林錳　柴艷有

【摘要】本文從自身的教學(xué)實踐出發(fā)， 強調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲入數(shù)學(xué)文化的重要性，介紹了數(shù)學(xué)文化在微積分教學(xué)中如何滲透，以及可以采取哪些辦法將數(shù)學(xué)文化滲入微積分的教學(xué)，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分的基本概念和基本思想方法之余，領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想方法對人類文明的貢獻、體會數(shù)學(xué)重大發(fā)現(xiàn)的艱辛、明了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、感受數(shù)學(xué)的美，了解相關(guān)微積分概念的發(fā)展歷史， 微積分對人類文明的貢獻以及微積分與其他學(xué)科的關(guān)系等數(shù)學(xué)文化知識。

【關(guān)鍵詞】微積分 數(shù)學(xué)文化教學(xué) 教學(xué) 滲透

【中圖分類號】O172 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）05-0134-02

1.引 言

眾所周知，我們國家是一個數(shù)學(xué)大國，也是一個數(shù)學(xué)古國，早在2000多年前，我們祖先就有“周三經(jīng)一”的思想，也就是今天人們講的圓周率π，而西方國家到了17世紀才有這樣的概念，陳景潤關(guān)于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震驚。然而，從數(shù)學(xué)的公眾形象談起，在大多數(shù)公眾的心目中是一堆數(shù)字和公式，抽象、深奧甚至神秘，而對數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值也不甚了了。

數(shù)學(xué)的這種公眾形象從發(fā)展現(xiàn)代教育與科學(xué)的角度看是堪憂的。微積分學(xué)更是大學(xué)中作為工具的基礎(chǔ)課程之一， 是關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)， 對于在大學(xué)就讀的學(xué)生來講，在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的文化精神、數(shù)學(xué)的思維方法，都是學(xué)生們潛在的一種工具，對于現(xiàn)代化社會而言，數(shù)學(xué)素質(zhì)應(yīng)該是公民所必須具備的一種基本素質(zhì).所以，將數(shù)學(xué)文化融入微積分教學(xué)中，不僅僅是為了學(xué)生在大一學(xué)習(xí)中能在了解數(shù)學(xué)文化的背景下掌握大學(xué)必修工具學(xué)科的知識，也是為了切實地將我國的教育提高到現(xiàn)代的先進的水準，使人們樹立起正確的數(shù)學(xué)價值觀，具有十分重要的意義。

2.數(shù)學(xué)文化在微積分教學(xué)中滲透的意義

微積分學(xué)是高等院校的教學(xué)中一門傳統(tǒng)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，它不僅為學(xué)習(xí)工科類專業(yè)和經(jīng)濟類專業(yè)的知識提供了必要的工具，更能培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的精密思維能力，促進學(xué)生運用數(shù)學(xué)思維去思考專業(yè)問題。

但傳統(tǒng)的微積分教學(xué)重視的是數(shù)學(xué)抽象性、邏輯性、系統(tǒng)性，注重定理的論證、公式的推導(dǎo)和解題的演練，而忽視了數(shù)學(xué)的文化層面，由于其本身抽象性等原因， 這樣給不少學(xué)生留下了數(shù)學(xué)課枯燥的印象，因而失去學(xué)習(xí)微積分的熱情與興趣。筆者通過十幾年的“微積分”課程教學(xué)實踐和幾年的“數(shù)學(xué)文化”課程教學(xué)感受，深切體會到在微積分教學(xué)中適時恰當?shù)娜谌霐?shù)學(xué)文化元素，不僅能讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想方法對人類文明的貢獻、體會數(shù)學(xué)重大發(fā)現(xiàn)的艱辛、明了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、感受數(shù)學(xué)的美等等，也能讓學(xué)生在定理、公式的證明過程中，不單單死記硬背而是掌握理解的思想方法，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，又可以最大限度地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 ，從而達到相對最佳教學(xué)效果。

3.數(shù)學(xué)文化在微積分教學(xué)中滲透的內(nèi)容

3.1揭示微積分中數(shù)學(xué)語言的文化背景，加深對數(shù)學(xué)概念的理解

微積分學(xué)中的很多概念，既可以用常用語言表述，也可以用“數(shù)學(xué)語言”來表述，例如在數(shù)列{xn}的極限概念中，■xn=A的定義，用一般語言描述為為“當n無限增大時，數(shù)列xn與定數(shù)A無限的接近，要多近有多近”，另一種更精確的描述為“對任意給定的ε>0，總可以找到N∈Z+，使得當n>N時，總有|xn-A|<ε。后者就是所謂的”數(shù)學(xué)語言，即“ε-N”語言，同時還有類似的“ε-δ”語言等等，這些都是一種簡約、抽象的科學(xué)語言，它作為數(shù)學(xué)思維的載體是進行有效數(shù)學(xué)交流的前提。

在微積分教學(xué)中， 我們幾乎處處可見數(shù)學(xué)語言，但若是在知識的傳授和應(yīng)用中忽視數(shù)學(xué)語言的產(chǎn)生背景和其內(nèi)涵的討論，會造成一些學(xué)生只能對其“死記硬背”，甚至對其產(chǎn)生一定的誤解，同時感受到微積分概念的枯燥和抽象。

如果我們在講授概念的數(shù)學(xué)語言的同時，介紹其產(chǎn)生的背景， 指出真理被發(fā)現(xiàn)的艱辛常常是多少代人共同努力的結(jié)果，這樣才能使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的特征有所認識。例如，在講授上述極限概念的“ε-N”等語言中，我們同時講述微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具幾乎在十七世紀同一時期，為牛頓、萊布尼茲各自獨立發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)立微積分學(xué)的初期，由于當時微積分的理論基礎(chǔ)非常薄弱，常常有不能自圓其說的情況。不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因此，它遭到了當時不少人的猛烈抨擊，如貝克萊等。數(shù)學(xué)史上將其稱為“貝克萊悖論”，直白的講，就是“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當時實際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當時的數(shù)學(xué)界引起了一定的混亂，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生。后由法國著名數(shù)學(xué)家柯西邁出了第一大步，使分析基礎(chǔ)嚴密化，再后來，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ”語言。

3.2 融入微積分中豐富的史料，感受數(shù)學(xué)文化的理性精神

微積分作為伴隨著人類文明的發(fā)展而發(fā)展的工具，從公元前五世紀無窮小概念的萌芽到十七世紀牛頓、萊布尼茲最終建立微積分，再到十九世紀極限概念的最終確立，經(jīng)歷了漫長的歷史長河，所以，在微積分教學(xué)中，可以適時適當?shù)剡x取關(guān)于介紹數(shù)學(xué)發(fā)展的數(shù)學(xué)文化以豐富教學(xué)。例如，牛頓的老師巴羅在對無窮小分析中已察覺到切線問題與求積問題的互逆關(guān)系，但執(zhí)著于幾何思維妨礙他進一步逼近微積分的基本定理。 雖然牛頓，萊布尼茲創(chuàng)立微積分是一項劃時代的科學(xué)成就， 但其中也存在邏輯上的問題，在這一時期除去貝克萊之外，還有一個比薩大學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)教授格蘭弟（Grandi），他在級數(shù)收斂，發(fā)散含混不清的情況下，提出了一個怪論叫作“從虛無到創(chuàng)造萬有”，來攻擊微積分學(xué)中的無窮級數(shù)。在柯西的努力下，才使連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)的和等概念也建立在了較堅實的基礎(chǔ)上?？挛髦?，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實數(shù)體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結(jié)為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數(shù)。1892年，另一個數(shù)學(xué)家創(chuàng)用“區(qū)間套原理”來建立實數(shù)理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴謹?shù)臉O限理論與實數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸納為實數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，這項重要而困難的工作就這樣經(jīng)過許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了。微積分學(xué)堅實牢固基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機的徹底解決。

也正是很多帶著批判眼光的學(xué)者的“怪論”才使如牛頓、柯西、傅里葉、魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等很多的數(shù)學(xué)家能在自己各自領(lǐng)域上潛心研究，從而有了我們今天較為完善的微積分學(xué)。在柯西的努力下，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)的和等概念也建立在了較堅實的基礎(chǔ)上。通過將其穿插融入微積分教學(xué)中，不僅豐富了教學(xué)內(nèi)容，而且在使學(xué)生緩解聽課疲勞的同時，感受到數(shù)學(xué)家們平凡而偉大的人格魅力，以及對數(shù)學(xué)執(zhí)著的追求精神，并從中獲得鼓舞和激勵，在學(xué)習(xí)中正確對待自己遇到的各種困難，培養(yǎng)勇于進取、堅忍不拔的拼搏精神。

3.3 探索生活中的教學(xué)素材，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美

數(shù)學(xué)有三個層面：一個層面就是公式定理， 像勾股定理、 求根公式等等。第二個層面就是思想， 就是我們公理化思想， 數(shù)形結(jié)合、 函數(shù)思想等等。 還有一個層次就是文化價值。數(shù)學(xué)有好的數(shù)學(xué)，有價值的數(shù)學(xué)， 有意義的數(shù)學(xué)， 這是一種看法。

數(shù)學(xué)文化的價值不僅在于知識本身，而且在于它的應(yīng)用價值，從這個角度講，數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科與數(shù)學(xué)文化結(jié)合的最佳點。因此，教師應(yīng)將學(xué)生的生活與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)合起來，讓學(xué)生熟知、親近的生活進入數(shù)學(xué)課堂，在解決實際問題過程中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。例如，在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的教學(xué)中，可以讓學(xué)生思考將熟悉的生活情境抽象成最值問題，如“用鐵皮做成一個容積一定的容器， 問應(yīng)當如何設(shè)計，才能使用料最??？”。

又如，在講微分方程時，可以舉例如下：“熊熊的烈火錘煉著一把刀具，想把刀具拿出來放在實驗室，假設(shè)實驗室的室溫是攝氏24°，當時，刀具的溫度是150°，10分鐘后刀具的溫度是100°，那么20分鐘后刀具的溫度是多少度呢？” 并給出給出數(shù)學(xué)模型是：

■=-k（u-uα）

其中u為刀具在t時的溫度，k>0為一個常數(shù)，uα為室溫，解這個方程可以算出20分鐘后刀具的溫度是64°。

這使教學(xué)變得生動有趣，這不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能培養(yǎng)他們在解決問題過程中學(xué)會用數(shù)學(xué)的觀點解釋生活中的現(xiàn)象，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美。

4.總結(jié)

如果把數(shù)學(xué)看成僅僅是邏輯， 僅僅是形式，僅僅是思想的體操，那么我們就是很少注意文化的層面，而在微積分的教學(xué)活動滲入數(shù)學(xué)文化， 就是為了使學(xué)生對作為工具基礎(chǔ)學(xué)科的微積分課程有一個基本的認識和理解，對數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系和與生活中的聯(lián)系有一個基本的認同和體會， 同時，也是為了使得微積分課堂中再也不是以往單一枯燥的“定理、公式、習(xí)題……”等基本的數(shù)學(xué)知識，而是通過“介紹定義定理的發(fā)現(xiàn)者、背景分析”，使學(xué)生了解微積分學(xué)中一些概念產(chǎn)生的始末，以及賴以生長的“土壤”，以豐富學(xué)生對其的感性體驗；還通過講一段“數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)家逸事”，使數(shù)學(xué)知識折射出人類的意志和智慧的光芒，使學(xué)生在感動、開心之余更好地理解掌握數(shù)學(xué)知識；也就是使微積分教學(xué)更有親和力. 在同學(xué)們對其興趣倍感增加之后， 再進行數(shù)學(xué)思想方法的嚴格訓(xùn)練， 才能起到事半功倍的效果， 才能使學(xué)生在輕松愉悅之后更好地理解和思考微積分思想的真諦。

總之，在微積分教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，就是實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化和人類文明的整合，搞清楚數(shù)學(xué)的文化背景，搞清楚數(shù)學(xué)成就的文化價值，把數(shù)學(xué)的結(jié)果的文化品位發(fā)掘出來， 用文化的視野來看數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的眼光來看文化， 發(fā)展現(xiàn)代數(shù)學(xué)， 弘揚世界的文化。

參考文獻：

[1]張楚庭.數(shù)學(xué)文化[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2]卡爾.B.波耶（美），唐生譯.微積分概念發(fā)展史[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2007.

[3]李大潛.數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教養(yǎng)[J].中國大學(xué)教學(xué)，2008，（10）： 4-81.

[4]顧沛.數(shù)學(xué)文化與大學(xué)生文化素質(zhì)教育[J].中國大學(xué)教學(xué)，2007，（4）： 6-7.

[5]朱家生.數(shù)學(xué)史[M].北京：高等教育出版社，2004.

[6]M·克萊因.數(shù)學(xué)與文化[M].北京：北京大學(xué)出版社，1990.