彭選華

（西南政法大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院,重慶401120）

0 引言

Copula理論及其金融應(yīng)用前景十分廣闊.Sklar(1959)[1]首次提出Copula并將其定義為把一元分布函數(shù)“連接”起來形成多元分布函數(shù)的函數(shù).Joe(1997)[2]和Nelsen(2006)[3]系統(tǒng)地總結(jié)了Copula的基本性質(zhì)以及Copula相關(guān)性、尾部相依性以及高維聯(lián)合分布的copula藤結(jié)構(gòu)等前沿問題.EmbrechtS(1998)[4]開拓性地將Copula方法引入到金融風(fēng)險管理領(lǐng)域.隨后Copula在該領(lǐng)域中取得了許多有價值的應(yīng)用成果(Cherubini等,2004)[5]。

為此，據(jù)國內(nèi)外已有研究可以推測金融變量的相依性度量簡化為對隨機變量潛在相依模式的最佳識別。金融變量具有復(fù)雜的統(tǒng)計特征，比如波動聚集性、長記憶性及分布的尖峰、厚尾等，這使得金融相依結(jié)構(gòu)的局部特征非常明顯，其真實Copula密度曲面可能具有參差不齊的多峰形狀。由于小波函數(shù)作為局部特征識別和奇異信號處理的得力工具，具有極強的變焦功能和局部自適應(yīng)能力，因此將小波引入對金融變量的相依結(jié)構(gòu)度量不僅具有直觀意義，還是數(shù)量金融的研究熱點。為此以三維為例，考慮應(yīng)用小波函數(shù)對金融變量潛在相依結(jié)構(gòu)進(jìn)行小波線性估值和最優(yōu)化篩選。本文在給出三維Copula密度的小波線性估計量及其簡潔的計算方法之后，選用DB8小波識別上證綜合指數(shù)、日經(jīng)225指數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)等三者之間潛在相依結(jié)構(gòu)的局部特征。與此同時以該估計量為基準(zhǔn)，最小化均方積分誤差篩選出最佳的混合參數(shù)Copula模型，并以此度量這三個指數(shù)在樣本期內(nèi)的相依結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明小波線性估計量正好彌補了參數(shù)Copula不能變焦性地展示相依結(jié)構(gòu)局部特征的缺陷。

1 三維多尺度分析

小波技術(shù)已經(jīng)成功地應(yīng)用于不同的學(xué)科研究領(lǐng)域，比如信號檢測、圖像處理及統(tǒng)計學(xué)等(Vidakovic,1999)[6]。記一維尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別為φ和ψ以及其伸縮和平移變換為：

式(6)表明小波級聯(lián)分解保留了尺度之間一貫的主體趨勢特征和局部異質(zhì)特征。小波對相依結(jié)構(gòu)的級聯(lián)分解，有助于從多時間尺度方向上深度剖析隨機變量之間的相依結(jié)構(gòu)的變化趨勢和局部細(xì)節(jié)特征。下面給出三維Copula密度的小波估計方法。

2 Copula的小波線性估計量

假設(shè)(X1,X2,X3)為三維實值隨機向量，邊緣分布函數(shù)分別設(shè)定為Fi(x)=Pr(Xi＜x),i=1,2,3。根據(jù)Sklar(1959)[1]定理，則(X1,X2,X3)的聯(lián)合分布為：

其中C為聯(lián)合分布函數(shù),邊緣分布(U1,U2,U3)=(F1(x),F2(x),F3(x))∈(0,1)3為均勻分布。事實上，一般未知H的解析式，在Fi和C屬于確定的分布函數(shù)簇的條件下，利用極大似然估計、兩步法等經(jīng)典的參數(shù)推斷方法確立解析式中的參數(shù)，從C的解析式度量了三者之間的相依結(jié)構(gòu)，改變其邊緣分布不會影響C的函數(shù)形式。然而在未知Fi和C所屬的分布函數(shù)簇時，常常利用邊緣分布的經(jīng)驗分布對潛在Copula進(jìn)行統(tǒng)計推斷(Nelsen,2006)[3]。

假設(shè)(X1,1,X2,1,X3,1),…,(X1,T,X2,T,X3,T)是從未知分布H中抽取的T組樣本，(R1,i,R2,i,R3,i)表示(X1,i,X2,i,X3,i)秩序統(tǒng)計量，經(jīng)驗分布函數(shù)為

(F1,T(X1,i),F2,T(X2,i),F3,T(X3,i))=(R1,i/T,R2,i/T,R3,i/T),i∈{1,…,T}.

易見，(R1,i/T,R2,i/T,R3,i/T)表示從C(u1,u2,u3)中隨機抽取的不可觀測邊緣分布(U1,i,U2,i,U3,i)的樣本值，容易證明C(u1,u2,u3)∈L2(R3)。由于樣本的經(jīng)驗分布是無偏估計量，因此將其代替真實的邊緣分布，對(X1,X2,X3)的Copula密度C(u1,u2,u3)進(jìn)行統(tǒng)計推斷。利用式(3)、(6)和(7)，可得：

其中尺度系數(shù)和小波系數(shù)分別為

3 計算步驟

小波給出了隨機變量相依結(jié)構(gòu)識別與統(tǒng)計推斷的新方法。本文三維估計量的計算原理為：從標(biāo)準(zhǔn)化秩序統(tǒng)計量(R1,i/T,R2,i/T,R3,i/T)的直方圖開始，運用三維小波函數(shù)對參差不齊的經(jīng)驗直方圖逐次磨光，得到局部光滑的空間曲面，不斷地調(diào)整小波分解尺度，直至獲得最佳空間曲面，最后對該曲面進(jìn)行規(guī)范化后作為潛在Copula的小波線性估計量。計算步驟如下：

4 實證研究

本節(jié)選取美國標(biāo)普500指數(shù)(SP500)、日經(jīng)225指數(shù)(N225)和上證指數(shù)(SSEC)為實證對象，其中SP500代表世界成熟股市指數(shù)，N225代表亞太地區(qū)成熟股市指數(shù)，SSEC代表新興市場指數(shù)，時間跨度為1999年10月26日至2010年1月12日。根據(jù)Hamao等(1990)[9]的研究結(jié)論,如果兩個市場中某一市場在某日沒有交易,在同一實證模型中刪去另一市場在該日的交易數(shù)據(jù)來進(jìn)行數(shù)量分析,則不會影響研究結(jié)果的正確性。因此,為了保證交易日期的同步性,使得相依結(jié)構(gòu)的小波估計量具有局部可比性,故實際平行觀測樣本為2132個，選用DB8小波識別三個不同性質(zhì)市場指數(shù)之間潛在的局部相依結(jié)構(gòu)，同時篩選出最佳的參數(shù)Copula模型。利用WavLab8.5工具箱編寫程序：執(zhí)行算法步驟1～5，實現(xiàn)對樣本相依結(jié)構(gòu)的小波線性估計，結(jié)果見圖1～2和表1；執(zhí)行算法步驟6～7，實現(xiàn)最優(yōu)化篩選參數(shù)Copula模型，結(jié)果見表2和圖3。

圖1 三指數(shù)收益率相依結(jié)構(gòu)的多尺度分析

圖1是對(14)式的直觀解釋，其中(a)分解尺度j=1,2,3,4及網(wǎng)格為323個；(b)圖1(1)A4表示經(jīng)驗Copula在分解尺度4上的趨勢；圖1(6)ECD表示三指數(shù)收益率之間的經(jīng)驗Copula；圖1(2)D4表示經(jīng)驗Copula在分解尺度4上的局部細(xì)節(jié)；圖1(3)D3表示經(jīng)驗Copula在分解尺度3上的局部細(xì)節(jié)；圖1(4)D2表示經(jīng)驗Copula在分解尺度2上的局部細(xì)節(jié)；圖1(5)D1表示經(jīng)驗Copula在分解尺度1上的局部細(xì)節(jié)。

圖2 三指數(shù)收益率相依結(jié)構(gòu)的多尺度級聯(lián)分解

圖2是對(6)式的直觀解釋，其中(a)分解尺度j=0,1及網(wǎng)格為323個；(b)圖2(1)-(7)表示經(jīng)驗Copula ECD在分解尺度j0+1上分解成的7個細(xì)節(jié)成分；圖2(8)為經(jīng)驗Copula在分解尺度1上的趨勢；圖(9)為經(jīng)驗Copula在分解原尺度j0上的趨勢。

表1給出了不同分解尺度上小波線性估計量的均方積分誤差。這些數(shù)據(jù)表明隨著尺度j0增加，小波線性估計量對標(biāo)普500指數(shù)、日經(jīng)225指數(shù)、上證綜合指數(shù)等三者之間經(jīng)驗Copula的估值均方積分誤差越來越小，因而潛在相依結(jié)構(gòu)的最佳估計量取為尺度j0=1的小波線性估計量，詳見圖3(8)。

表1 基于小波收縮估計量的均方積分誤差 （單位：10-3）

表2給出了基于最佳小波估計量的參數(shù)Copula篩選結(jié)果及其均方積分誤差(由式(15)給出)，其中c1～c6依次對應(yīng)于正態(tài)N-Copula族、學(xué)生T-Copula族、岡貝G-Copula族、凱萊C-Copula族、富蘭克F-Copula族和這五個族構(gòu)成的混合Copula族,詳見圖3(1)至(6)。

表2 基于小波線性估計量的Copula參數(shù)最優(yōu)化與最小均方積分誤差

表2中MISE顯示每個單一參數(shù)Copula的估值誤差都比混合Copula族的大，說明混合Copula族是所有參數(shù)Copula族中最好的Copula模型，用以刻畫三個股市指數(shù)之間潛在相依結(jié)構(gòu)特征。混合參數(shù)Copula族中對應(yīng)單一參數(shù)Copula的權(quán)重度量了其對樣本相依結(jié)構(gòu)描述的最大貢獻(xiàn)力度，權(quán)重還體現(xiàn)了混合參數(shù)Copula族內(nèi)單一參數(shù)Copula之間的和諧性，從而使得混合參數(shù)Copula族中多個單一參數(shù)Copula共同增強了相依結(jié)構(gòu)的建模精度。這證實了，混合Copula族整合了所有單一參數(shù)Copula族的共同優(yōu)點，單一參數(shù)Copula族的最優(yōu)化估值與其在混合參數(shù)Copula族的估值有明顯的差異，這種差異在于后者包容了前者的不足，從而實現(xiàn)對樣本潛在相依結(jié)構(gòu)的最佳建模。

圖3 指數(shù)收益率相依結(jié)構(gòu)最優(yōu)化的參數(shù)Copula模型

圖3(8)為樣本潛在相依結(jié)構(gòu)在最佳尺度j0=1的小波線性估計量；圖3(7)是樣本的經(jīng)驗Copula；圖3(1-6)分別是以最佳小波線性估計量為基準(zhǔn)對參數(shù)Copula的最優(yōu)化估值，順序依次為高斯Copula、學(xué)生T-Copula、岡貝G-Copula、凱萊C-Copula、富蘭克F-Copula及其混合參數(shù)Copula。

圖3表明混合參數(shù)Copula是對樣本潛在相依結(jié)構(gòu)的最佳參數(shù)化建模。我們發(fā)現(xiàn)最佳的混合參數(shù)Copula清楚地展示了樣本的相依結(jié)構(gòu)，但視覺效果不及小波線性估計量，某些局部結(jié)構(gòu)特征并不能準(zhǔn)確地被展示出來，這是參數(shù)Copula的不足之處，然而小波線性估計量正好彌補了這個缺陷。小波線性估計量是對美國標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)、日經(jīng)225指數(shù)、中國上證綜合指數(shù)等三者收益率之間相依結(jié)構(gòu)的真實刻畫。這為正確認(rèn)識三大經(jīng)濟體在經(jīng)濟金融方面的關(guān)聯(lián)性提供了一種重要的多尺度工具。

5 結(jié)論與啟示

針對隨機變量的相依結(jié)構(gòu)建模中參數(shù)Copula估計和最佳篩選問題，本文建立了三維Copula密度函數(shù)的線性小波估計量，以最小化參數(shù)Copula與該估計量的均方積分誤差為準(zhǔn)則，篩選出最佳的混合參數(shù)Copula模型用以描述三維隨機變量之間潛在的相依結(jié)構(gòu)。對中美日三國的股指收益率的實證研究表明：利用Copula函數(shù)來刻畫金融資產(chǎn)相關(guān)結(jié)構(gòu)的時候,以小波線性估計量為基準(zhǔn)更加適合在備選的參數(shù)Copula函數(shù)族中選擇最優(yōu)的Copula函數(shù),該方法既可以選出與真實相關(guān)結(jié)構(gòu)比較接近的混合參數(shù)Copula函數(shù),較為真實地再現(xiàn)了三指數(shù)之間潛在的相依結(jié)構(gòu)特征。

本文研究表明小波線性估計量具有極強的局部自適應(yīng)能力。這是對潛在相依結(jié)構(gòu)近乎全真地識別和重現(xiàn)，其尺度變焦功能體現(xiàn)為從不同的時間尺度展示相依結(jié)構(gòu)的局部特征。因此將該方法用于多個金融市場、多個資產(chǎn)等之間的市場風(fēng)險度量與管理也是頗有重大意義的事情。尤其應(yīng)著眼于世界一體化的高度，風(fēng)險管理人員及相關(guān)學(xué)者有必要利用現(xiàn)有的Copula技術(shù)深入研究國際金融、經(jīng)濟等系統(tǒng)變量之間的相依性結(jié)構(gòu)的復(fù)雜特征及演變規(guī)律，為人類在可持續(xù)發(fā)展征途中深刻地認(rèn)識清楚自身所面臨的各種風(fēng)險之間的聯(lián)動特征，從而實現(xiàn)全球化的風(fēng)險管理。

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