岳寶霞，馮 虹

（1．天津師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，天津 300387；2．天津師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

1 前 言

1980年全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCIM）在一份文件中提出了“必須把問題解決作為20世紀(jì)80年代中學(xué)數(shù)學(xué)的核心”的口號(hào)，并且主張“在解決問題方面的成績?nèi)绾危瑢⑹呛饬繑?shù)學(xué)教育成效的有效標(biāo)準(zhǔn)．”[1]至此，問題解決似乎成了國際數(shù)學(xué)教育界的一大趨勢(shì)．以往人們對(duì)解題過程的研究常用出聲思維或?qū)懗鼋忸}過程的方法，這些方法均有其局限性．因?yàn)樵诮忸}過程中，若不打斷解題者思路，他們就無法報(bào)告出那些沒有達(dá)到意識(shí)水平的推理．而解題過程中解題者的眼動(dòng)特征可以給研究者提供一個(gè)探查其心理活動(dòng)的窗口[2]．最初，研究者主要是用肉眼或借助簡單儀器進(jìn)行觀察．后來，使用了專門的眼動(dòng)記錄儀來進(jìn)行解題過程的研究．現(xiàn)在，眼動(dòng)儀可以與計(jì)算機(jī)聯(lián)機(jī)使用，從而使眼動(dòng)研究技術(shù)向前邁出了重要而關(guān)鍵的一步．美國著名眼動(dòng)研究專家Keith Rayner（2004）指出，眼動(dòng)研究的領(lǐng)域?qū)⒃絹碓綄拸V，其中就包括了眼動(dòng)分析法在問題解決研究中的應(yīng)用[3]．

2 眼動(dòng)分析法介紹

早在19世紀(jì)就有人通過考察人的眼球運(yùn)動(dòng)來研究人的心理活動(dòng)．如何準(zhǔn)確地記錄人的眼球運(yùn)動(dòng)，這是眼動(dòng)研究至關(guān)重要的問題．國外在20世紀(jì)初就已經(jīng)開始研制角膜和瞳孔的反光法原理．眼動(dòng)記錄法主要是在被試閱讀時(shí)，通過使用眼動(dòng)儀記錄他們閱讀過程中的眼動(dòng)軌跡，同時(shí)獲得閱讀時(shí)的許多重要數(shù)據(jù)，如：注視位置、注視時(shí)間、注視次數(shù)、回視、眼跳等．有人[4]認(rèn)為，研究閱讀的最好方法之一就是在讀者閱讀時(shí)記錄其眼動(dòng)．與其他方法相比，眼動(dòng)測(cè)量為研究閱讀提供了一種相對(duì)自然的即時(shí)測(cè)量方法，特別是在解釋閱讀中的即時(shí)加工問題上更是卓然超群．解題過程也離不開閱讀，對(duì)關(guān)鍵詞語的加工，形成問題表征等都可以通過眼動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析．

相比閱讀而言，數(shù)學(xué)解題過程更加復(fù)雜，它是一個(gè)從題目初始狀態(tài)到最終狀態(tài)轉(zhuǎn)化的動(dòng)態(tài)過程，這種轉(zhuǎn)化的解題能力源于對(duì)基礎(chǔ)理論與基本方法的運(yùn)用．體現(xiàn)在程序上則是首先進(jìn)行題目表征和模式識(shí)別，其次選擇或制定合適的解題策略，得出有效答案，每一階段都會(huì)有對(duì)表征及策略選擇的反思及調(diào)控．目前，應(yīng)用眼動(dòng)分析法對(duì)數(shù)學(xué)解題過程進(jìn)行研究的內(nèi)容主要集中在學(xué)習(xí)者所使用的表征策略、達(dá)到的表征水平與解題效果的相關(guān)性等．

3 眼動(dòng)分析法在數(shù)學(xué)解題研究中的應(yīng)用

20世紀(jì)60年代，心理學(xué)家開始使用眼動(dòng)分析法對(duì)數(shù)學(xué)解題進(jìn)行研究．最初的研究多集中在對(duì)數(shù)字運(yùn)算過程的分析，給出了關(guān)于注視持續(xù)時(shí)間的理論模型，但實(shí)驗(yàn)中使用的眼動(dòng)指標(biāo)較少，且沒有深入分析和探討被試解題過程中的認(rèn)知加工過程．這里將重點(diǎn)論述眼動(dòng)分析法在應(yīng)用題解題研究中的應(yīng)用．

當(dāng)前關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題的研究主要以認(rèn)知心理學(xué)為基礎(chǔ)，將解應(yīng)用題的過程視為問題解決過程．Mayer等（1984）將數(shù)學(xué)問題解決劃分為4個(gè)階段：問題轉(zhuǎn)譯，問題整合，形成計(jì)劃，執(zhí)行計(jì)劃[5]．現(xiàn)有的研究大多圍繞這4個(gè)階段展開．已有研究表明，學(xué)生解應(yīng)用題發(fā)生錯(cuò)誤不是在執(zhí)行計(jì)劃的過程中，而是因?yàn)閷?duì)應(yīng)用題形成了錯(cuò)誤的表征，進(jìn)而形成了錯(cuò)誤的解題計(jì)劃．因此，當(dāng)前對(duì)應(yīng)用題解題的研究，多集中在對(duì)問題表征的探討．眼動(dòng)分析法的作用也是在解題者對(duì)題目進(jìn)行語義加工、形成問題表征階段記錄一些眼動(dòng)指標(biāo)，進(jìn)行更加科學(xué)、更加精細(xì)的描述．

3.1 問題表征策略及表征類型的眼動(dòng)研究

解題者在問題表征階段表現(xiàn)出不同的問題表征層次和問題表征形式，其層次與形式的不同主要決定于解題者采用的不同問題表征策略，因此對(duì)表征策略的研究一直是數(shù)學(xué)問題解決研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問題．目前，對(duì)問題表征策略的研究更多地集中于小學(xué)數(shù)學(xué)加減應(yīng)用題．其中，一致與不一致應(yīng)用題（作為比較應(yīng)用題的一種分類方式）被作為眼動(dòng)實(shí)驗(yàn)材料廣泛地使用．

解題者解不一致應(yīng)用題時(shí)容易出現(xiàn)相反算法錯(cuò)誤，出現(xiàn)這種錯(cuò)誤主要是因?yàn)樗麄冨e(cuò)誤地理解題意（關(guān)系句表征錯(cuò)誤）．Hegarty等（1992，1995）分析了大學(xué)生解一致應(yīng)用題和不一致應(yīng)用題的不同過程，并分析被試在讀題和列式時(shí)的眼動(dòng)指標(biāo)，發(fā)現(xiàn)表征數(shù)學(xué)應(yīng)用題存在兩種策略：直譯策略（direct translation strategy）和問題模型策略（problem- model strategy）[6～7]．直譯策略是指解題者首先從題中選取數(shù)字，然后對(duì)數(shù)字和關(guān)系詞（如“比…多”）進(jìn)行加工，注重運(yùn)算過程．問題模型策略指解題者根據(jù)變量之間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)表征，并依此選定算法，注重理解問題中條件之間的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系．直譯策略往往是解題不成功者所選擇的方法，而解題成功者往往采用問題模型策略．Kintsch和Greeno（1985）研究認(rèn)為，問題理解只有單一的高層次的表征：即問題模型表征（problem model）[8]．解題者可通過創(chuàng)造一系列問題圖式表征不同的問題陳述，然后把這一系列圖式整合起來進(jìn)而理解問題．而Reusser等（1995）的研究發(fā)展了一個(gè)新模型，相比Kintsch和Greeno提出的單一水平表征而言，其包含了一個(gè)“非數(shù)學(xué)表征”：情境表征（situation model）[9]．Stephanie Moreau等（2003）的研究支持了Reusser的觀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)題目難度較大時(shí)，需要解題者對(duì)應(yīng)用題情境進(jìn)行更多地加工，建構(gòu)起“非數(shù)學(xué)表征”，即存在兩種表征水平：問題模型表征和情境表征[10]．張錦坤等（2006）通過加大題目的難度對(duì)大學(xué)生解算數(shù)應(yīng)用題的表征策略進(jìn)行了眼動(dòng)研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生使用了直譯策略和問題模型策略，同時(shí)解題正確率高者在解難度較大的題目時(shí)，傾向于對(duì)問題情境進(jìn)行加工[11]．馮虹（2005）對(duì)不同年級(jí)的學(xué)生解代數(shù)應(yīng)用題的表征策略進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)不同年級(jí)學(xué)生解代數(shù)應(yīng)用題時(shí)存在不同的眼動(dòng)模式，初二學(xué)生較多地使用直譯策略，而高二和大學(xué)二年級(jí)學(xué)生更多地使用問題模型策略[12]．

3.2 區(qū)分信息策略的眼動(dòng)研究

多余條件的呈現(xiàn)會(huì)增加解題的難度，解題者在解決應(yīng)用題時(shí)認(rèn)為區(qū)分相關(guān)和無關(guān)信息很困難[13]．盡管研究表明，呈現(xiàn)無關(guān)信息通常導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，但并沒有指出兒童區(qū)分信息形成有用表征的過程是怎樣的．有關(guān)認(rèn)知學(xué)習(xí)的研究認(rèn)為，學(xué)習(xí)者在解題的最初，通過檢查、分析語義特征，找出相關(guān)信息，然后進(jìn)行辨別、區(qū)分，將相關(guān)信息進(jìn)行整合．Littlefield和Rieser（2005）認(rèn)為，很多關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決的研究強(qiáng)調(diào)應(yīng)用題的內(nèi)在表征，卻很少關(guān)注解題者使用了怎樣的策略來區(qū)分有用的和無關(guān)的信息[14]．

Littlefield和Rieser對(duì)小學(xué)生解算數(shù)應(yīng)用題及大學(xué)生解代數(shù)應(yīng)用題分別做了相關(guān)研究[15～16]，認(rèn)為解題者通過閱讀題目（problem）和問題（question）將信息區(qū)分為不同的語義種類，如動(dòng)作（或行為）、測(cè)量的單位等．然后通過搜索信息使得它們與題目情境中呈現(xiàn)的問題的語義特征相匹配．不同的學(xué)生在解決不同題目時(shí)會(huì)使用不一樣的區(qū)分策略，即以下4種區(qū)分信息的語義學(xué)特征模型．（1）重讀策略（rereading）：通過重復(fù)地閱讀題目，將部分信息及語義特征貯存到工作記憶中，然后對(duì)信息進(jìn)行比較．因此被試的注視會(huì)經(jīng)常回到題目的起始部分，在找出無關(guān)數(shù)字之前，注視點(diǎn)在幾類語義特征中分布較均勻．找出無關(guān)信息后，注視點(diǎn)集中在相關(guān)聯(lián)的兩種語義特征上，或在重讀的過程中，將注視點(diǎn)由一種語義特征轉(zhuǎn)向另一種語義特征．（2）以特征為基礎(chǔ)策略（featurally-based）：在題目中尋找與問題中的語義相匹配的語義特征．因此注視點(diǎn)將主要在3類語義特征（事件或行為、人物及對(duì)象、測(cè)量的方法）之間循環(huán)，注視點(diǎn)將較多地集中在語義特征詞句、數(shù)字和問題之間．（3）問題—引導(dǎo)策略（question-guided）：解題者會(huì)首先看著問題，并經(jīng)常以問題中的語義詞語為指導(dǎo)，對(duì)數(shù)字信息進(jìn)行分析．因此注視點(diǎn)集中在問題興趣區(qū)，以及與問題所涉及的語義特征一致的內(nèi)容．（4）首次讀題策略（initial reading）：在首次讀題后就對(duì)語義類型進(jìn)行了區(qū)分，找出與問題語義特征高度相關(guān)的部分，然后在高相關(guān)語義特征與問題之間進(jìn)行匹配．因此被試的注視點(diǎn)集中在測(cè)量的方法（如單位）上，或集中在單位及相關(guān)的人物上．

對(duì)小學(xué)生區(qū)分有用與無用信息策略所做的研究發(fā)現(xiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)優(yōu)生傾向于使用特征分析策略，學(xué)困生則會(huì)根據(jù)一些表面的特征來區(qū)分有用與無用信息（如信息或數(shù)字所處的位置等），大多數(shù)學(xué)生會(huì)同時(shí)使用兩種策略．對(duì)小學(xué)階段學(xué)生的一個(gè)深入研究于2005年進(jìn)行，研究人員借助計(jì)算機(jī)對(duì)學(xué)生的視覺瀏覽模式進(jìn)行分析．將題目按不同的語義種類劃分為幾個(gè)模塊，記錄解題者注視每個(gè)模塊的順序及在某種信息上停留的時(shí)間．由此，對(duì)解題者所使用的信息區(qū)分策略進(jìn)行了更加精確的區(qū)分．例如，使用問題—引導(dǎo)策略的學(xué)生會(huì)首先看著問題，并在加工其它模塊內(nèi)容的同時(shí)經(jīng)?；氐健皢栴}”模塊．結(jié)論是：使用問題—引導(dǎo)策略與首次讀題策略的被試，區(qū)分信息及解題的正確率最高．對(duì)大學(xué)生解代數(shù)應(yīng)用題的研究結(jié)果顯示：每位被試都同時(shí)使用了兩種或兩種以上的區(qū)分策略．其中重讀題目策略使用率最高（占44%），問題—引導(dǎo)策略不常使用，首次讀題策略的使用率也不高（占18%），但使用該策略的被試正確率最高，解題時(shí)間最短．

4 幾點(diǎn)思考

4.1 眼動(dòng)分析法有利于促進(jìn)解題過程的研究更加接近純實(shí)證研究

對(duì)解題的內(nèi)在機(jī)制進(jìn)行研究，是學(xué)者們普遍達(dá)成的共識(shí)，但從研究方法上來看，較常使用的還是口語報(bào)告和事后提問兩種．學(xué)者們普遍認(rèn)為，已自動(dòng)化了的心理過程不容易進(jìn)行口語報(bào)告；而事后提問不能準(zhǔn)確地描述出被試解題的心理過程．眼動(dòng)儀的引入對(duì)教育心理學(xué)的研究具有重大意義．它通過對(duì)被試眼動(dòng)的精確追蹤，得到更加可靠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，使教育心理學(xué)更加接近純實(shí)證的研究，更加嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)．

4.2 應(yīng)加強(qiáng)對(duì)代數(shù)應(yīng)用題解題過程的眼動(dòng)研究

從算術(shù)到代數(shù)，是從具體數(shù)字到抽象符號(hào)的飛躍，掌握字母代替數(shù)的思想方法是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)之一．初中生從研究具體數(shù)字到學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)和未知元，會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知上的困難．曾有研究發(fā)現(xiàn)[17]，算術(shù)知識(shí)會(huì)阻礙成人對(duì)代數(shù)問題的解決，因?yàn)樵诮鉀Q算術(shù)問題的同時(shí)，一種針對(duì)等式的操作系統(tǒng)被激活，妨礙了代數(shù)問題解決的正確性．在解決代數(shù)應(yīng)用題時(shí)也會(huì)遇到意識(shí)及方法上的困難．中學(xué)教師普遍認(rèn)為，代數(shù)應(yīng)用題是中學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)[18～23]．目前對(duì)應(yīng)用題的眼動(dòng)研究多集中在算術(shù)應(yīng)用題范疇，如一步或兩步加減應(yīng)用題，一致與不一致應(yīng)用題等．對(duì)代數(shù)應(yīng)用題的相關(guān)研究較少，未來的研究應(yīng)把代數(shù)應(yīng)用題作為一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容．

4.3 考察數(shù)學(xué)成績優(yōu)生的眼動(dòng)模式有利于探索出培養(yǎng)學(xué)生解題的最佳訓(xùn)練策略

數(shù)學(xué)成績優(yōu)生與學(xué)困生最外顯的差異就是在解題能力上的差異．對(duì)優(yōu)生和學(xué)困生進(jìn)行對(duì)比研究可以幫助研究者發(fā)現(xiàn)問題．對(duì)不同年級(jí)優(yōu)生和學(xué)困生進(jìn)行對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)困生用于表征與正確解題相關(guān)的“關(guān)鍵信息”的時(shí)間顯著少于數(shù)學(xué)成績優(yōu)生，這種盲目搜索的解題方法既影響了他們對(duì)問題的表征層次，也影響了他們對(duì)解題策略的選擇．?dāng)?shù)學(xué)成績優(yōu)生在解難度較大的題目時(shí)傾向于對(duì)問題情境進(jìn)行加工．眼動(dòng)研究考察學(xué)生解題的眼動(dòng)指標(biāo)，排除了許多主觀因素的干擾，同時(shí)也為研究者提供了探查學(xué)生解題內(nèi)在認(rèn)知過程的基礎(chǔ)．學(xué)困生的眼動(dòng)模式幫助研究者找出解題失敗的原因，學(xué)優(yōu)生的相關(guān)數(shù)據(jù)便于研究者總結(jié)成功解題的策略．對(duì)比研究的結(jié)果是為教學(xué)提供參考和指導(dǎo)的重要內(nèi)容．

[1]路海東，韋雪艷．近年來國外數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決研究述評(píng)[J]．遼寧教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，（7）：62-63．

[2]馮虹，陰國恩．?dāng)?shù)學(xué)解題過程的眼動(dòng)特征[J]．心理與行為研究，2005，3（1）：61-64．

[3]Keith Rayner．Future Directions for Eye Movement Research [J]．心理與行為研究，2004，3（1）：63-64．

[4]閆國利．眼動(dòng)分析法在心理學(xué)研究中的應(yīng)用[M]．天津：天津教育出版社，2004．

[5]Mayer R E, Larkin J H, Kadane J B. A Cognitive Analysis of Mathematical Problem-solving Ability [A]. In: Sternberg R J. Advances in the Psychology of Human Intelligence [C]. Hillsdale, NJ: Erlbaum, 1984.

[6]Hegarty M, Mayer R E, Green C E. Comprehension of Arithmetic Word Problems: Evidence form Students’ Eye Fixations [J]. Journal of Educational Psychology, 1992, (84): 76-84.

[7]Hegarty M, Mayer R E, Christopher A M. Comprehension of Arithmetic Word Problems: A Comparison of Successful and Unsuccessful Problem Solvers [J]. Journal of Educational Psychology, 1995, 87 (1) : 18-32.

[8]Kinstch W, Greeno J G. Understanding and Solving Word Arithmetic Problems. Psychological Review, 1985, 92(1):109-129.

[9]Staub F C, Reusser K. The Role of Presentational Structures in Understanding and Solving Mathematical Word Problems [A]. In: Weaver C A, Mannes S, Fletcher C R. Discourse Comprehension [C]. Essays in Honor of Walter Kintsch, 1995.

[10]Stephanie Moreau, Daniele Coquin-Viennot. Comprehension of Arithmetic Word Problems by Fifth-grade Pupils:Representations and Selection of Information. Britishi Journal of Educational Psychology, 2003, (73): 109-121.

[11]張錦坤，沈德立，臧傳麗．算術(shù)應(yīng)用題表征策略的眼動(dòng)研究[J]．心理與行為研究，2006，4（3）：188-193．

[12]馮虹．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題問題表征與解題策略研究[D]．天津師范大學(xué)，2005，

[13]Low R, Over R. Gender Differences in Solution of Algebraic Word Problems Containing Irrelevant Information [J].Journal of Educational Psychology, 1993, (85): 331-339.

[14]Littlefield J, Riser J J. Finding the Critical Facts: Children’s Visual Scan Patterns When Solving Story Problems [J].Contain Irrelevant Information, 2005, (97): 224-234.

[15]Littlefield J, Riser J J. Semantic Features of Similarity and Children’s Strategies for Identification of Relevant Information in Mathematical Story Problems [J]. Cognition and Instruction, 1993, (11): 133-188.

[16]Littlefield J. College Students and Algebra Story Problems: Strategies for Identifying Relevant Information [Z]. 2005,6-9

[17]Nicole M McNeil, Bethany Rittle-Johnson, Shanta Hattikudur, et al. Continuity in Representation between Children and Adults: Arithmetic Knowledge Hinders Undergraduates’ Algebraic Problem Solving [J]. Journal of Cognition and Development, 2010, (11): 437.

[18]武錫環(huán)，連四清，宋宏偉．學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)和元認(rèn)知對(duì)解題策略的影響[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（1）：31-33．

[19]熊春連，王延文，王光明．?dāng)?shù)學(xué)優(yōu)秀生的學(xué)習(xí)心理特征[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（2）：42-45．

[20]朱一心，姚芳．?dāng)?shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)理論問題研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（3）：4-6．

[21]宋曉平，嚴(yán)碧友．論數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)動(dòng)力系統(tǒng)的特征[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（5）：18-22．

[22]潘小明．關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)及其培養(yǎng)的若干認(rèn)識(shí)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（5）：23-27．

[23]袁智斌．論數(shù)學(xué)教育教學(xué)的雙功能[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（3）：79-82．