因子相同，幅值和相位按公式取值，即

對i（t）和u（t）的離散時間序列分別構(gòu)成（NL+1）×L階采樣矩陣：

可以寫成：

式中

將I的偽逆［13］左乘至U，得

式中 ［·］+為矩陣的Moore-Penrose廣義逆（偽逆）.

結(jié)合式（13）～（15）可知：

由式（16）可看出，通過求解方陣I+U的2個非負特征根，就可以得到信號i（t）與u（t）中工頻分量的復(fù)幅值之比，進而得到待測信號的工頻相量.

文獻［12］中還提出了求解方陣I+U的2個非負特征根的降階算法，可以減少計算量.

2 快速相量提取算法性能探究

首先，在Matlab中實現(xiàn)快速相量提取算法，探究各種諧波、各種衰減分量、不同數(shù)據(jù)窗長及頻率偏移對該算法工頻相量測量的影響；然后，在EMTP中搭建單相接地故障模型，用快速相量提取算法測量其短路電流的工頻相量；最后，利用實際錄波數(shù)據(jù)對算法進行驗證.

2.1 各種諧波和衰減分量的影響

假設(shè)輸入信號分別為

1）含整次諧波信號

2）含整次和非整次諧波信號

3）含整次、非整次諧波及衰減直流分量信號

4）含整次、非整次諧波及衰減余弦分量信號

式中 ω0=2πf0.

不妨取f0=50Hz，將采樣率設(shè)定為10kHz，分別用快速相量提取算法和傅里葉算法對4種信號的工頻相量進行測量，數(shù)據(jù)窗長取半個周波（傅氏算法此時為半周傅氏算法），并在2個周波內(nèi)進行逐點連續(xù)測量，將所有測量值中的最大誤差記錄下來，測量結(jié)果如表1所示.

表1 各種諧波分量及衰減分量對算法的影響Table 1 Different harmonics and decaying components impact on phasor calculating algorithms

由表1可以看出：使用半周波數(shù)據(jù)進行工頻相量測量時，傅里葉算法無法消除整次諧波、分數(shù)次諧波、衰減直流分量或衰減余弦分量的影響，會產(chǎn)生嚴重的誤差；快速相量提取算法得到的測量結(jié)果相對具有較高的精度，幾乎不受整次諧波和分數(shù)次諧波的影響，受衰減直流分量和衰減余弦分量的影響很小.

2.2 數(shù)據(jù)窗長的影響

取f0=50Hz，采樣率設(shè)定為10kHz，分別用半周波數(shù)據(jù)、1個整周波數(shù)據(jù)及2個周波數(shù)據(jù)測量4種信號.快速相量提取算法和傅里葉算法的測量結(jié)果如表2所示.

表2 數(shù)據(jù)窗長對算法的影響Table 2 Data window length influence to algorithm

從表2可以看出：①半周傅氏算法受整次諧波的影響，但全周傅氏算法和使用2周波數(shù)據(jù)的傅氏算法不受整次諧波的影響，而快速相量提取算法基本不受整次諧波的影響；②傅氏算法受到分數(shù)次諧波、衰減直流及衰減余弦分量的影響較大，快速相量提取算法受它們的影響較?。虎垭S數(shù)據(jù)窗增大，衰減直流和衰減余弦給2個算法帶來的誤差會減小，該例中，快速相量提取算法的誤差可減小至不超過4×10-9%，而傅氏算法僅能將誤差降至5%.

由于傳統(tǒng)傅氏算法需按照數(shù)據(jù)窗的長度對算法進行調(diào)整，如全周傅氏算法、半周傅氏算法和小矢量算法等，故在此僅考察快速相量提取算法在任意長度數(shù)據(jù)窗時的性能.取含整次、非整次諧波及衰減直流分量的信號i3（t），設(shè)定采樣率為4kHz，令數(shù)據(jù)窗變化為7～37ms，測量結(jié)果如表3所示.由表3可以看出：數(shù)據(jù)窗長為基波周期的非整數(shù)倍時，計算結(jié)果依然很精確；隨著數(shù)據(jù)窗的增長，工頻相量測量結(jié)果的精度越高.

因為采樣頻率一定時，數(shù)據(jù)窗越長，采樣點數(shù)就越多，從而采樣點包含信號中的平穩(wěn)分量所占的比例越大，故信號估計的精度就越高.

注意到當數(shù)據(jù)窗長取7ms時，算法失效.若提高采樣頻率至10kHz，用較短的數(shù)據(jù)窗進行測量的結(jié)果如表4所示.

表3 數(shù)據(jù)窗對快速相量提取誤差的影響Table 3 FCM errors with different lengths of data window

表4 提高采樣率時短數(shù)據(jù)窗對測量誤差的影響Table 4 FCM errors with different lengths of data window when increasing sampling frequency

對比表3，4可知，當信號中含有整次諧波、分數(shù)次諧波及直流衰減分量時，采樣率的增大對精度的提高作用不明顯，故數(shù)據(jù)窗不能太短，否則無法正確提取出工頻相量.

2.3 頻率偏移的影響

圖1 頻率偏移時的工頻相量測量結(jié)果Figure 1 Phasor measurement results by Fourier method and FCM with frequency deviation

當實際工頻頻率偏離額定值時，工頻相量的幅值、相角和頻率的測量誤差都與初始相角有關(guān)［12］.如圖1所示，分別使用快速相量提取算法和傅里葉算法對信號i3（t）在一定時間內(nèi)進行連續(xù)測量，設(shè)定采樣頻率為10kHz，分別取實際頻率為49，49.5，50.5和51Hz，以10ms數(shù)據(jù)窗逐點連續(xù)測量60 ms，依次記錄它們的測量值并畫成曲線.

由圖1可以看出，頻率偏移對2個算法都有影響：①傅氏算法受到的影響很大，最大誤差接近40%，且正負誤差均存在；②頻率偏移對快速相量提取算法的測量結(jié)果有一定的影響，頻偏越大，誤差越大，但誤差遠小于傅氏算法的誤差；③當頻率低于實際頻率時，快速相量提取算法得到的工頻幅值會比實際值略大，反之略小.

2.4 EMTP仿真驗證

在EMTP上搭建輸電線路仿真模型，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)與文獻［14］中110kV系統(tǒng)相同.設(shè)0.2s時在距線路m端25km處發(fā)生A相接地故障，過渡電阻取10，采樣率取4kHz，數(shù)據(jù)窗為10ms，在200～220ms內(nèi)對電流進行逐點連續(xù)測量，并與傳統(tǒng)傅氏算法對比，測量結(jié)果如圖2所示，可以看出，當發(fā)生單相接地故障時，用傅氏算法提取電流中工頻分量幅值時的結(jié)果不穩(wěn)定，而快速相量提取算法的測量結(jié)果準確、穩(wěn)定.

圖2 單相接地故障時的測量結(jié)果Figure 2 Calculation results under single-phase fault

2.5 實際錄波數(shù)據(jù)驗證

實際故障錄波數(shù)據(jù)的測量結(jié)果如圖3所示.驗證方法：

圖3 對實際故障錄波數(shù)據(jù)的測量結(jié)果Figure 3 Measurement results for actual fault recording data using FCM

用快速相量提取算法對陜西西安市沙坡變10kV側(cè)母線A相電壓于2012年5月8日故障的實際錄波數(shù)據(jù)進行分析，其實際采樣率為3.2kHz，使用半周波數(shù)據(jù)窗對故障時刻附近進行逐點連續(xù)測量.從測量結(jié)果（圖3）可以看出，該算法可以快速、準確地計算出暫態(tài)過程中電氣量的工頻相量值.

3 結(jié)語

筆者探究了快速相量提取算法測量工頻相量時的性能，該方法具有特點：

1）幾乎消除了整次諧波和分數(shù)次諧波的影響，并有效地克服了衰減分量帶來的誤差；

2）使用任意長度的數(shù)據(jù)窗對算法沒有任何特殊要求，且數(shù)據(jù)窗越長，測量精度越高；

3）當系統(tǒng)實際工頻偏移額定工頻頻率時，快速相量提取算法的測量結(jié)果會有誤差，但誤差較小，且測量結(jié)果相對穩(wěn)定；

4）可以快速、準確地計算出實際電力系統(tǒng)暫態(tài)電氣量的工頻相量值.

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