劉玉春 王 俊 高 博 王海環(huán)

（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710071）

引 言

雙基合成孔徑雷達(dá)（SAR）由于具有成本低、機(jī)動(dòng)靈活、隱蔽性強(qiáng)、能夠?qū)Υ鬁y繪帶高分辨成像等特點(diǎn)［1］，近年來得到國內(nèi)外研究人員高度重視，對其成像模式［2-5］、性質(zhì)分析［5-9］、二維頻譜分析［1，10-16］和成像算法［17-21］的研究逐漸深入.

雙基二維頻譜求解是雙基SAR成像研究的一個(gè)關(guān)鍵問題，其表達(dá)形式和精度對成像算法的設(shè)計(jì)和應(yīng)用有至關(guān)重要的影響.雙基SAR收發(fā)雙程斜距歷程（下面簡稱為斜距歷程）為雙平方根項(xiàng)，使二維頻譜求解非常復(fù)雜.Loffeld雙基公式（LBF）算法［10］先對收發(fā)斜距歷程在各自的駐相點(diǎn)處進(jìn)行二階泰勒展開，然后利用駐相原理得到雙基SAR點(diǎn)目標(biāo)的二維近似頻譜.但由于LBF算法對收發(fā)相位歷程進(jìn)行了平均截?cái)嗵幚恚瑢?dǎo)致其在異構(gòu)平臺構(gòu)型下存在較大誤差.文獻(xiàn)［11］對LBF算法進(jìn)行了改進(jìn)，利用瞬時(shí)多普勒貢獻(xiàn)率對相位歷程進(jìn)行了加權(quán)處理，提高了所求二維頻譜的精確性.文獻(xiàn)［1］應(yīng)用了二維駐相原理，得到了具有較高精度的二維頻譜，可以方便地應(yīng)用在距離多普勒（RD）和線頻調(diào)變標(biāo)（CS）成像算法中.級數(shù)反演（MSR）算法［12］應(yīng)用了級數(shù)反演原理，精度可以通過級數(shù)的階數(shù)控制，聚焦性能優(yōu)良，已經(jīng)成為廣泛應(yīng)用的一種二維頻譜.文獻(xiàn)［13］利用菲涅耳近似得到一種較為精確的二維頻譜求解算法，但是只能應(yīng)用于小斜視角和小雙基角的情況下.文獻(xiàn)［14］在MSR的基礎(chǔ)上對斜距歷程級數(shù)展開式的系數(shù)優(yōu)化，從而得到了一種更為精確的二維頻譜，但是其表達(dá)形式較為復(fù)雜，使后續(xù)成像處理更為復(fù)雜.四次精確傳遞函數(shù)（EETF4）二維頻譜近似解析算法［15-16］通過直接求解駐相點(diǎn)方程得到駐相點(diǎn)的解析解，進(jìn)而得到較為精確的二維頻譜.

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文提出雙基SAR二維頻譜微增量算法.該算法基于斜距歷程泰勒級數(shù)展開，以斜距歷程N(yùn)-1階泰勒級數(shù)展開時(shí)的駐相點(diǎn)（下面稱之為N-1階駐相點(diǎn)）為基礎(chǔ)，通過求解N-1階駐相點(diǎn)至N階駐相點(diǎn)之間的差值（下面稱之為N-1階微增量）來求取N 階駐相點(diǎn)的表達(dá)式，最終得到二維頻譜.算法運(yùn)算量小，并且具有可擴(kuò)展性，可以很方便地通過循環(huán)使用微增量算法來得到更高階的駐相點(diǎn)表達(dá)式和其對應(yīng)的二維頻譜，而沒有諸如ETF算法只能解四次以內(nèi)方程并且要討論根的取舍等問題的限制.

1 雙基二維頻譜的微增量算法

假設(shè)發(fā)射機(jī)信號為chirp信號，則解調(diào)后的點(diǎn)目標(biāo)回波信號可以表達(dá)為

式中：wr（τ）為脈沖包絡(luò)；wa（t）為由雙基收發(fā)天線決定的方向圖函數(shù)；kr為脈沖調(diào)頻率；c為光速；t代表慢時(shí)間；τ代表快時(shí)間；fc為載頻；R（t）為斜距歷程.對回波信號進(jìn)行距離維（快時(shí)間）傅里葉變換并應(yīng)用駐相原理，可得

式（2）中忽略了一個(gè)無關(guān)緊要的含有π/4相位的常數(shù)項(xiàng).在下面方位傅里葉變換時(shí)，也忽略由于使用駐相原理而產(chǎn)生的常數(shù)項(xiàng).WR（fr）＝wr（fr/kr），二者僅是尺度變換.下面進(jìn)行方位維（慢時(shí)間）傅里葉變換，有

對θ（t，fr）求導(dǎo)可得

由駐相原理知，θ′（t，fr）＝0的解即駐相點(diǎn)，由式（5）可得駐相點(diǎn)方程

如果斜距歷程R（t）被N階泰勒展開，則有

則N階駐相點(diǎn)方程可寫為

同理，N-1階駐相點(diǎn)方程為

根據(jù)文獻(xiàn)［12］，式（8）可以進(jìn)一步展開為

式中：RT（t）、RR（t）分別為發(fā)、收的斜距歷程；VT、VR分別為發(fā)射機(jī)和接收機(jī)的速度；θT、θR分別為0方位時(shí)刻發(fā)射機(jī)和接收機(jī)的斜視角.一般情況下，VT?RT（0）、VR?RR（0），觀察式（11），可知斜距歷程泰勒展開系數(shù)kn隨著n的增加而指數(shù)遞減（當(dāng)θT＝θR＝0時(shí)除外，此時(shí)n為奇數(shù)時(shí)kn為0，n為偶數(shù)時(shí)kn仍指數(shù)遞減）.從上面的分析可知式（9）中的高次項(xiàng)（NkNtN-1N）對駐相點(diǎn)的影響很小，因此式（9）與式（10）的解相差很小，故而tN-1與tN非常接近，即tN-tN-1?tN-1.

如果已知tN-1而欲求tN，并且定義

恰當(dāng)?shù)臄⑹麻L度讓當(dāng)代兒童文學(xué)精準(zhǔn)地定位接受主體的經(jīng)驗(yàn)、能力，“只有當(dāng)人在審美狀態(tài)中把世界置于他自己的身體或觀賞世界時(shí)，他的人格才與世界分開，對他來說才出現(xiàn)了世界，……精神給無形式的東西以形式，從而表明它自己的自由?！盵3]準(zhǔn)確的敘事長度讓兒童在自己的認(rèn)知范圍內(nèi)找到精神自由。

稱ΔtN-1為N-1階微增量，則有

結(jié)合式（9）、（10）、（12），并根據(jù)式（13）忽略 ΔtN-1的高階項(xiàng)，整理得

由式（14）得

把式（15）帶入式（12），得到tN的近似解.參考頻譜二維表達(dá)式可表示為

式（16）中WA（fa）＝wa（tN）.

從上面的推導(dǎo)過程可以看出，在微增量算法中為求得tN的近似解，必須滿足兩個(gè)條件：預(yù)先求得tN-1；斜距歷程被N階泰勒展開（即要求出kn，n＝1，2，……，N）.

當(dāng)斜距歷程被三階泰勒展開時(shí)，我們可以直接寫出三階駐相點(diǎn)的解析解

微增量算法具有可擴(kuò)展性 .只要斜距歷程被展開到足夠高階數(shù)，就可以把式（18）作為起點(diǎn)，重復(fù)使用微增量算法，求出任意階駐相點(diǎn)的近似解，進(jìn)而求出其二維頻譜.

1）利用式（7）和（8），把斜距N階泰勒展開.

2）利用式（18）、（15）和（12）求出高階駐相點(diǎn)表達(dá)式.

3）把步驟2中所得到的駐相點(diǎn)作為低階駐相點(diǎn)，重復(fù)步驟2，直至得到tN的表達(dá)式.

4）把步驟3中所求tN代入式（16）和（17）即得到雙基二維頻譜.

2 微增量算法與MSR算法的關(guān)系

MSR二維頻譜是一種被廣泛應(yīng)用較為精確的雙基二維譜，本節(jié)通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)來分析微增量算法和MSR算法之間的關(guān)系.在斜距歷程四階泰勒展開的情況下，MSR二維頻譜為

根據(jù)式（15）可以得到三階微增量Δt3，并把其展開為關(guān)于的泰勒級數(shù)，有

所以四階駐相點(diǎn)為

把式（23）帶到式（16）和式（17），整理并保留至 （fa＋（fr＋fc）k1/c）四次項(xiàng)，可得二維頻譜為

式（24）、（25）與式（19）、（20）完全一致，表明 MSR算法是微增量算法忽略（fa＋（fr＋fc）k1/c）高次項(xiàng)后的近似表達(dá).

3 算法仿真與分析

雙基SAR的二階駐相點(diǎn)的解析解為

為了驗(yàn)證微增量算法的正確性，本節(jié)分別針對機(jī)載和星載兩種雙基SAR構(gòu)型進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn).在每種構(gòu)型下，都對四種算法所得到的駐相點(diǎn)和二維頻譜及其聚焦性能進(jìn)行了仿真和對比分析.這四種算法為：基于式（26）二次精確傳遞函數(shù) （ETF2）算法、基于式（18）三次精確傳遞函數(shù) （ETF3）算法和基于三階泰勒展開的MSR算法和微增量算法.在仿真中，對參考點(diǎn)（方位零時(shí)刻波束中心照射點(diǎn)）進(jìn)行了聚焦成像.在仿真中分別對四種算法得到的駐相點(diǎn)和頻譜相位進(jìn)行了誤差的分析和比較，并且對成像結(jié)果的聚焦參數(shù)進(jìn)行了比較.仿真參數(shù)如表1所示.

從前面分析可知，式（18）是三階駐相點(diǎn)的解析解，因此ETF3算法是仿真的四種方法中最為精確的.從圖1可以看出，由于ETF2算法僅僅把斜距歷程二階泰勒展開，所以其駐相點(diǎn)誤差要比其他三種算法大二到三個(gè)量級.在另外三種算法中，微增量算法和ETF3算法的誤差基本相同，而MSR算法所得的駐相點(diǎn)的誤差較前面二者要大一些，特別是在星載雙基SAR構(gòu)型中，其最大誤差要比前二者高一個(gè)量級.

表1 仿真參數(shù)

圖1 兩組實(shí)驗(yàn)所求駐相點(diǎn)誤差

因?yàn)镋TF2算法所得到的駐相點(diǎn)誤差較大，所以其頻譜相位誤差也隨之增加.從圖2可以看出，ETF2算法的二維頻譜相位誤差比其他三種算法大.微增量算法與ETF3算法的相位誤差基本相同，而MSR算法所求得的二維頻譜相位誤差大于前面二者.另外從圖2還可以看出：ETF2算法的相位誤差太大，將會嚴(yán)重影響其聚焦效果，而另外三種算法的的相位誤差均在可容忍范圍內(nèi)，對聚焦質(zhì)量影響不大.

圖2 兩組實(shí)驗(yàn)所求相位誤差

圖3 四種算法成像結(jié)果方位向剖面圖

圖3是四種頻譜對參考點(diǎn)的成像結(jié)果，其中圖（b）、（d）分別是圖（a）、（c）中虛線方框內(nèi)部分的放大圖.可以看出：由于ETF2算法忽略了斜距歷程三次以及高次項(xiàng)，對點(diǎn)目標(biāo)響應(yīng)的形狀造成了影響（左右不對稱），但是對分辨率影響不大.與ETF2算法比，另外三種算法都對點(diǎn)目標(biāo)進(jìn)行了較好的聚焦，其剖面圖幾乎完全重合在一起.

各種算法的聚焦參數(shù)如表2所示.因?yàn)镋TF2算法的點(diǎn)目標(biāo)響應(yīng)的左右不對稱，所以在表2中分別以PSLR＿L、PSLR＿R表示點(diǎn)目標(biāo)響應(yīng)左側(cè)的峰值旁瓣比和右側(cè)的峰值旁瓣比.從表2可以看出：在四種算法中，ETF2算法聚焦效果稍差，特別是左右兩側(cè)的PSLR失衡嚴(yán)重.另外三種算法的聚焦性能非常接近，其聚焦參數(shù)的差異僅為10-4量級.與MSR算法相比，微增量算法和ETF3算法的聚焦效果更為接近，幾乎完全一致.

在仿真實(shí)驗(yàn)中，利用微增量算法由二階駐相點(diǎn)得到了三階駐相點(diǎn)的近似解，免去了求解方程的過程，進(jìn)而得到了更加精確的二維頻譜.在斜距歷程均被展開為三階泰勒級數(shù)的情況下，微增量二維頻譜算法的聚焦性能與ETF算法和MSR算法很接近.仿真實(shí)驗(yàn)表明：通過微增量算法，可以避免解駐相點(diǎn)方程而得到更加精確的駐相點(diǎn)表達(dá)式和雙基二維頻譜，提高了二維譜的精確性.

表2 四種算法聚焦參數(shù)對比

4 結(jié) 論

文章提出一種求解雙基二維頻譜的微增量算法.該算法通過求解低階駐相點(diǎn)和高階駐相點(diǎn)之間的微增量得到高階駐相點(diǎn)的近似解，進(jìn)而得到雙基二維頻譜.算法原理簡單，運(yùn)算量小，編程實(shí)現(xiàn)容易.通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，MSR算法是微增量算法的一種近似表達(dá)形式.仿真實(shí)驗(yàn)表明微增量算法所求得二維頻譜的聚焦性能與ETF3算法、MSR算法非常接近，驗(yàn)證了其有效性.該算法具有可擴(kuò)展性，利用微增量算法可以獲得任意階數(shù)的駐相點(diǎn)和其二維頻譜.但是隨著級數(shù)的升高，其駐相點(diǎn)和二維譜的表達(dá)式會變得非常復(fù)雜，因此很難得到.如何對駐相點(diǎn)表達(dá)式進(jìn)行處理，使之簡潔明了，有利于二維頻譜的處理，將是我們下一步的研究內(nèi)容.

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