雷笑艷

什么是運算法則？關(guān)于數(shù)的運算的知識是人們在日常生活和生產(chǎn)實踐的經(jīng)驗中抽象出來的，并且逐漸形成了“法則”。運算法則是運算方法和程序的規(guī)定，運算法則的理論依據(jù)稱為算理。運算法則說的是怎樣算，算理說的是為什么這樣算。通俗地說，小學數(shù)學運算法則是用文字表述的運算規(guī)定，它是根據(jù)算理對運算過程實施細則作出的具體規(guī)定，它所反映的是一種規(guī)范化的操作程序。數(shù)學家史寧中先生曾對運算法則作出這樣的評價：數(shù)的運算法則是重要的，如果讓人類重新開始建立數(shù)學，那么，建立起來的新的數(shù)學會有多少與現(xiàn)在的數(shù)學是一樣的呢？大概運算的法則是一樣的，其他的就不好說了。

數(shù)學在本質(zhì)上研究的是抽象了的東西。那我們是否有疑問，運算法則有怎樣抽象過程。這樣我們可以提出一些疑問：運算法則的抽象過程蘊含什么具體環(huán)節(jié)？運算法則的抽象過程中學生心理有什么變化？運算法則的掌握與具體算式的運算有什么關(guān)系？本文試圖對上述問題進行剖析。

一個過程：從直觀到抽象、概括再到具體化

按照數(shù)學科學的要求，數(shù)學運算法則的敘述必須嚴密、準確，都要經(jīng)過嚴格的論證。但受小學生認知發(fā)展水平和接受能力的限制，眾多小學數(shù)學運算法則并不進行嚴格的證明。小學數(shù)學運算法則一般采用合情推理，用不完全歸納法或類比法導出。通常都是以現(xiàn)實情境和具體的計算為起點，通過一定數(shù)量算式的計算。讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、探索、發(fā)現(xiàn)同類算式之間的關(guān)系、規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)一些帶有規(guī)律性的計算方法或具有普遍適用性的運算程序，并對它們經(jīng)過歸納、猜測、驗證等過程上升為運算法則，然后用概括出來的法則指導計算，由此將抽象的運算規(guī)定變成具體化的計算過程。簡言之，小學生掌握運算法則要經(jīng)過由直觀到抽象、概括再到具體化的心理發(fā)展過程。這一過程即“智力活動模式”。

縱觀各種版本的小學數(shù)學教材，有關(guān)運算法則的內(nèi)容基本上都是按照這種“智力活動模式”編排。如二位數(shù)、三位數(shù)筆算減法的運算法則。兩位數(shù)減兩位數(shù)是學習筆算減法的開始，一般先講不退位的減法，主要講先把相同數(shù)位對齊，再從個位減起；然后講退位減法，主要講個位上不夠減，從十位退1，在個位上加10再減。在此基礎(chǔ)上類推到三位數(shù)減法、多位數(shù)減法，但是退位減法，出現(xiàn)了連續(xù)退位，需要學生掌握“被減數(shù)哪一位上的數(shù)不夠減，就從前一位退1作十，和本位上的數(shù)加起來，再減”的法則。教材先安排了大量有關(guān)例題，例題中有大量的圖示、直觀演示（當前的教材以小棒、方塊、計數(shù)器為主）和相關(guān)的習題讓學生用豎式計算。學生計算中逐步發(fā)現(xiàn)計算的操作程序，并從這些具有普遍意義的操作程序中概括出三條運算法則規(guī)定：（1）相同數(shù)位對齊；（2）從個位減起；（3）被減數(shù)哪一位上的數(shù)不夠減，就從前一位退1作十，和本位上的數(shù)加起來，再減。緊接著又用這種計算程序進行大量的計算，從而把二位數(shù)、三位數(shù)筆算減法的法則變成具體的計算過程，完成學生對其運算法則認識的第二次飛躍。運算法則掌握過程的具體模式如表一：

當然，這一學習過程并非在一節(jié)課中完成，它的完整形成需要幾節(jié)課，甚至幾個單元的反復理解。

二種變化：從展開的、詳盡的思維活動到壓縮的、省略的思維活動的過程；從明確意識法則到完全不用意識法則的過程

隨著數(shù)學教育的改革，人們在爭議與商討中慢慢達成了一些共識：數(shù)學學習不再僅僅看作知識技能的獲得，而是理解為思維過程。從學習心理學角度看，導出運算法則的思維過程是從展開的、詳盡的思維開始，過渡到壓縮的、省略的思維。學生掌握運算法則的過程是從明確意識法則到完全不用意識法則的心理過程。

“從展開的、詳盡的思維活動到壓縮的、省略的思維活動的過程”指起初開始做一類新的運算性質(zhì)的題時，要求寫出詳盡的過程，盡量展開。隨著學生熟練程度的增強，再逐漸過渡到壓縮、省略。經(jīng)過這種從展開到壓縮、詳盡到省略的過程，可以加深對演算過程的理解，少出錯誤。學生學習新運算法則的初期，我們希望學生的思維活動總是按照法則規(guī)定的運算步驟一步一步展開的，每一個運算步驟都要在他們的思維過程中詳盡地展現(xiàn)出來。這起碼有兩方面的好處，一是學生便于模仿，二是有助于學生理解相關(guān)的算理與運算性質(zhì)。如學生開始學習除數(shù)是小數(shù)的除法，計算12.6÷0.28（《義務教育課程標準實驗教科書小學數(shù)學》（人教版）五年級上冊，第22頁例6）時，我們引導學生的思維過程按照除數(shù)是小數(shù)的除法是小數(shù)的除法法則規(guī)定的程序，通常要經(jīng)過以下的過程：

1.除數(shù)是小數(shù)怎么計算？可以把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，同時……；

2.將除數(shù)“0.28”的小數(shù)點向右移動兩位（擴大它的100倍）變成整數(shù)“28”；

3.被除數(shù)“12.6”的小數(shù)點向右移動兩位（擴大它的100倍）；

4.被除數(shù)“12.6”小數(shù)部分的位數(shù)不夠（怎么辦）；

5.在被除數(shù)的末尾添一個“0”補足，被除數(shù)變成整數(shù)“1260”；

6.按照除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法法則計算“1260÷28”。

當學生對同一類型的運算有了比較熟練的掌握，對所用的運算法則有了全面、深刻的理解以后，在計算中就會逐步壓縮運算過程中的某些中間環(huán)節(jié)，省略和簡化其思維過程，成為同一類運算中的一個局部，不再單獨地加以考慮了。這時計算除數(shù)是小數(shù)的這一類運算，就會將其思維過程壓縮為兩個步驟：1.根據(jù)除法商不變性質(zhì)，將除數(shù)是小數(shù)的除法算式變成除數(shù)是整數(shù)的除法算式；2.根據(jù)除數(shù)是整數(shù)的除法法則計算。

從上面的例子和論述我們不難發(fā)現(xiàn)，學生學習運算法則初期展開的、詳盡的思維過程實際上是一個學生有意識認識、深刻理解法則的過程。展開是為了理解運算性質(zhì)，詳盡是為了讓學生按部就班模仿運算過程，確保運算結(jié)果的正確性。這對學生發(fā)展數(shù)學思維的敏捷性、靈活性帶來不利，并因運算的繁瑣讓學生喪失學習數(shù)學的興趣。因此，當學生對所學運算法則有了正確理解，一定量的習題訓練后，教師應及時引導他們壓縮和簡化運算的思維過程，使其計算速度適當加快，以保證學生的思維能力和運算能力得到有效發(fā)展。

在這種思維過程中學生的心理過程也起了變化。有研究表明，小學生運用運算法則進行筆算，開始時學生總是通過在頭腦里明確意識法則的運算規(guī)定去進行計算。即學生運用法則的初期，面對具體的計算任務，他們要靠在頭腦里聯(lián)想法則的運算規(guī)定才能計算，并且這種計算通常都是按法則規(guī)定的運算步驟去一步一步地展開，甚至有時還伴有對法則運算規(guī)定的默誦。如小學二年級學生剛開始學習筆算加法36+35時，列豎式時他們要聯(lián)想“相同數(shù)位對齊”的運算規(guī)定，具體計算時要聯(lián)想“從個位加起”和“個位滿10向十位進1”兩條運算規(guī)定才能完成計算任務。否則，其計算過程就會因為缺乏操作的依據(jù)而無法進行。經(jīng)過一定量的練習，當學生對運算法則掌握得比較熟練后，看到算式就產(chǎn)生“我會”的想法，計算時就完全不用意識法則了，面對具體的算式學生無須去聯(lián)想法則的運算規(guī)定就能直接進行計算，整個計算過程完全變成了一種自動化的演算過程。如學生對整數(shù)加法法則有了比較熟練的掌握后，計算時他們根本不用去聯(lián)想三條運算規(guī)定，而是直接聯(lián)結(jié)計算任務和計算過程得出計算的結(jié)果。

一個核心：尋找關(guān)系

數(shù)學是一門“關(guān)系學”，懂數(shù)學的人都不會反對這個觀點。但要認真問起來，什么叫關(guān)系？數(shù)學中的關(guān)系中怎樣的？能不能給關(guān)系下一個普遍適用的定義，卻會使不少人為難。在數(shù)學里，可以抽象地給關(guān)系下定義：“設A，B是兩個集合，由A中元素x和B中元素y配成的序偶〈x，y〉組成的每一個集合R（也就A×B的每一個子集R）都叫做A到B的一個關(guān)系?！北确秸f，a是b的倍數(shù)，這是整數(shù)之間的一種關(guān)系。從數(shù)學內(nèi)容的視角，史寧中先生把數(shù)學上的關(guān)系具體分成：數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機關(guān)系等三類關(guān)系。而數(shù)學研究的“關(guān)系”主要是以下三類：等價關(guān)系，其中包括數(shù)的相等、和式的相等關(guān)系；序關(guān)系，其中包括數(shù)的大小關(guān)系；對應關(guān)系，其中包括數(shù)量之間的相互依賴關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系。

我們尋找的關(guān)系，當然也包涵上述的一些關(guān)系。然而，我們主要是想從認知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)上探討，尋找運算法則之間的知識層次、知識間的相互關(guān)系及內(nèi)在聯(lián)系。

學習和掌握知識不是簡單的知識積累（堆砌），它要求學習者在頭腦中建立良好的認知結(jié)構(gòu)，包括清晰的知識層次、知識間的相互關(guān)系及內(nèi)在聯(lián)系，以及其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法。一些學生之所以不能靈活運用知識，是因為他們頭腦儲存中缺少網(wǎng)絡，或者只是一些無序各自無關(guān)的破碎的小網(wǎng)絡，甚至是孤立的知識點。當面臨解決問題情境時，難以將知識激活，或無法將知識檢索出來。而優(yōu)秀的學生之所以優(yōu)秀是因為他們頭腦中有一張存儲有序，嚴密的、立體的知識網(wǎng)絡，其存儲方式不是點狀，而是由知識組塊形成的鏈狀、網(wǎng)狀、立體結(jié)構(gòu)，易于激活與提取。教學經(jīng)驗表明，幫助學習者構(gòu)建連接有序數(shù)學知識網(wǎng)絡對于深化數(shù)學理解尤為重要。可以讓學生通過自己的總結(jié)做簡單小結(jié)，比較知識之間的聯(lián)系與區(qū)別、編織結(jié)構(gòu)，使之系統(tǒng)化，從中提煉出思想方法，用高觀點統(tǒng)率全局。比如做完一道題后，這道題反映了什么樣的知識，關(guān)鍵點在哪兒？碰壁后如何找到正確路子的，還有別的方法嗎？有更簡單的方法嗎？還可引伸嗎？經(jīng)常作這樣回顧性的反思總結(jié)，評判能力會逐漸提高，這些體驗便及時納入個人認知網(wǎng)絡之中，其知識的存儲在網(wǎng)絡中必然是有序的，編碼也是合乎規(guī)律的。一個人對學習的體驗是有時效性的，如果不及時進行總結(jié)反思，體驗就會消退，從而失去了將經(jīng)驗上升為規(guī)律，將感性上升為理性的時機。下面我們以整數(shù)加法的筆算教學（人教版）為例進行分析（見表二）。

分析：整數(shù)加法教學，劃分為“1到10的加法”、“20以內(nèi)的進位加法”、“100以內(nèi)的加法”、“萬以內(nèi)的加法”以及“多位數(shù)的加法”。筆算加法的法則：對齊數(shù)位；從個位加起；滿十向前一位進一。

整數(shù)加法的筆算縱向關(guān)系：整數(shù)加法筆算與小數(shù)加法筆算的關(guān)系。

整數(shù)加法的筆算橫向關(guān)系：整數(shù)加法筆算與整數(shù)減法筆算、整數(shù)乘法筆算的關(guān)系。

我們相信這些關(guān)系對數(shù)學學習的重要性。但讓我們困惑的是，這些關(guān)系我們是否都作為課堂教學內(nèi)容來教嗎？在什么時機下教最合適？我們認為教是教不會的。重要的東西，簡單地告訴他們，這是怎樣怎樣重要的，這并不能引起他們的注意。我們強調(diào)的是教學上的意識，我們可以引領(lǐng)學生體驗一些范例，通過體驗、探索、思考、反思，讓他們感覺到這些關(guān)系對理解數(shù)學太重要了。然后，我們啟發(fā)他們在課堂學習中、課外作業(yè)中不斷地去感受這些知識間千絲萬縷的關(guān)系。

二項對教學的啟示

在許多人看來，對于運算，會計算就可以了。會計算是比較容易的，要讓學生對運算背后的東西有所理解，就有一定的難度；會計算是比較容易的，要讓學生心悅誠服地這樣算，就有難度。教學實踐表明，知道怎樣算，但是為什么這樣算，知之甚少。

1.教學應基于學生的數(shù)學理解而展開

數(shù)學學習強調(diào)理解，理解是學好數(shù)學的關(guān)鍵。學生的理解是有層次的、有水平的，教學就要基于這些水平而展開。有學者從理解的表征轉(zhuǎn)化說、類型層次說出發(fā)，特別是基于Hersconvics所提出的理解模型和弗賴登塔爾關(guān)于運算學習的4個階段，提出有理數(shù)運算的理解的4種類型：①直觀理解：用直觀圖形來說明運算結(jié)果的合理性，也就是能夠?qū)崿F(xiàn)由其他表征到圖像表征的轉(zhuǎn)化。②程序理解：按照固定的程序，比如運算法則來解決問題，給出正確的答案。通俗地說來，就是會計算。通常地就是能夠?qū)崿F(xiàn)由書面符號表征到書面符號表征的轉(zhuǎn)化。③抽象理解：用語言、算式等來說明結(jié)果的合理性。也就是能夠?qū)崿F(xiàn)書面符號表征、口頭語言表征內(nèi)部的或之間的轉(zhuǎn)化。抽象理解與直觀理解的區(qū)別是，直觀理解要通過直觀圖像來說明結(jié)果的合理性，而抽象的理解是通過口頭語言、書面符號等來抽象地說明結(jié)果的合理性。④形式理解：用一個已知的規(guī)則、規(guī)律（相當于數(shù)學的公理、定理），基于邏輯推理，來證實運算結(jié)果的合理性。也就是能夠?qū)崿F(xiàn)由書面符號表征到書面符號表征的轉(zhuǎn)化。下面我們結(jié)合分數(shù)除法運算作具體說明（見表三）：

研究表明，學生對于分數(shù)除法運算的理解是有層次的，是有水平的。第一水平：程序理解。第二水平：直觀理解。第三水平：抽象理解。第四水平：形式理解。也就是說，程序理解最容易獲得，形式理解最難獲得。

既然學生的理解是有層次的、有水平的，教學就要基于這些水平而展開。特別地，不可過高地提升學生的理解水平。比如，對于5年級學生而言，用語言敘述小數(shù)乘法的意義，就不是每一個學生能夠達到的。直觀理解就更難了。

2.運算法則應基于運算的算理而展開

運算法則是運算方法和程序的規(guī)定，運算法則的理論依據(jù)稱為算理。怎樣進行運算，也就是運算的方法（法則）是什么？為什么這樣算，運算的算理是什么？很多一線教師提出這樣的問題，兩者誰更重要些？這的確是一個折磨人的問題。我們試圖具體分析兩者關(guān)系來作簡單說明。

運算的算理，即為什么這樣算的道理。算理是概括、總結(jié)運算法則的依據(jù)和基礎(chǔ)。學生明白了算理，掌握了運算法則，不僅知其然，也知其所以然，便能適應各種變化了的情況，提高知識的遷移性。比如，可以這樣來理解24×13的算理：24×13的意義是求13個24的和，就是求3個24與10個24合起來是多少，所以應該分別求出3個24的和（即24×3）與10個24的和，再加起來。運算的法則，亦即算法和方法。在理解算理的基礎(chǔ)上，通過壓縮、反身抽象，將運算過程壓縮成標準化的運算步驟，進而概括出運算法則。從上面的例子可知，要得到整數(shù)乘法的法則，就要在整數(shù)加法的基礎(chǔ)上，利用“乘法的分配律”， 而這個運算律之所以能夠使用，一方面來自直觀，另一方面則來自于保持運算的持續(xù)性的要求。同樣，要得到小數(shù)乘法的法則，就要使用在整數(shù)乘法中得到的一個規(guī)律“因數(shù)的變化引起積的變化規(guī)律”，之所以整數(shù)乘法的規(guī)律能夠應用到小數(shù)乘法，關(guān)鍵是保持運算的持續(xù)性的要求。運算的算理中蘊含著大量運算的意義與性質(zhì)，這些本質(zhì)的意義與性質(zhì)具有理解的直觀性、一般性以保持運算的持續(xù)性。運算的算理貫穿于整個數(shù)系，并能讓各種運算融合為一個整體。如有理數(shù)系的范圍內(nèi)，運算的算理可以確保運算法則的遷移性，從整數(shù)乘法的運算法則到小數(shù)乘法的運算法則（先按照整數(shù)乘法來運算，再確定積的小數(shù)位數(shù)），再到有理數(shù)乘法（先按照非負有理數(shù)乘法來運算，再確定積的符號）。正因為運算算理的這些功能，使得各種運算法則以關(guān)系的形式構(gòu)建學生具有可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性的認知結(jié)構(gòu)。簡言之，運算的算理是數(shù)系擴展的精髓，運算的法則是數(shù)系發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物。

（作者單位：浙江省杭州市余杭區(qū)實驗小學）

責編/張曉東