廖運(yùn)章

（1.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006；2.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)廣東普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510006）

2009年10月6日，全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（National Council of Teachers of Mathematics，簡(jiǎn)稱NCTM）發(fā)布高中數(shù)學(xué)教育的最新指導(dǎo)文件《高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)：推理與意義建構(gòu)》（Focus in High School Mathematics: Reasoning and Sense Making，簡(jiǎn)稱FHSM），2009年10月15日、2010年4月9日與9月21日、2011年3月9日與10月6日先后出版與之配套的統(tǒng)計(jì)與概率卷、代數(shù)卷、幾何卷、培養(yǎng)全體學(xué)生的推理與意義建構(gòu)卷和技術(shù)支撐下的推理與意義建構(gòu)卷等系列報(bào)告，強(qiáng)調(diào)高中（9～12年級(jí)）數(shù)學(xué)教學(xué)必須把焦點(diǎn)落在數(shù)學(xué)推理與意義建構(gòu)上，為學(xué)生將來(lái)的大學(xué)學(xué)習(xí)、職場(chǎng)工作以及成為合格公民奠定廣泛而扎實(shí)的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備[1].這是NCTM 2006年9月12日發(fā)布《從幼兒園到八年級(jí)的數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)：尋求一致性》報(bào)告的后續(xù)，是對(duì)美國(guó)高中數(shù)學(xué)教育提出的新主張，勾勒出21世紀(jì)美國(guó)高中數(shù)學(xué)教育發(fā)展的方向，影響著2010年6月發(fā)布的美國(guó)首部《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》（Common Core State Standards for Mathematics，簡(jiǎn)稱CCSSM）的制定與實(shí)施[2～3].

闡釋美國(guó)高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)的產(chǎn)生背景、基本架構(gòu)與主要內(nèi)容，以期為中國(guó)高中數(shù)學(xué)新課程改革提供有益的借鑒.

1 美國(guó)高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)的產(chǎn)生背景與基本架構(gòu)

1.1 產(chǎn)生背景

眾所周知，美國(guó)長(zhǎng)期以來(lái)沒有全國(guó)統(tǒng)一的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，各州及學(xué)區(qū)根據(jù)美國(guó)聯(lián)邦政府“不讓一個(gè)孩子掉隊(duì)”（No Child Left Behind）等法案，相對(duì)獨(dú)立地制訂各自的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、設(shè)置各年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，其主要依據(jù)則是NCTM各個(gè)時(shí)期制定或頒布的學(xué)校數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)性文件，NCTM的指導(dǎo)雖非強(qiáng)制性但在全國(guó)有重要的影響力，是各州制定數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、設(shè)定學(xué)生學(xué)習(xí)要求的重要指南[4].

NCTM是一個(gè)大型的對(duì)美國(guó)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生重大影響的民間專業(yè)學(xué)術(shù)團(tuán)體，為美國(guó)數(shù)學(xué)教師提供前瞻性的專業(yè)指導(dǎo)，從20世紀(jì)80年代開始至今30年來(lái)，一直致力于全國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的研制[5].1980年出版的《行動(dòng)日程》（An Agenda for Action），制定了從幼兒園到12年級(jí)的數(shù)學(xué)計(jì)劃，將數(shù)學(xué)課程聚焦于數(shù)學(xué)問題解決；1989年，NCTM出臺(tái)美國(guó)有史以來(lái)第一個(gè)國(guó)家性《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics），提出為全體學(xué)生提供共同核心的數(shù)學(xué)課程，關(guān)注數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)與數(shù)學(xué)交流的過(guò)程；2000年，NCTM在對(duì)1989年標(biāo)準(zhǔn)修訂的基礎(chǔ)上公布《學(xué)校數(shù)學(xué)的原則與標(biāo)準(zhǔn)》（Principles and Standards for School Mathematics，簡(jiǎn)稱PSSM），把每學(xué)段標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一為5條數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)（數(shù)與運(yùn)算、代數(shù)、幾何、測(cè)量、數(shù)據(jù)分析與概率）和5條數(shù)學(xué)過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)（問題解決、推理與證明、交流、關(guān)聯(lián)、表征）；2006年的課程焦點(diǎn)，明確提出從幼兒園到八年級(jí)每學(xué)段學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)和掌握的最重要數(shù)學(xué)主題，每一學(xué)段都有3個(gè)包含于數(shù)與運(yùn)算、測(cè)量、代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)處理等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)，力求改變美國(guó)數(shù)學(xué)教育長(zhǎng)期存在的所謂“一英里寬，一英寸深”等泛而不精、對(duì)關(guān)鍵性數(shù)學(xué)內(nèi)容重視不夠的數(shù)學(xué)課程現(xiàn)狀，積極尋求一種“重點(diǎn)突出且內(nèi)容一致”的、能適用于美國(guó)各州各學(xué)區(qū)的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程，這份文件為幼兒園、小學(xué)、初中提供了清晰的數(shù)學(xué)課程指南，贏得美國(guó)數(shù)學(xué)界的廣泛好評(píng)，即便NCTM最嚴(yán)厲的批評(píng)者也對(duì)之表示肯定.

2006年的課程焦點(diǎn)發(fā)布后，人們希望高中數(shù)學(xué)課程也有一個(gè)類似幼兒園、小學(xué)與初中的數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)幼兒園至8年級(jí)與9～12年級(jí)數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)的前后銜接，同時(shí)為不同年級(jí)不同水平高中生提供高效的數(shù)學(xué)課程指導(dǎo).2007年1月，NCTM理事會(huì)成立一個(gè)由數(shù)學(xué)教育家、高中數(shù)學(xué)教師、教學(xué)管理者、數(shù)學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家等組成的寫作組，專項(xiàng)研究基于PSSM的9～12年級(jí)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)未來(lái)發(fā)展的指導(dǎo)性文件，其成果就是FHSM.

1.2 基本架構(gòu)

遵循NCTM傳統(tǒng)，F(xiàn)HSM由主報(bào)告《高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)：推理與意義建構(gòu)》、5個(gè)匹配的系列報(bào)告《代數(shù)中的推理與意義建構(gòu)》、《幾何中的推理與意義建構(gòu)》、《統(tǒng)計(jì)與概率中的推理與意義建構(gòu)》、《培養(yǎng)全體學(xué)生的推理與意義建構(gòu)》、《技術(shù)支撐下的推理與意義建構(gòu)》以及有關(guān)教師、學(xué)生、教學(xué)管理者、政策制定者、家長(zhǎng)指南等附件組成.

《高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)：推理與意義建構(gòu)》共129頁(yè)，主要內(nèi)容有：案例（22個(gè)）；NCTM課程計(jì)劃；第1編，推理與意義建構(gòu)的界定.（1）推理與意義建構(gòu)（什么是推理與意義建構(gòu)？為什么要強(qiáng)調(diào)推理與意義建構(gòu)？數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如何實(shí)施推理與意義建構(gòu)？結(jié)論）；（2）推理習(xí)慣（推理的發(fā)展、在課堂上發(fā)展推理習(xí)慣、作為數(shù)學(xué)能力基礎(chǔ)的推理、統(tǒng)計(jì)推理、數(shù)學(xué)建模、推理與意義建構(gòu)的技術(shù)支持、結(jié)論）.第2編，課程中的推理與意義建構(gòu).（3）全部課程的推理與意義建構(gòu)；（4）數(shù)與測(cè)量中的推理（答案的合理性與測(cè)量、逼近與誤差、數(shù)系、計(jì)數(shù)）；（5）代數(shù)符號(hào)中的推理（有意義地使用符號(hào)、細(xì)心演算、理性求解、代數(shù)與幾何的關(guān)聯(lián)、表達(dá)式與函數(shù)的連接）；（6）函數(shù)中的推理（函數(shù)的多重表征、用多種函數(shù)建模、參數(shù)的影響分析）；（7）幾何中的推理（幾何體的猜測(cè)、幾何命題的構(gòu)造與判斷、多種幾何方法、幾何聯(lián)系與建模）；（8）統(tǒng)計(jì)與概率中的推理（數(shù)據(jù)分析、建模變量、統(tǒng)計(jì)與概率的聯(lián)系、 統(tǒng)計(jì)研究設(shè)計(jì)的解釋）；第3編，高中數(shù)學(xué)綱要中的推理與意義建構(gòu).（9）公平（課程、學(xué)生人數(shù)和學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)、高期望、結(jié)論）；（10）一致連貫性（課程與教學(xué)、課程的連貫性、評(píng)估、結(jié)論）；（11）利益相關(guān)者的參與（學(xué)生、家長(zhǎng)、教師、教學(xué)管理者、政策制定者、高等教育者、課程設(shè)計(jì)者及其合作）等[6].

《代數(shù)中的推理與意義建構(gòu)》（Reasoning and Sense Making in Algebra）78頁(yè)，包括第1章代數(shù)與幾何，第2章構(gòu)建方程和函數(shù)，第3章形式代數(shù)；《幾何中的推理與意義建構(gòu)》（Reasoning and Sense Making in Geometry）115頁(yè)，由第1章全等和相似中的推理，第2章平面（二維）推理，第3章表面積和體積中的推理，第4章幾何建模中的推理組成；《統(tǒng)計(jì)與概率中的推理與意義建構(gòu)》（Reasoning and Sense Making in Statistics and Probability）117頁(yè)，分為第1章國(guó)家數(shù)據(jù)——看一些普查數(shù)據(jù)，第2章老信徒間歇泉的噴發(fā)——數(shù)據(jù)探索，第3章奧運(yùn)會(huì)上女比男跑得快？第4章星巴克（Starbucks）的客戶——觀測(cè)研究的設(shè)計(jì)和分析，第5章再背單詞——治療效果真實(shí)嗎？第6章軟飲料和心臟疾病——一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)研究的批判；《培養(yǎng)全體學(xué)生的推理與意義建構(gòu)》（Fostering Reasoning and Sense Making for All Students）119頁(yè)，主要由大學(xué)、科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)校專家撰寫的論文集，第1章成功的案例——通過(guò)推理與意義建構(gòu)改變學(xué)生的生活，第2章支持英語(yǔ)學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)推理與意義建構(gòu)，第3章對(duì)學(xué)困生多鼓勵(lì)少指責(zé)，第4章資優(yōu)生的公平問題，第5章創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)開啟數(shù)學(xué)推理與意義建構(gòu)的學(xué)習(xí)，第6章培養(yǎng)全體高中生推理與意義建構(gòu)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)團(tuán)體；《技術(shù)支撐下的推理與意義建構(gòu)》（Technology to Support Reasoning and Sense Making）122頁(yè)，第1章數(shù)、運(yùn)算與技術(shù)，第2章代數(shù)與技術(shù)——運(yùn)用技術(shù)理解符號(hào)、圖像并進(jìn)行一般化推理，第3章以技術(shù)為工具進(jìn)行幾何任務(wù)的推理，第4章運(yùn)用技術(shù)表征、分析和建立函數(shù)模型，第5章模擬是理解概率的一條途徑，第6章運(yùn)用技術(shù)對(duì)分布進(jìn)行推理——箱線圖、正態(tài)曲線與抽樣，第7章技術(shù)支撐下的數(shù)學(xué)教學(xué)；此外，每本書都設(shè)有一個(gè)附錄，為NCTM關(guān)于9～12年級(jí)的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和期望，分別是代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)分析與概率、數(shù)與運(yùn)算、測(cè)量、公平原則、技術(shù)原則等標(biāo)準(zhǔn)；因無(wú)系列報(bào)告專門論及數(shù)與測(cè)量中的推理與意義建構(gòu)，主要將之劃入《幾何中的推理與意義建構(gòu)》，其他書也有涉及.

不難發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)HSM在編寫目的與結(jié)構(gòu)上跟3年前幼兒園至8年級(jí)的數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)（NCTM 2006）有所不同.其一，高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)并不是一套課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，而是一個(gè)指導(dǎo)大綱，展示NCTM所認(rèn)為的必不可少的數(shù)學(xué)技能——推理與意義建構(gòu)如何通過(guò)高中數(shù)學(xué)得以培養(yǎng)；其二，高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)沒有按照年級(jí)而是根據(jù)重點(diǎn)內(nèi)容來(lái)編寫，部分原因是因?yàn)槊绹?guó)學(xué)生在高中階段選修的數(shù)學(xué)課程各不相同；其三，高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)通過(guò)發(fā)布配套的系列主題報(bào)告，詳細(xì)闡釋推理和意義建構(gòu)如何在學(xué)校數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域（如代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等）進(jìn)行展開，并在數(shù)學(xué)課堂上如何實(shí)現(xiàn)提供了大量案例；其四，為了讓高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)更加能夠被公眾接受，NCTM分別針對(duì)教師、學(xué)生、管理者、政策制定者及家長(zhǎng)等編寫專門的輔導(dǎo)材料；其五，高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)文件的發(fā)布，正值聯(lián)邦政府與各州政策制定者在推動(dòng)中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一化，順應(yīng)統(tǒng)一課程的大趨勢(shì).

美國(guó)是少數(shù)幾個(gè)還沒有全國(guó)統(tǒng)一課程標(biāo)準(zhǔn)的發(fā)達(dá)國(guó)家之一，聯(lián)邦政府只是宏觀管理學(xué)校課程，州政府與學(xué)區(qū)具體構(gòu)建學(xué)校課程的框架與標(biāo)準(zhǔn).為改變課程標(biāo)準(zhǔn)各州差異極大、各自為政的局面，2009年6月1日，全美州長(zhǎng)協(xié)會(huì)最佳實(shí)踐中心（the National Governors Association Center for Best Practices，NGA Center）和州首席教育官員理事會(huì)（the Council of Chief State School Officers，CCSSO）發(fā)起倡議，聯(lián)合美國(guó)51個(gè)州和特區(qū)，一起參與制定美國(guó)首部《州共同核心課程標(biāo)準(zhǔn)》（the Common Core State Standards），并于2010年6月2日頒布，要求全美學(xué)生在進(jìn)入大學(xué)之前，在每個(gè)年級(jí)的學(xué)習(xí)均接受相同的教育標(biāo)準(zhǔn)，為學(xué)生的大學(xué)學(xué)習(xí)與就業(yè)作準(zhǔn)備，標(biāo)志著各州將采用并實(shí)施全國(guó)統(tǒng)一課程標(biāo)準(zhǔn)的開始.不過(guò)，全國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)頒布后，是否實(shí)施仍然由各州自己決定，但根據(jù)各州簽署的協(xié)議備忘錄規(guī)定，各州的標(biāo)準(zhǔn)可以超越全國(guó)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的核心內(nèi)容，只要統(tǒng)一的核心內(nèi)容至少占到州標(biāo)準(zhǔn)的85%，并且在3年內(nèi)必須實(shí)施[7].目前，已有45個(gè)州和3個(gè)特區(qū)/領(lǐng)地宣布采用.《州共同核心課程標(biāo)準(zhǔn)》由CCSSM與《州共同核心英語(yǔ)語(yǔ)言藝術(shù)與歷史/社會(huì)、科學(xué)、技術(shù)學(xué)科中的讀寫標(biāo)準(zhǔn)》兩份文件組成，NCTM官員曾將FHSM的一份復(fù)印件呈交給CCSSM的起草者，NCTM又是受邀對(duì)CCSSM草案提建議的幾個(gè)機(jī)構(gòu)之一，比對(duì)易知FHSM與CCSSM在很多方面都是一致的，如二者都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)實(shí)踐、提倡數(shù)學(xué)建模，盡管描述所使用的語(yǔ)言有所不同，高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)對(duì)CCSSM的制定和實(shí)施之影響是顯而易見的.

2 推理和意義建構(gòu)是貫穿美國(guó)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主線

“從兒童早期到成年，推理與意義建構(gòu)都處在數(shù)學(xué)的核心位置.基于推理與意義建構(gòu)的高中數(shù)學(xué)課程將為學(xué)生將來(lái)的大學(xué)學(xué)習(xí)、職場(chǎng)工作與成為合格公民作準(zhǔn)備.”NCTM主席亨利·S·科普納（Henry S.Kepner Jr.）在FHSM文件的導(dǎo)言中，如此評(píng)價(jià)推理與意義建構(gòu)對(duì)美國(guó)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值與意義.

FHSM并不像數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)（NCTM 2006）界定特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容作為焦點(diǎn)，而是從新的視角，通過(guò)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程的重要意義以及有效的教學(xué)方法，將推理與意義建構(gòu)融入整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程與教學(xué)之中，使之成為高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的基本內(nèi)容，并通過(guò)大量案例著力解決“如何教”而不僅僅是“教什么”的問題，目的是使所有學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)推理和對(duì)數(shù)學(xué)的意義建構(gòu).

2.1 推理和意義建構(gòu)的基本觀點(diǎn)

2.1.1 推理和意義建構(gòu)的內(nèi)涵

推理是任何學(xué)科的重要組成部分，如在高中的文學(xué)課上，學(xué)生通常對(duì)他們所閱讀的書籍進(jìn)行分析、理解和批判性地思考，推理在數(shù)學(xué)里有其特殊的意義與作用.數(shù)學(xué)推理（reasoning）指根據(jù)證據(jù)或既有假定得出邏輯結(jié)論的過(guò)程；意義建構(gòu)（sense making）是對(duì)與既存知識(shí)或先前經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)的某一情境、背景或概念的理解.

推理和意義建構(gòu)緊密相連，是數(shù)學(xué)問題解決、推理與證明、交流、關(guān)聯(lián)與表征等數(shù)學(xué)過(guò)程的基礎(chǔ)，能幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)新知與舊知的聯(lián)系，增進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)新信息的理解與保持.推理和意義建構(gòu)是學(xué)生在新情境中運(yùn)用數(shù)學(xué)工具與方法解決問題的能力，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師向?qū)W生只講數(shù)學(xué)主題、讓學(xué)生僅知道怎樣施行數(shù)學(xué)演算步驟或重現(xiàn)知識(shí)是不夠的，學(xué)生必須學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)推理和意義建構(gòu)，發(fā)展關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思維技能，并以有意義的方式理解數(shù)學(xué)與運(yùn)用數(shù)學(xué)，確保其在數(shù)學(xué)和生活中獲得成功.

2.1.2 推理和意義建構(gòu)的基本原則

FHSM提出推理和意義建構(gòu)的兩項(xiàng)基本原則：一是貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課程的“推理習(xí)慣（reasoning habits）”，二是衍生于高中數(shù)學(xué)課程數(shù)與測(cè)量、代數(shù)符號(hào)、函數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等5個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域的“關(guān)鍵要素（key elements）”.主報(bào)告及系列主題報(bào)告提供若干實(shí)例，說(shuō)明這兩項(xiàng)基本原則是如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中予以實(shí)施的.

（1）推理習(xí)慣.推理習(xí)慣不是一個(gè)新增的數(shù)學(xué)內(nèi)容主題，而是完全融合在現(xiàn)存的數(shù)學(xué)課程中，以確保學(xué)生既能理解又能運(yùn)用他們所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能.推理習(xí)慣分為問題分析、提供策略、尋找與應(yīng)用關(guān)聯(lián)、解題反思4類：

①問題分析.例如：確定相關(guān)數(shù)學(xué)概念、步驟或表達(dá)，以揭示問題的重要信息并尋求其解法（例如，選擇一個(gè)模型去模擬一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)）；精心定義相關(guān)變量和條件，包括單位是否適當(dāng)；尋求模式和關(guān)系（例如，系統(tǒng)地審查事實(shí)或創(chuàng)造性地顯示數(shù)據(jù)）；尋找隱性結(jié)構(gòu)（例如，在幾何圖上畫輔助線，找出反映問題不同方面的等價(jià)表達(dá)式）；考慮特殊情形或簡(jiǎn)單模擬；應(yīng)用以前學(xué)過(guò)的概念處理問題，必要時(shí)進(jìn)行變形和推廣；作出初步推論和猜想，包括預(yù)測(cè)問題答案像什么或硬給出一個(gè)答案；判別統(tǒng)計(jì)方法是否適當(dāng).

②提供策略.例如：有目的地使用方法（步驟）；形成答案，包括計(jì)算、代數(shù)運(yùn)算與數(shù)據(jù)顯示；根據(jù)當(dāng)前進(jìn)展作出邏輯推論，證明猜想，延拓最初的發(fā)現(xiàn)；調(diào)節(jié)接近答案的進(jìn)程，包括回顧所選擇的策略和由自己或他人發(fā)現(xiàn)的其他可能策略.

③在不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域、不同背景和不同表達(dá)間尋找與應(yīng)用關(guān)聯(lián).

④解題反思.例如：解釋答案以及它是如何回答問題的，包括條件未確定情況下作出結(jié)論；考慮答案的合理性，包括任何數(shù)字是否反映了準(zhǔn)確性的一個(gè)不合理水平；回到關(guān)于答案本質(zhì)的假定，包括認(rèn)真對(duì)待特殊情形和無(wú)關(guān)的答案；證明或證實(shí)答案，包括證明和推理；為統(tǒng)計(jì)答案確定一個(gè)推理范圍；調(diào)整不同的解題方法，包括它們之間的相互推導(dǎo)；提煉結(jié)論，使交流更有效；尋求推廣問題的一般結(jié)論以及與其他問題的關(guān)聯(lián).

這些推理習(xí)慣并不限于一類，在解決問題和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考時(shí)，應(yīng)自然并靈活地進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.同時(shí)，推理習(xí)慣又可分為一般推理習(xí)慣與特殊推理習(xí)慣，以上敘述的即是一般推理習(xí)慣，特殊推理習(xí)慣因不同內(nèi)容領(lǐng)域或主題而定，以下就是一些特殊的統(tǒng)計(jì)推理習(xí)慣：

①問題分析——尋求模式和關(guān)系：描述數(shù)據(jù)中的所有模式，尋找數(shù)據(jù)中的隱性結(jié)構(gòu)；

②提供策略——調(diào)節(jié)進(jìn)程：根據(jù)模型評(píng)估觀察的一致性、用重復(fù)的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行調(diào)查，以評(píng)估所選擇的策略；

③尋找與應(yīng)用關(guān)聯(lián)——連接不同的表達(dá)：區(qū)分?jǐn)?shù)據(jù)分析的共有成分（如標(biāo)準(zhǔn)差）、理解數(shù)據(jù)分析不同成分的靈敏性、連接結(jié)論及其對(duì)背景的解釋；

④解題反思——檢測(cè)答案的合理性：判斷由數(shù)據(jù)得出的結(jié)論是否有理.

（2）關(guān)鍵要素.FHSM根據(jù)不同主題內(nèi)容確定一系列對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵要素，這些關(guān)鍵要素并非全部，只是窺視高中數(shù)學(xué)提升推理與意義建構(gòu)的一扇窗口.下面僅以代數(shù)推理的關(guān)鍵要素為例略作說(shuō)明——代數(shù)中的推理與意義建構(gòu)關(guān)鍵要素分為兩部分：用代數(shù)符號(hào)與函數(shù)進(jìn)行推理與意義建構(gòu).

用代數(shù)符號(hào)進(jìn)行推理與意義建構(gòu)的關(guān)鍵要素包括：

①有意義地使用符號(hào)——選擇變量，依據(jù)背景建立表達(dá)式與方程；解釋表達(dá)式與方程的形式；演算表達(dá)式，以便作出有意義的解釋.

②細(xì)心演算——把演算連接到算術(shù)律；預(yù)測(cè)演算的結(jié)果；依據(jù)背景有目的地選擇方法；描繪心算.

③理性求解——通過(guò)等價(jià)的邏輯推論查看解題步驟；依據(jù)背景解釋答案.

④代數(shù)與幾何的關(guān)聯(lián)——用代數(shù)方法表達(dá)幾何情境，用幾何方法表達(dá)代數(shù)情境；在問題解決中使用關(guān)聯(lián).

⑤表達(dá)式與函數(shù)的連接——用多種代數(shù)表達(dá)式理解函數(shù)；用函數(shù)符號(hào)解題.

用函數(shù)進(jìn)行推理與意義建構(gòu)的關(guān)鍵要素包括：

①函數(shù)的多重表征——用不同方式表示函數(shù)，包括列表的、圖像的、符號(hào)的（直接的和重復(fù)的）、視覺的、言語(yǔ)的；在問題解決情境中，采用一個(gè)最佳表達(dá)式；并在這些函數(shù)表達(dá)式間靈活轉(zhuǎn)換.

②用多種函數(shù)建?！貌煌瘮?shù)的特有性質(zhì)，為特殊背景的實(shí)際問題建立合理的數(shù)學(xué)模型.

③參數(shù)的影響分析——選用某類函數(shù)中的一個(gè)一般表達(dá)式（如二次函數(shù)的頂點(diǎn)形式f(x)=a(x-h)2+k），分析不同系數(shù)或其他參數(shù)的影響；根據(jù)問題解決的情境（如找二次函數(shù)的頂點(diǎn)或求其零點(diǎn)）需要，進(jìn)行不同函數(shù)形式間的轉(zhuǎn)換（如二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式與乘積形式）.

（3）推理和意義建構(gòu)的意義.為何及如何將推理和意義建構(gòu)作為高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)？FHSM認(rèn)為：

第一，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中施行推理和意義建構(gòu)，將為學(xué)生成為合格公民、工作以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.美國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)不盡如人意是人所共知的，日益增長(zhǎng)的全球化、技術(shù)化社會(huì)在科技、金融、保險(xiǎn)和健康計(jì)劃等方面對(duì)數(shù)學(xué)提出高要求，如互聯(lián)網(wǎng)上一份報(bào)告指出掌握數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)技術(shù)以分析處理大量數(shù)據(jù)的新工種爆炸性增長(zhǎng)，而數(shù)學(xué)推理和意義建構(gòu)能幫助學(xué)生應(yīng)對(duì)這些未來(lái)挑戰(zhàn).

第二，推理和意義建構(gòu)應(yīng)滲透到整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程，成為日常數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，讓所有高中生都應(yīng)經(jīng)歷數(shù)學(xué)推理和意義建構(gòu)的過(guò)程.推理和意義建構(gòu)是數(shù)學(xué)能力的內(nèi)在成分，形式推理通常在幾何中予以強(qiáng)化，學(xué)生很少在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域比如代數(shù)中經(jīng)歷推理，將推理和意義建構(gòu)滲入到數(shù)學(xué)課程的每個(gè)角落，能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體連貫性，引導(dǎo)其怎樣建立新概念與現(xiàn)存知識(shí)的聯(lián)系，不但不會(huì)增加教學(xué)負(fù)擔(dān)反而增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解與后繼學(xué)習(xí).

第三，數(shù)學(xué)推理和意義建構(gòu)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方式.研究顯示，理解數(shù)學(xué)為何可行的學(xué)生比只記住常規(guī)數(shù)學(xué)問題解法的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)理解更深、記得更久、更易掌握.因此，教師應(yīng)把推理和意義建構(gòu)落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂中，如提供有價(jià)值且令學(xué)生感興趣的任務(wù)或問題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、技能和推理，創(chuàng)造課堂環(huán)境使數(shù)學(xué)思維常規(guī)化，有目的地引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生推理和對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行意義建構(gòu)，反思教學(xué)實(shí)踐以確保推理和意義建構(gòu)成為數(shù)學(xué)課堂的焦點(diǎn)，等等，引導(dǎo)學(xué)生以自己的方式進(jìn)行推理和意義建構(gòu)，開展有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

2.2 高中數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域有效實(shí)施推理和意義建構(gòu)的方法

在數(shù)學(xué)課堂上如何教推理和意義建構(gòu)是FHSM的亮點(diǎn)，與以往美國(guó)高中有關(guān)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)及數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)（NCTM 2006）大多關(guān)注“教什么”而不解決“怎么教”的問題不同，F(xiàn)HSM從兩個(gè)維度詳細(xì)闡釋了推理和意義建構(gòu)“怎么教”的問題.

從主報(bào)告的視角，《高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)：推理與意義建構(gòu)》以“課程中的推理與意義建構(gòu)”為題，結(jié)合環(huán)游世界、燃料中的思維、關(guān)于π、模型思想、飛行中的馬蹄鐵、全部分發(fā)、尋找平衡、再平方、留心會(huì)談、模式平面和符號(hào)、攝入的藥量、金錢問題、潮波、影像、繞點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)、清掃大橋、頻率分配、有意義的詞（A、B）、有什么機(jī)會(huì)？（A、B）等22個(gè)案例，沿著關(guān)鍵要素與推理習(xí)慣的路線，對(duì)數(shù)與測(cè)量、代數(shù)符號(hào)、函數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率中的推理和意義建構(gòu)如何教學(xué)進(jìn)行詳盡剖析，并提供22個(gè)案例的實(shí)際操作使用程序（包括每個(gè)案例的要求——FHSM的關(guān)鍵要素與推理習(xí)慣、PSSM的過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)、CCSSM的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)學(xué)實(shí)踐，任務(wù)或問題，課堂使用方法，關(guān)注學(xué)生思維，評(píng)價(jià)，輔助材料或資源，學(xué)生活動(dòng)表等欄目），供課堂教學(xué)使用.特別是其中的課堂使用方法與關(guān)注學(xué)生思維欄目，預(yù)設(shè)了學(xué)生解決問題的種種常見思維模式以及應(yīng)對(duì)的教學(xué)處理方法，令人耳目一新.

從匹配的系列報(bào)告維度，代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率卷分別根據(jù)各自學(xué)科的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)陌咐⒅乩镁哂袑?shí)際背景的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，展示高中數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域有效實(shí)施推理和意義建構(gòu)的具體實(shí)施方法；同時(shí)，面向全體學(xué)生與合理運(yùn)用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)推理和意義建構(gòu).FHSM認(rèn)為，引導(dǎo)高中生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題開辟了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的新途徑，當(dāng)學(xué)生面臨一個(gè)實(shí)際情境時(shí)，傾向于探索問題的一系列解法、思考特殊方法的作用、尋找數(shù)學(xué)學(xué)科間的聯(lián)系，并運(yùn)用諸如調(diào)節(jié)進(jìn)程、解題反思等各種推理習(xí)慣.

2.3 為實(shí)現(xiàn)推理和意義建構(gòu)教學(xué)進(jìn)行多方協(xié)作

在美國(guó)，學(xué)校課程設(shè)置與管理主要由各州和學(xué)區(qū)教育行政當(dāng)局確定，數(shù)學(xué)教師熟悉數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)但只有少數(shù)在教學(xué)上予以貫徹，大多我行我素.因此，NCTM發(fā)布的FHSM文件能否實(shí)施有賴于多方協(xié)作與共同推進(jìn)，才能真正把推理和意義建構(gòu)有效落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂上.為此，F(xiàn)HSM在第3編高中數(shù)學(xué)綱要中的推理與意義建構(gòu)、教學(xué)指南附件中，提出了具體建議.

一方面，課程、教學(xué)與評(píng)價(jià)通力合作，將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理與意義建構(gòu)能力確立為高中數(shù)學(xué)的共同目標(biāo).另一方面，學(xué)生、家長(zhǎng)、教師、教學(xué)管理者、政策制定者、高等教育者、課程設(shè)計(jì)者等廣泛參與，確保推理與意義建構(gòu)成為高中數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)的焦點(diǎn).實(shí)施推理與意義建構(gòu)教學(xué)，應(yīng)與教師的專業(yè)發(fā)展相結(jié)合，教師需要長(zhǎng)期的專業(yè)發(fā)展指引和支持；學(xué)生必須認(rèn)識(shí)到，在這個(gè)飛速發(fā)展的社會(huì)，學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)將對(duì)他們未來(lái)職業(yè)的重要性；家長(zhǎng)應(yīng)鼓勵(lì)與幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，促進(jìn)其形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣；學(xué)區(qū)、學(xué)校、學(xué)科組與教師應(yīng)提供旨在提升學(xué)生推理與意義建構(gòu)的高質(zhì)量數(shù)學(xué)課程；州與地方評(píng)價(jià)政策應(yīng)把學(xué)生的數(shù)學(xué)推理與意義建構(gòu)能力作為一項(xiàng)重要的檢測(cè)指標(biāo)；政策制定者必須保證適當(dāng)?shù)呢?cái)力，支持致力于把推理與意義建構(gòu)作為有效課程的學(xué)區(qū)與學(xué)校等.

3 對(duì)中國(guó)高中數(shù)學(xué)新課程改革的啟示

在中國(guó)，普通高中新課程實(shí)驗(yàn)2004年在廣東、山東、海南、寧夏先行啟動(dòng)，至2012年秋季學(xué)期全國(guó)所有省份已全面鋪開；高中數(shù)學(xué)新課程的全面實(shí)施，標(biāo)志著具有中國(guó)特色的高中數(shù)學(xué)課程新體系初步形成.然而，在這場(chǎng)充滿探索與創(chuàng)新的數(shù)學(xué)課程改革實(shí)踐中，遭遇到類似美國(guó)的尷尬或困惑，即面對(duì)模塊專題繁多、內(nèi)容寬泛的高中數(shù)學(xué)新課程，課程焦點(diǎn)在哪里？哪些是中國(guó)高中生應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)核心內(nèi)容？NCTM發(fā)布的FHSM值得思考與借鑒.

推理與證明是PSSM的5條數(shù)學(xué)過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)之一，但FHSM卻把推理與意義建構(gòu)作為高中數(shù)學(xué)的焦點(diǎn)，究其原因是培養(yǎng)學(xué)生的推理與意義建構(gòu)能力不能一蹴而就，而應(yīng)滲透到整個(gè)數(shù)學(xué)課程之中，成為日常數(shù)學(xué)教學(xué)的主線.中國(guó)高中數(shù)學(xué)新課程選修系列1–2與系列2–2模塊也設(shè)有一個(gè)沒有具體數(shù)學(xué)內(nèi)容（除數(shù)學(xué)歸納法外）的“推理與證明”，顯然來(lái)源于PSSM，實(shí)踐表明，這種獨(dú)立設(shè)置的做法是沒有實(shí)際意義的，倒不如結(jié)合到具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容之中.

廣而言之，研究者認(rèn)為，在保持現(xiàn)行數(shù)學(xué)課標(biāo)框架下，貫徹少而精原則，整合現(xiàn)有核心內(nèi)容，取消現(xiàn)行課標(biāo)中的選修系列3，將部分有關(guān)內(nèi)容納入數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)文化或作為閱讀材料，分散在必修模塊、選修系列中；削減選修系列4，保留與傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)聯(lián)系密切的專題，如4–1幾何證明選講、4–2矩陣與變換、4–4坐標(biāo)系與參數(shù)方程、4–5不等式選講等；同時(shí)保持內(nèi)部的邏輯順序，便于文理轉(zhuǎn)換，仍然采用模塊方式安排，使每個(gè)學(xué)期教學(xué)內(nèi)容相對(duì)集中；至于刪減的內(nèi)容特別是選修系列3與4中的部分專題，建議作為地方課程和校本課程，因地制宜、靈活處理，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的選擇性與統(tǒng)一性的和諧共存.鑒于現(xiàn)行考試評(píng)價(jià)制度無(wú)法讓選修與高考“脫軌”的現(xiàn)實(shí)，建議合理運(yùn)用數(shù)學(xué)高考杠桿的導(dǎo)向作用，加大選修系列4的考查力度，促進(jìn)與落實(shí)數(shù)學(xué)選修課程的真正實(shí)施，釋放選修課程的潛在功能.

[1]NCTM.Focus in High School Mathematics: Reasoning and Sense Making [EB/OL].http://nctm.org/ standards/content.aspx? id=270 /2/25/2012.

[2]曹一鳴，王立東，Paul Cobb.美國(guó)統(tǒng)一州核心課程標(biāo)準(zhǔn)高中數(shù)學(xué)部分述評(píng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（5）：8–11.

[3]廖運(yùn)章.美國(guó)《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》的內(nèi)容與特色[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（4）：68–72.

[4]馬健生，苑大勇.《從先學(xué)前班到8年級(jí)的課程焦點(diǎn)：追求連貫性》報(bào)告述評(píng)[J].比較教育研究，2007，（5）：48–52.

[5]童莉，黃翔.尋求課程的一致性——對(duì)美國(guó)課程焦點(diǎn)的分析與思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（3）：79–82.

[6]劉琴，劉俊杰.美國(guó)數(shù)學(xué)教育的新進(jìn)展——高中數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)：推理和意義建構(gòu)[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2011，（3）：24–26.

[7]楊光富.統(tǒng)一全國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn) 確保美國(guó)競(jìng)爭(zhēng)力——美國(guó)首部全國(guó)《州共同核心課程標(biāo)準(zhǔn)》解讀[J].課程·教材·教法，2011，（3）：105–109.