鄭毓信

（南京大學(xué) 哲學(xué)系，江蘇 南京 210093）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）[1]的頒布引發(fā)了廣泛的“解讀熱”，這里強(qiáng)調(diào)“另類解讀”主要反映了這樣一種認(rèn)識(shí)：不同聲音的存在有利于人們的獨(dú)立思考，從而就可切實(shí)避免各種片面性的理解或認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)．文章集中于“四基”與“核心概念”等宏觀方面，主要目標(biāo)則是希望能給讀者，特別是一線教師一定啟示，從而促進(jìn)中國(guó)數(shù)學(xué)教育事業(yè)的健康發(fā)展．

1 研究的基本立場(chǎng)

這是眾多關(guān)于“新課標(biāo)”的解讀文章或?qū)ｉT報(bào)告的一個(gè)共同特點(diǎn)，即是對(duì)于一些新的理論思想的突出強(qiáng)調(diào)，特別是由“雙基”到“四基”、由“雙能”到“四能”的發(fā)展，以及10個(gè)“核心概念”．大家還可聽(tīng)到很多肯定性的評(píng)價(jià)．“無(wú)疑，‘四基’是對(duì)‘雙基’與時(shí)俱進(jìn)的發(fā)展，是在數(shù)學(xué)教育目標(biāo)認(rèn)識(shí)上的一個(gè)進(jìn)步．”[2]“《標(biāo)準(zhǔn)》中將基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能并列為‘四基’，可以說(shuō)是對(duì)課程目標(biāo)全面認(rèn)識(shí)的重大進(jìn)展．”[3]

這些論述也許有一定道理；但這又是過(guò)去十多年課改實(shí)踐的一個(gè)重要教訓(xùn)，即是應(yīng)當(dāng)防止盲目的樂(lè)觀情緒，特別是各種簡(jiǎn)單化的理解，乃至不自覺(jué)地形成了一個(gè)新的時(shí)髦潮流．恰恰相反，教育工作者應(yīng)當(dāng)不斷增強(qiáng)自身在這一方面的自覺(jué)性．

就當(dāng)前而言，首先就應(yīng)思考：什么應(yīng)是解讀“新課標(biāo)”的主要背景？一個(gè)現(xiàn)成的回答顯然在于：新舊課標(biāo)的對(duì)照．但是，究竟又應(yīng)如何去從事新舊課標(biāo)的對(duì)照比較？

以下是一些不應(yīng)被忽視的方面：

第一，在突出強(qiáng)調(diào)新舊課標(biāo)不同之處的同時(shí)，也應(yīng)高度重視兩者的共同點(diǎn)．例如，以下的論述就可被看成從一個(gè)特定角度表明了后一方面工作的重要性：“課程標(biāo)準(zhǔn)從《實(shí)驗(yàn)稿》到《2011版》，我們當(dāng)然應(yīng)該關(guān)注修訂了什么，但更要關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)堅(jiān)持了什么……因?yàn)槭觊g對(duì)于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的批評(píng)有很多是帶有方向性、整體性的，在這種情況下關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)中哪些沒(méi)有變就顯然更有意義．”[4]

更為一般地說(shuō)，這并直接關(guān)系到了教育工作的連續(xù)性，特別是，如何才能徹底糾正以下的長(zhǎng)期弊?。骸爸袊?guó)數(shù)學(xué)教育積累得太少，否定得太多．一談改革，就否定以前的一切，老是否定自己，沒(méi)有積累．”[5]

也正是從同一角度去分析，教育工作者更應(yīng)高度重視深圳市南山區(qū)的以下經(jīng)驗(yàn)：“只要對(duì)學(xué)生和教師有益處的改革，就一定要堅(jiān)持做，做就一定做細(xì)做實(shí)做到底．”這也就是指，“對(duì)細(xì)部的關(guān)注……用細(xì)節(jié)來(lái)表達(dá)價(jià)值觀．這或許也是中國(guó)課改的一個(gè)新的起點(diǎn)吧．”[6]

第二，正因?yàn)椤笆觊g對(duì)于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的批評(píng)有很多是帶有方向性、整體性的”，因此，也應(yīng)十分關(guān)注這些批評(píng)意見(jiàn)究竟有多少得到了采納？或者說(shuō)，“新課標(biāo)”在這些方面究竟有了怎樣的變化或發(fā)展？

由以下一些論述即可獲得這方面的直接啟示：

“認(rèn)真聽(tīng)講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法．”“學(xué)生獲得知識(shí)，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，可以通過(guò)接受學(xué)習(xí)的方式，也可以通過(guò)自主探索等方式．”

又，“課程內(nèi)容的組織要重視過(guò)程，處理好過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系……要重視直接經(jīng)驗(yàn)，處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系”．

“教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系……”[1]

上面的分析也為以下問(wèn)題提供了直接的解答：何者應(yīng)當(dāng)被看成課程改革深入發(fā)展、包括“課程標(biāo)準(zhǔn)”修訂工作的主要依據(jù)？是過(guò)去十多年課改實(shí)踐的總結(jié)與反思，更應(yīng)切實(shí)抓好以下兩個(gè)關(guān)鍵：

（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，正視問(wèn)題，解決問(wèn)題，不斷前進(jìn)；

（2）發(fā)揚(yáng)成績(jī)，真正“做細(xì)做實(shí)做深”．

就一線教師而言，以下建議，同樣可被看成過(guò)去十多年的課改實(shí)踐給予人們的重要啟示：第一，“立足專業(yè)成長(zhǎng)，關(guān)注基本問(wèn)題”；第二，與唯一強(qiáng)調(diào)理論的指導(dǎo)性作用相對(duì)照，更應(yīng)提倡關(guān)于教學(xué)工作的這樣一個(gè)新的定位：“反思性實(shí)踐”，也即應(yīng)當(dāng)更加重視積極的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)與反思[7～8]．

最后，就“新課標(biāo)”的學(xué)習(xí)與貫徹而言，教育工作者又應(yīng)特別重視“理論的實(shí)踐性解讀”和“教學(xué)實(shí)踐的理論性反思”，它們并可被看成理論與教學(xué)實(shí)踐之間辯證關(guān)系的具體體現(xiàn)．以下就圍繞“數(shù)學(xué)基本思想”、“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”以及若干“核心概念”對(duì)此作出具體論述．

2 聚焦“數(shù)學(xué)（基本）思想”

“新課標(biāo)”在這方面的一些明顯問(wèn)題：

第一，由于“《課標(biāo)》沒(méi)有展開(kāi)闡述‘?dāng)?shù)學(xué)的基本思想’有哪些內(nèi)涵和外延，這就給研究者留下了討論的空間，而且由于它過(guò)去并沒(méi)有被充分討論過(guò)，所以可能仁者見(jiàn)仁，知者見(jiàn)智，不同的學(xué)者可能會(huì)有不完全一樣的說(shuō)法”[9]．

第二，除去“數(shù)學(xué)思想”以外，“新課標(biāo)”中還多次提到了“數(shù)學(xué)思考”和“數(shù)學(xué)思維”，從而進(jìn)一步增加了理解的困難．當(dāng)然，在此還有這樣一個(gè)密切相關(guān)的概念：“數(shù)學(xué)思想方法”．

第三，由于對(duì)“數(shù)學(xué)（基本）思想”的強(qiáng)調(diào)與先前關(guān)于“三維目標(biāo)”的提倡有很大的一致性，因此，就應(yīng)更為深入地去思考：究竟什么是提倡“數(shù)學(xué)基本思想”的真正新意？

顯然，對(duì)于后一問(wèn)題可以立即作出如下解答：這主要在于對(duì)“數(shù)學(xué)抽象的思想”、“數(shù)學(xué)推理的思想”、“數(shù)學(xué)模型的思想”這樣3個(gè)基本思想的突出強(qiáng)調(diào)，以及關(guān)于“數(shù)學(xué)基本思想”、“（一般）數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)思想方法”的層次區(qū)分．

例如，由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來(lái)的有：分類的思想，集合的思想，“變中有不變”的思想，符號(hào)表示的思想，對(duì)應(yīng)的思想，有限與無(wú)限的思想，等等．

“由‘?dāng)?shù)學(xué)推理的思想’派生出來(lái)的有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)換化歸的思想，聯(lián)想類比的思想，普遍聯(lián)系的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等．”

另外，“在用數(shù)學(xué)思想解決具體問(wèn)題時(shí)，對(duì)某一類問(wèn)題反復(fù)推敲，會(huì)逐漸形成某一類程序化的操作，就構(gòu)成了‘?dāng)?shù)學(xué)方法’．?dāng)?shù)學(xué)方法也是具有層次的．”[9]

面對(duì)這樣的論述，一線教師應(yīng)當(dāng)如何去做？

容易想到，這正是這方面的傳統(tǒng)立場(chǎng)：認(rèn)真學(xué)習(xí)，深刻領(lǐng)會(huì)，全面貫徹……但是，這種立場(chǎng)是否也有一定的局限性？為了促進(jìn)讀者的深入思考，可以首先提及這樣兩個(gè)事實(shí)：

第一，作為“數(shù)學(xué)思想”的具體分析，應(yīng)當(dāng)說(shuō)存在多種不同的觀點(diǎn)．

例如，以下就是這方面較有影響的一些著作：L·克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》（上海科學(xué)技術(shù)出版社，1978），張奠宙、朱成杰的《現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想講話》（江蘇教育出版社，1991），袁小明的《數(shù)學(xué)思想史概論》（廣西教育出版社，1992）．由大致的瀏覽和比較又可發(fā)現(xiàn)：盡管它們都集中于所謂的“重大數(shù)學(xué)思想”，但相關(guān)論述與上述關(guān)于“基本思想”的分析則有很大不同；而且，盡管這3者的具體觀點(diǎn)并不完全一致，它們又都突出地強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思想的歷史性、發(fā)展性和變化性．

在此還可特別提及日本著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏的著作《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》（四川教育出版社，1986），因?yàn)椋笳咚坪跻餐怀龅貜?qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思想的層次區(qū)分：他稱為數(shù)學(xué)的“精神”、“思想”與“方法”．但由簡(jiǎn)單的比較可以看出，后者的具體內(nèi)容也與上面所提到的觀點(diǎn)有很大不同．

如米山國(guó)藏所提到的“數(shù)學(xué)精神”就有7種：

（1）應(yīng)用化的精神；

（2）擴(kuò)張化、一般化的精神；

（3）組織化、系統(tǒng)化的精神；

（4）致力于發(fā)明發(fā)現(xiàn)的精神；

（5）統(tǒng)一建設(shè)的精神；

（6）嚴(yán)密化的精神；

（7）“思維的經(jīng)濟(jì)化”的精神．

他提到的“重要的數(shù)學(xué)思想”則包括：

（1）數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思考的充分自由；

（2）傳統(tǒng)思想與數(shù)學(xué)進(jìn)步的關(guān)系；

（3）極限思想；

（4）“不定義的術(shù)語(yǔ)組”和“不證明的命題組”的思想；

（5）集合及群的思想；

（6）其它新思想；

（7）高維空間的思想；

（8）超窮數(shù)的思想；

（9）數(shù)學(xué)家頭腦中的空間；

（10）數(shù)學(xué)的神秘性和數(shù)學(xué)的美．

綜上可見(jiàn)，面對(duì)多種不同的理論主張，研究者的確應(yīng)認(rèn)真地去思考究竟應(yīng)當(dāng)如何去做？

第二，這也是過(guò)去十多年課改實(shí)踐給予人們的又一重要教訓(xùn)，即是應(yīng)當(dāng)清楚地認(rèn)識(shí)“理念先行，專家引領(lǐng)”這樣一種“由上至下”的運(yùn)作模式的局限性．因?yàn)?，如果缺乏足夠自覺(jué)性的話，就很可能造成嚴(yán)重的消極后果，對(duì)此例如由課改初期在教學(xué)方法改革上所出現(xiàn)的形式主義傾向就可清楚地看出．

以下則是國(guó)際上的相關(guān)發(fā)展：“就研究工作而言，僅僅在一些年前仍然充滿著居高臨下這樣一種基調(diào)，但現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)生了根本性的變化，即已轉(zhuǎn)變成了對(duì)于教師的平等性立場(chǎng)這樣一種自覺(jué)的定位．當(dāng)前研究者常常強(qiáng)調(diào)他們的研究是與教師一起做出的、而不是關(guān)于教師的研究，強(qiáng)調(diào)走進(jìn)教室傾聽(tīng)教師并與教師一起思考、而不是告訴教師去做什么，強(qiáng)調(diào)支持教師與學(xué)習(xí)者發(fā)展自己的能力、而不是力圖去改變他們．”[10]由此可見(jiàn)，研究者確實(shí)應(yīng)當(dāng)從根本上對(duì)理論與實(shí)踐（專家與教師）之間的關(guān)系作出新的認(rèn)識(shí)．

更為具體地說(shuō)，在明確倡導(dǎo)“反思性實(shí)踐”這樣一種關(guān)于教學(xué)工作新定位的同時(shí)，又應(yīng)清楚地看到，強(qiáng)調(diào)實(shí)踐與反思并非是指教育工作者完全不用重視理論（包括“新課標(biāo)”）的學(xué)習(xí)，而是應(yīng)當(dāng)積極提倡“理論的實(shí)踐性解讀”．

以下就是“理論的實(shí)踐性解讀”的一個(gè)基本意義：注意分析理論的現(xiàn)實(shí)意義，也即應(yīng)當(dāng)深入地去思考相關(guān)的理論主張對(duì)于改進(jìn)教學(xué)究竟有什么新的啟示？

就目前的論題而言，這也就是指，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)基本思想”對(duì)于教師改進(jìn)教學(xué)究竟有什么新的啟示？

另外，作為“理論的實(shí)踐性解讀”，又應(yīng)努力做到“學(xué)以致用”，也即始終集中于這樣一個(gè)問(wèn)題：教學(xué)中應(yīng)當(dāng)如何去做才能真正促進(jìn)學(xué)生的相關(guān)發(fā)展？

以下就從這一角度對(duì)一線教師提出一些具體建議：

（1）求全或求用？

這就是指，無(wú)論是數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)還是教學(xué)，其關(guān)鍵不在于無(wú)一遺漏地去列舉出各個(gè)數(shù)學(xué)思想（包括基本思想、一般思想和思想方法），而是應(yīng)當(dāng)更加關(guān)注如何能夠針對(duì)具體的知識(shí)內(nèi)容“由隱及顯”地去揭示出其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，并以此來(lái)帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)．

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，這可被看成教學(xué)工作創(chuàng)造性質(zhì)的一個(gè)重要表現(xiàn)，也即是一種“再創(chuàng)造”的工作；另外，只有以思想方法的分析帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，數(shù)學(xué)課才能“教活”、“教懂”、“教深”，也即不僅能讓學(xué)生看到真正的數(shù)學(xué)活動(dòng)，切實(shí)體現(xiàn)教學(xué)工作所應(yīng)有的“鮮活性和質(zhì)感性”，也能幫助學(xué)生很好地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括深層次的數(shù)學(xué)思想與方法．

（2）層次區(qū)分或辯證運(yùn)動(dòng)？

相對(duì)于嚴(yán)格的層次區(qū)分，應(yīng)更加重視自己的獨(dú)立思考，重視特殊與一般之間的辯證關(guān)系．這也就是指，教育工作者不僅應(yīng)當(dāng)十分重視數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且也應(yīng)通過(guò)具體與抽象、特殊與一般之間的辯證運(yùn)動(dòng)不斷深化自己的認(rèn)識(shí)．

例如，如果研究者所采用的是“化歸的思想”這樣一個(gè)詞語(yǔ)，這主要就是指這樣一個(gè)普遍性的思想：數(shù)學(xué)中往往可以通過(guò)將新的、較為復(fù)雜和困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)得到解決的、較為簡(jiǎn)單和容易的問(wèn)題來(lái)解決問(wèn)題．與此相對(duì)照，如果所強(qiáng)調(diào)的是“化歸的方法”，則就意味著研究者已將關(guān)注點(diǎn)轉(zhuǎn)移到了如何能夠?qū)崿F(xiàn)所說(shuō)的轉(zhuǎn)化，例如，所謂的“分割法”、“映射法”、“求變法”等就都是這樣的實(shí)例．再則，所謂“化歸法的核心思想”則代表了相反方向上的運(yùn)動(dòng)，也即由具體方法重新上升到了一般性的思想，包括“聯(lián)系的思想”、“變化的思想”等．

（3）就當(dāng)前而言，又應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣幾點(diǎn)：

第一，清楚認(rèn)識(shí)“廣度”與“深度”之間的辯證關(guān)系．如果說(shuō)“數(shù)學(xué)思想”主要反映認(rèn)識(shí)的深度，那么，就只有從較為廣泛的角度去進(jìn)行分析，也即十分重視視角的廣度，才能真正達(dá)到較大的深度，也即準(zhǔn)確地揭示出相關(guān)知識(shí)內(nèi)容中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想．（這里所提到的“深度”與“廣度”正是中國(guó)旅美學(xué)者馬立平女士所提出的關(guān)于“數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解”的兩個(gè)主要內(nèi)涵（另一相關(guān)的維度是“連通度”，詳見(jiàn)文[11]）．馬立平提出，后者并可被看成中國(guó)（小學(xué)）數(shù)學(xué)教師與美國(guó)同行相比的主要優(yōu)點(diǎn)．由此可見(jiàn)，對(duì)于數(shù)學(xué)思想的很好掌握也關(guān)系到了中國(guó)數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)的繼承與發(fā)展．）

例如，只有將自然數(shù)、小數(shù)與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)加以考察，才能很好地理解到，這些內(nèi)容集中地體現(xiàn)了以下一些數(shù)學(xué)思想：

（1）逆運(yùn)算的思想；

（2）不斷擴(kuò)展的思想；

（3）類比與化歸的思想；

（4）算法化的思想；

（5）客體化與結(jié)構(gòu)化的思想．

第二，高度關(guān)注教學(xué)活動(dòng)的可接受性．相對(duì)于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能而言，數(shù)學(xué)思想特別是那些較為抽象的數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)顯然需要更長(zhǎng)的時(shí)間，且主要是一個(gè)潛移默化的過(guò)程．因此，教師應(yīng)當(dāng)充分尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，并能有針對(duì)性地采取較為恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ慈缬伞吧畈夭宦丁敝鸩竭^(guò)渡到“畫(huà)龍點(diǎn)睛”，由“點(diǎn)到為止”逐步過(guò)渡到“清楚表述”，由“教師示范”逐步過(guò)渡到“主要促進(jìn)學(xué)生的自我總結(jié)與自覺(jué)應(yīng)用”，等等．

第三，這是教育工作者當(dāng)前所面臨的一項(xiàng)緊迫任務(wù)．即，如何能夠通過(guò)積極的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)與反思，切實(shí)做好數(shù)學(xué)思想的清楚界定與合理定位．

事實(shí)上，這即可被看成上述關(guān)于數(shù)學(xué)思想的歷史性、發(fā)展性和變化性的一個(gè)直接結(jié)論，又由于個(gè)體的發(fā)展往往重復(fù)種族發(fā)展的歷史．因此，與籠統(tǒng)地去提倡所謂的“數(shù)學(xué)基本思想”相比較，就應(yīng)更加重視數(shù)學(xué)思想的“清楚界定”與“合理定位”，也即應(yīng)當(dāng)依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，對(duì)于基礎(chǔ)教育各個(gè)階段究竟應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生掌握哪些數(shù)學(xué)思想作出更為具體和深入的分析．

顯然，也只有這樣，“數(shù)學(xué)基本思想”才不會(huì)蛻變成為空洞的教條，這方面的教育目標(biāo)也才能真正得到落實(shí)．

3 “數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”——困惑與思考

對(duì)于“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”《小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》編輯部曾有過(guò)這樣一個(gè)評(píng)論：“相對(duì)于原來(lái)的‘雙基’而言，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)顯得更為‘虛幻’，無(wú)論是理論內(nèi)涵還是實(shí)際的培養(yǎng)策略都不易把握．”

這一評(píng)論并無(wú)不當(dāng)之處，因?yàn)?，從理論的角度看，這一概念確有很多問(wèn)題需要人們更為深入地去進(jìn)行思考：

第一，這里所說(shuō)的“活動(dòng)”究竟是指具體的操作性活動(dòng)、還是應(yīng)當(dāng)將思維活動(dòng)也包括在內(nèi)，乃至主要集中于思維活動(dòng)？

在這方面并可看到一些不同的“解讀”：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，專指對(duì)具體、形象的事物進(jìn)行具體操作所獲得的經(jīng)驗(yàn)，以區(qū)別于廣義的數(shù)學(xué)思維所獲得的經(jīng)驗(yàn)．”[12]又，“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)……其核心是如何思考的經(jīng)驗(yàn)，最終幫助學(xué)生建立自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考．”[3]

另外，按照后一解讀，又可提出這樣一個(gè)問(wèn)題：數(shù)學(xué)教育是否真有必要專門引入“幫助學(xué)生獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”這樣一個(gè)目標(biāo)，還是可以將此直接歸屬于“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”？

第二，對(duì)于數(shù)學(xué)教育中的所說(shuō)的“活動(dòng)”是否應(yīng)與真正的數(shù)學(xué)（研究）活動(dòng)加以明確區(qū)分？

以下論述可以被看成對(duì)此提供了具體的解答：“‘?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)’……是數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)組成部分．教師的課堂講授、學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)，是最主要的‘?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)’．”[9]但是，按照這樣的解讀，所謂的“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”與一般意義上的“學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)”就不再有任何區(qū)別，那么，為什么要專門地引入“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”這樣一個(gè)教育目標(biāo)呢？

更為一般地說(shuō)，究竟什么是數(shù)學(xué)教育中所謂的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的基本內(nèi)涵與主要特征？

第三，是否應(yīng)當(dāng)特別強(qiáng)調(diào)對(duì)于活動(dòng)的直接參與，還是應(yīng)當(dāng)將“間接參與”也包括在內(nèi)？（如果突出“經(jīng)驗(yàn)”這樣一個(gè)字眼，這就是指，在此所指的究竟是“直接經(jīng)驗(yàn)”、還是應(yīng)當(dāng)同時(shí)包括所謂的“間接經(jīng)驗(yàn)”？）

顯然，當(dāng)前的主流觀點(diǎn)認(rèn)為應(yīng)當(dāng)將“間接參與”也包括在內(nèi)；但是，按照這樣的理解，“過(guò)程性目標(biāo)”的實(shí)現(xiàn)無(wú)疑就將大打折扣，或者說(shuō)，這將成為這方面教學(xué)工作所面臨的一個(gè)重大挑戰(zhàn)，即如何能夠幫助學(xué)生通過(guò)“間接參與”獲得以“感受”、“經(jīng)歷”和“體驗(yàn)”等為主要特征的“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”？

第四，由于（感性）經(jīng)驗(yàn)具有明顯的局限性，因此，應(yīng)認(rèn)真地去思考：在強(qiáng)調(diào)幫助學(xué)生獲得“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的同時(shí)，教學(xué)中是否也應(yīng)清楚地指明經(jīng)驗(yàn)的局限性，從而幫助學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)超越經(jīng)驗(yàn)的必要性？當(dāng)然，如果將思維活動(dòng)也包括在內(nèi)，就應(yīng)進(jìn)一步去思考數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是否也有其一定的局限性？

由于“經(jīng)驗(yàn)的局限性”事實(shí)上已經(jīng)成為一種“常識(shí)”：“我想，我們是否應(yīng)更多地思考如何‘對(duì)經(jīng)驗(yàn)的改造’，將經(jīng)驗(yàn)改造為科學(xué)，而不是成為孩子們創(chuàng)新思維的絆腳石”，在當(dāng)前就應(yīng)注意防止這樣一種傾向，即由于盲目追隨時(shí)髦而造成“常識(shí)的迷失”．

第五，是否應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)關(guān)于“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”與“一般活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的區(qū)分，這究竟是一種絕對(duì)的區(qū)分，還是只具有相對(duì)的意義？什么是這兩者的具體涵義？

由以下的“平民解讀”或許就可獲得這方面的直接啟示：“簡(jiǎn)單地說(shuō)，‘基本’是相對(duì)的，如我們上樓梯，當(dāng)你上到第二層時(shí)，第一層是基本的；你上到第二層，想上第三層時(shí)，這第二層便變成基本的了．”[13]

進(jìn)而，正如先前關(guān)于“數(shù)學(xué)思想”的分析，研究者在此顯然也面臨著“清楚界定”與“合理定位”這樣一個(gè)任務(wù)．

第六，更為重要的是，數(shù)學(xué)教育為什么應(yīng)當(dāng)特別重視“幫助學(xué)生獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，乃至將此列為數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一？

作為上述問(wèn)題的具體解答，顯然應(yīng)當(dāng)提到以下的觀點(diǎn)：“教學(xué)不僅要教給學(xué)生知識(shí)，更要幫助學(xué)生形成智慧．知識(shí)的主要載體是書(shū)本，智慧則形成于經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中，形成于經(jīng)歷的活動(dòng)中”；從而，為了幫助學(xué)生形成智慧，就應(yīng)更加重視過(guò)程，更加重視學(xué)生對(duì)于活動(dòng)的直接參與[12]．

但是，這里應(yīng)更為深入地思考：數(shù)學(xué)教學(xué)中希望學(xué)生形成的究竟是一種什么樣的智慧，是簡(jiǎn)單的經(jīng)驗(yàn)積累，還是別的什么智慧？

在此還可通過(guò)“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的簡(jiǎn)單比較來(lái)進(jìn)行分析，這就是指，數(shù)學(xué)的“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是否與“數(shù)學(xué)思想”一樣具有超出數(shù)學(xué)本身的普遍意義，從而即使對(duì)于大多數(shù)將來(lái)未必會(huì)從事任何與數(shù)學(xué)直接相關(guān)工作的學(xué)生仍可起到積極的作用？容易想到，這事實(shí)上也正是任一諸如“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)”這樣的主張所應(yīng)認(rèn)真思考的問(wèn)題．

當(dāng)然，與純粹的理論分析相比較，研究者在此也應(yīng)更加重視“理論的實(shí)踐性解讀”，包括通過(guò)積極的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)與反思對(duì)相關(guān)理論作出必要的檢驗(yàn)與改進(jìn)．

另外，就認(rèn)識(shí)的不斷深入而言，又應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)“教學(xué)實(shí)踐的理論性反思”，這也就是指，研究者應(yīng)當(dāng)努力超越各個(gè)具體的教學(xué)活動(dòng)，并從更為一般的角度去進(jìn)行總結(jié)與反思．即如揭示出具有較大普遍性的問(wèn)題，引出具有較大普遍意義的結(jié)論，等等．

以下就是這方面的一個(gè)實(shí)例，即是“關(guān)于獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的3點(diǎn)認(rèn)識(shí)”：

（1）經(jīng)驗(yàn)在經(jīng)歷中獲得．

（2）經(jīng)歷了≠獲得了．

（3）經(jīng)驗(yàn)，并非總是親歷所得[14]．

從“教學(xué)實(shí)踐的理論性反思”這一角度去分析，應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣兩點(diǎn)：

（1）教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生有所收獲，更應(yīng)注意分析學(xué)生所獲得的究竟是什么．

因?yàn)?，這正是這方面不應(yīng)被忽視的一個(gè)事實(shí)：人們經(jīng)由（數(shù)學(xué)）活動(dòng)所獲得的未必是數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也可能與數(shù)學(xué)完全無(wú)關(guān)．

以下就是國(guó)際上相關(guān)研究的一個(gè)直接結(jié)論：兒童完全可能“通過(guò)操作對(duì)概念進(jìn)行運(yùn)算，但卻不知道自己在做什么”；這也就是指，盡管“旁觀者確實(shí)可以將它解釋為數(shù)學(xué)，因?yàn)樗煜?shù)學(xué)，也了解實(shí)驗(yàn)過(guò)程中兒童的活動(dòng)是什么意思，可是兒童并不知道．”[15]

由此可見(jiàn)，不應(yīng)唯一地強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)于活動(dòng)的參與，而應(yīng)更加重視對(duì)這些活動(dòng)教學(xué)涵義的分析．也即應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度深入分析這些活動(dòng)的教學(xué)意義，并通過(guò)自己的教學(xué)使學(xué)生也能十分清楚和明白．

（2）如何促進(jìn)學(xué)生由“經(jīng)歷”向“獲得”的重要轉(zhuǎn)化．

更為一般地說(shuō)，這顯然也關(guān)系到這樣一個(gè)問(wèn)題，即是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不應(yīng)“為動(dòng)手而動(dòng)手”，而應(yīng)更加重視對(duì)于操作層面的必要超越，努力實(shí)現(xiàn)“活動(dòng)的內(nèi)化”．

但是，究竟什么是這里所說(shuō)的“活動(dòng)的內(nèi)化”的具體涵義呢？

對(duì)于自己所提出的這一概念，瑞士著名心理學(xué)家、哲學(xué)家皮亞杰曾作過(guò)這樣的解釋：這主要是指這樣一種思維活動(dòng)，即是辨識(shí)出“動(dòng)作的可以予以一般化的特征”．由此可見(jiàn)，“活動(dòng)的內(nèi)化”事實(shí)上就是一種建構(gòu)的活動(dòng)，也即如何能由具體的活動(dòng)抽象出相應(yīng)的模式（圖式化）．

從而，數(shù)學(xué)教學(xué)所應(yīng)主要關(guān)注的就并非活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單積累，而應(yīng)更加重視如何能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的思維發(fā)展，后者又不可能通過(guò)反復(fù)的實(shí)踐簡(jiǎn)單地得以實(shí)現(xiàn)（“熟能生巧”），而主要是一種反思性的活動(dòng)，也即是以已有的東西（活動(dòng)或運(yùn)演）作為直接的對(duì)象，并就主要表現(xiàn)為由較低層次向更高層次的發(fā)展．（也正是在這樣的意義上，才可談及數(shù)學(xué)抽象與一般自然科學(xué)中的抽象活動(dòng)的重要區(qū)別，并稱之為“自反抽象”．）

依據(jù)上面的分析，可以很好地理解以下一些論述：“只要兒童沒(méi)能對(duì)自己的活動(dòng)進(jìn)行反思，他就達(dá)不到高一級(jí)的層次．”[15]又，“數(shù)學(xué)化一個(gè)重要的方面就是反思自己的活動(dòng)．從而促使改變看問(wèn)題的角度．”“數(shù)學(xué)化和反思是互相緊密聯(lián)系的．事實(shí)上我認(rèn)為反思存在于數(shù)學(xué)化的各個(gè)方面．”[16]

綜上可見(jiàn)，從數(shù)學(xué)教育的角度看，“智慧的教育”決不應(yīng)被理解成經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單積累，而應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維由較低層次向更高層次的發(fā)展，也即應(yīng)當(dāng)明確肯定“數(shù)學(xué)智慧”的反思性質(zhì)．

4 關(guān)于“核心概念”的若干思考

就“新課標(biāo)”中所提到的10個(gè)“核心概念”（數(shù)感；符號(hào)意識(shí)；空間觀念；幾何直觀；數(shù)據(jù)分析觀念；運(yùn)算能力；推理能力；模型思想；應(yīng)用意識(shí)；創(chuàng)新意識(shí)）而言，應(yīng)當(dāng)說(shuō)也存在一些明顯的問(wèn)題：

第一，這些概念明顯地不屬于同一層次．“的確，這些核心概念的分類，還沒(méi)有非常嚴(yán)格的嚴(yán)謹(jǐn)性在里面……也許我們數(shù)學(xué)教育的研究基礎(chǔ)還不足以作一個(gè)很好的分類．”[4]

第二，詞語(yǔ)的意義有待于說(shuō)明或澄清，特別是，究竟應(yīng)當(dāng)如何去理解“感（悟）”、“意識(shí)”、“觀念”、“直觀”、“能力”、“思想”等詞語(yǔ)的意義與區(qū)別？

例如，為了表述上的一致性，能否將“模型思想”改為“建模能力”，或是將“推理能力”改為“推理思想”？

第三，這10個(gè)概念不能被看成已經(jīng)很好地覆蓋了基礎(chǔ)教育各個(gè)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容．

例如，與所謂的“數(shù)學(xué)基本思想”相對(duì)應(yīng)，除去“推理能力”和“模型思想”以外，是否還應(yīng)增加“抽象能力”這樣一個(gè)“核心概念”？另外，由于“策略思想”對(duì)于數(shù)學(xué)顯然也具有特別的重要性，是否又應(yīng)增加“策略思想”這樣一個(gè)核心概念？

第四，更為重要的是，又應(yīng)如何去把握基礎(chǔ)教育各個(gè)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容？

作為上述問(wèn)題的具體分析，在此特別提及國(guó)際上的一項(xiàng)研究成果[17]：這正是世界范圍內(nèi)以“課程標(biāo)準(zhǔn)”為主要特征的新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)共同特征，即是普遍地采用了平行地列舉出數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)的各項(xiàng)“標(biāo)準(zhǔn)”這樣一種表述方式（可稱為“條目并列式”），從而也就與傳統(tǒng)的“學(xué)科核心式”構(gòu)成了鮮明對(duì)照；然而，這又正是“條目并列式”的一個(gè)主要不足，即是不利于人們較好地掌握各個(gè)學(xué)段的主要教學(xué)內(nèi)容．

另外，美國(guó)“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”歷史演變過(guò)程的具體考察表明：“不穩(wěn)定、不連貫、不統(tǒng)一正是‘條目并列式’最為明顯的特征”，從而也就無(wú)可避免地對(duì)實(shí)際教學(xué)產(chǎn)生了嚴(yán)重的消極影響．顯然，這也為教育工作者在這方面的具體工作敲響了警鐘，即是應(yīng)當(dāng)切實(shí)防止工作中的隨意性．

那么，“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中究竟為什么要引入所謂的“核心概念”呢？以下就是一些相關(guān)的論述：

“核心概念的設(shè)計(jì)與課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)、課程內(nèi)容實(shí)質(zhì)的理解以及教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)的把握有密切關(guān)系．”又，“核心概念提出的目標(biāo)之一，就是在具體的課程內(nèi)容與課程的總體目標(biāo)之間建立起聯(lián)系．通過(guò)把握這些核心概念，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)．”“數(shù)學(xué)內(nèi)容的4個(gè)方面都以10個(gè)核心概念中的一個(gè)或幾個(gè)為統(tǒng)領(lǐng)，學(xué)生對(duì)這些核心概念的體驗(yàn)與把握，是對(duì)這些內(nèi)容的真正理解和掌握的標(biāo)志．”[18]

但是，在此仍然存在這樣一個(gè)問(wèn)題，即，究竟應(yīng)當(dāng)如何去把握基礎(chǔ)教育各個(gè)學(xué)段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容？

另外，就如以上關(guān)于“數(shù)學(xué)基本思想”和“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的分析，就“核心概念”的學(xué)習(xí)與貫徹而言，也應(yīng)特別重視“理論的實(shí)踐性解讀”與“實(shí)踐的理論性反思”．以下就圍繞“數(shù)感”與“符號(hào)意識(shí)”、并主要針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作出具體分析．

（1）“數(shù)感”與學(xué)生“數(shù)感”的發(fā)展．

“新課標(biāo)”中關(guān)于“數(shù)感”的論述是：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟．建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系．”

在此特別強(qiáng)調(diào)這樣兩點(diǎn)：

① 數(shù)感有一個(gè)后天的發(fā)展過(guò)程．

具體地說(shuō)，盡管人們?cè)谶@方面有一定的先天能力，但后者又有明顯的局限性，其發(fā)展則主要依靠后天的學(xué)習(xí)，并可依據(jù)“從無(wú)到有、從粗糙到精確”、“由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由單一到多元”這樣的認(rèn)識(shí)去把握這一過(guò)程．

例如，就“數(shù)與數(shù)量”而言，首先就涉及到了數(shù)的概念的不斷擴(kuò)展，特別是小數(shù)和分?jǐn)?shù)的引入．另外，就每種數(shù)的認(rèn)識(shí)而言，又都涉及到了適當(dāng)?shù)男睦肀碚鞯慕?gòu)，即，不僅應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生通過(guò)數(shù)數(shù)去認(rèn)識(shí)各個(gè)具體的自然數(shù)，也應(yīng)通過(guò)記數(shù)法的學(xué)習(xí)使學(xué)生有可能“接觸”到現(xiàn)實(shí)生活中很難直接遇及的各種“大數(shù)”，直至初步認(rèn)識(shí)數(shù)的無(wú)限性，還應(yīng)通過(guò)引入直觀表示幫助學(xué)生建立概念的視覺(jué)形象，從而發(fā)展起更為豐富的心理表征[19]．

再例如，“數(shù)量關(guān)系”顯然也具有多樣性的特征，包括運(yùn)算的多樣性以及相等與不相等的關(guān)系等；另外，就各種運(yùn)算的具體實(shí)施而言，顯然又都有一個(gè)不斷優(yōu)化的過(guò)程．例如對(duì)于“單位數(shù)的加法”就可區(qū)分出3種不同的水平，反映了主體對(duì)于數(shù)量關(guān)系認(rèn)識(shí)的不斷擴(kuò)展與深化．

② 在教學(xué)中并應(yīng)十分重視與“數(shù)感”直接相關(guān)的“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”的培養(yǎng)．

例如，這顯然就可被看成后者的一個(gè)基本涵義，即是對(duì)于事物數(shù)量方面的敏感性，特別是，樂(lè)于計(jì)算，樂(lè)于從事數(shù)量分析，而不是對(duì)此感到恐懼，甚至更以“數(shù)盲”感到自豪．

進(jìn)而，作為“理論性反思”，又應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)由素樸的情感（感悟）向更為自覺(jué)的認(rèn)識(shí)的過(guò)渡，后者即是指，人們應(yīng)當(dāng)超出單純的工具觀念、并從整體性文化的視角更為深入地認(rèn)識(shí)數(shù)量分析的意義．

事實(shí)上，這正是中西方文化的一個(gè)重要差異．西方文化在很大程度上可以被看成一種“數(shù)學(xué)文化”，對(duì)此例如由所謂的“畢達(dá)哥拉斯—柏拉圖傳統(tǒng)”就可清楚地看出．即是認(rèn)為數(shù)量關(guān)系構(gòu)成了一切事物和現(xiàn)象的本質(zhì)，西方并因此形成了“由定量到定性”的研究傳統(tǒng)，后者又正是導(dǎo)致現(xiàn)代意義上的自然科學(xué)在西方形成的一個(gè)重要原因．與此相對(duì)照，由于“儒家文化”的主導(dǎo)地位，中國(guó)的文化傳統(tǒng)卻始終未能清楚地認(rèn)識(shí)并充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價(jià)值．

由此可見(jiàn)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價(jià)值應(yīng)當(dāng)成為中國(guó)數(shù)學(xué)教師自覺(jué)承擔(dān)的一項(xiàng)重要社會(huì)責(zé)任．

（2）“符號(hào)意識(shí)”與代數(shù)思想．

就“符號(hào)意識(shí)”而言，特別強(qiáng)調(diào)這樣幾點(diǎn)：

① 與“數(shù)感”一樣，“符號(hào)意識(shí)”也有一個(gè)后天的發(fā)展過(guò)程；又由于符號(hào)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用顯然已經(jīng)超出了單純感悟的范圍，也即主要表現(xiàn)為自覺(jué)的認(rèn)識(shí)，因此，“新課標(biāo)”中將原來(lái)的“符號(hào)感”改成“符號(hào)意識(shí)”就是較為合理的．（也應(yīng)從同一角度去理解“代數(shù)思想”這一術(shù)語(yǔ)的使用，即是表明主體的自覺(jué)程度有了更大的提高．）

② 盡管小學(xué)數(shù)學(xué)已經(jīng)包含有多種不同的符號(hào)，如數(shù)字符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)等，但又只有聯(lián)系“代數(shù)思想”去進(jìn)行分析思考，才能更好地理解與把握“符號(hào)意識(shí)”的內(nèi)涵與作用，包括如何能在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中很好地滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，不僅真正做到居高臨下，也能很好體現(xiàn)教學(xué)的整體性．

具體地說(shuō)，文字符號(hào)的引入顯然是區(qū)分小學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要標(biāo)志，而其主要功能之一就在于為數(shù)學(xué)抽象提供了必要的工具．后者事實(shí)上也正是代數(shù)思想的一個(gè)基本內(nèi)涵——“代數(shù)即概括”[20]．

當(dāng)然，由小學(xué)數(shù)學(xué)向中學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)渡還表現(xiàn)于方程方法的學(xué)習(xí)．但是，究竟什么是方程方法與算術(shù)方法的主要區(qū)別，特別是，這是否就是指用字母表示（未知）數(shù)？

盡管用字母表示（未知）數(shù)，的確可被看成利用方程解決問(wèn)題的必要前提，但著眼點(diǎn)的變化又應(yīng)被看成由算術(shù)方法向方程方法過(guò)渡的真正要點(diǎn)．也即，將著眼點(diǎn)由唯一集中于如何求取未知數(shù)和具體的運(yùn)算過(guò)程轉(zhuǎn)移到等量關(guān)系的分析．進(jìn)而，由于在代數(shù)中已將方程的求解歸結(jié)到相應(yīng)算法的直接應(yīng)用，從而就不再需要任何特殊的技巧或方法，這樣，解題的過(guò)程也就被極大地簡(jiǎn)化了．因此可以斷言：“等價(jià)是代數(shù)中的一個(gè)核心觀念．”[20]

另外，還應(yīng)指出的是，算法的應(yīng)用十分清楚地表明了數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)：與“縮寫(xiě)意義上的符號(hào)”不同，這主要應(yīng)被看成“操作意義上的符號(hào)”．

例如，基于這樣的思考，韋達(dá)常常被說(shuō)成代數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者．因?yàn)?，盡管早在古希臘時(shí)代人們就已開(kāi)始用字母代表數(shù)量，但韋達(dá)在歷史上首先提出了這樣一個(gè)思想（他稱為“逼真算法”）：可以用字母表示已知量和未知量，并對(duì)此進(jìn)行純形式的操作．

容易想到，符號(hào)性質(zhì)的上述變化事實(shí)上也可被看成一個(gè)“客體化”的過(guò)程，這也就是指，在此已不再唯一地關(guān)注符號(hào)的指稱意義，而是將此看成直接的對(duì)象．當(dāng)然，從發(fā)展的角度看，又應(yīng)當(dāng)提及“符號(hào)意識(shí)”的進(jìn)一步變化，即是將字母看成變量．這樣，“代數(shù)不僅僅成為關(guān)于方程和解方程的研究，也逐步發(fā)展成涵蓋函數(shù)（及其表征形式）和變換的研究”[20]．

綜上可見(jiàn)，只有聯(lián)系代數(shù)思想（概括的思想，等價(jià)的思想與算法的思想）進(jìn)行分析，才能更好地理解“符號(hào)意識(shí)”的具體內(nèi)涵．當(dāng)然，這正是教學(xué)工作創(chuàng)造性質(zhì)的一個(gè)重要表現(xiàn)，即，如何能夠很好地把握適當(dāng)?shù)摹岸取?，既能做到“居高臨下”，也即很好地滲透更高層次的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也能符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平．

③ 對(duì)于“符號(hào)意識(shí)”，也應(yīng)聯(lián)系“三維目標(biāo)”進(jìn)行分析理解．

具體地說(shuō)，由于“符號(hào)意識(shí)”的形成主要是一個(gè)后天的發(fā)展過(guò)程，因此，從“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”的角度看，在教學(xué)中就應(yīng)積極促成這樣一種變化，即，幫助學(xué)生由對(duì)于符號(hào)的陌生感、排斥感逐步轉(zhuǎn)變成為認(rèn)同感、親切感，并樂(lè)于加以應(yīng)用．

進(jìn)而，這又是一般的語(yǔ)言學(xué)習(xí)、特別是外語(yǔ)學(xué)習(xí)給予教育工作者的一個(gè)重要啟示：學(xué)習(xí)一種語(yǔ)言就是進(jìn)入了一種新的文化．顯然，符號(hào)語(yǔ)言在這方面也有其一定的特殊性，從而就為進(jìn)一步改進(jìn)教學(xué)指明了新的努力方向，即，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)超越直接經(jīng)驗(yàn)的重要性，樂(lè)于與抽象事物打交道，并能不斷提高思維的精確性與簡(jiǎn)單性……

綜上可見(jiàn)，就“課程標(biāo)準(zhǔn)”的學(xué)習(xí)和貫徹而言，應(yīng)當(dāng)大力提倡“理論的實(shí)踐性解讀”與“教學(xué)實(shí)踐的理論性反思”，從而不僅能進(jìn)一步改進(jìn)教學(xué)，也能切實(shí)提高自己的專業(yè)水準(zhǔn)，包括促進(jìn)“課程標(biāo)準(zhǔn)”的進(jìn)一步修改與完善．

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