毛海媚

摘 要：《幾何畫(huà)板》作為一個(gè)常用的制圖軟件，對(duì)數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)是“取之不盡，用之不竭”的教學(xué)工具，本文簡(jiǎn)單地闡述一下幾何畫(huà)板在教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：幾何圖形；幾何動(dòng)畫(huà)；多媒體應(yīng)用；類比思想

隨著多媒體設(shè)備在中小學(xué)教學(xué)中的漸漸普及，數(shù)學(xué)課亦變得多姿多彩了. 它不單單拘泥于黑板白字，通過(guò)一些多媒體技術(shù)，一些以前難以用黑板表現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)的美，現(xiàn)在可以輕而易舉地在學(xué)生面前活靈活現(xiàn)地表現(xiàn)出來(lái)了. 什么是《幾何畫(huà)板》，什么是幾何動(dòng)畫(huà)呢？《幾何畫(huà)板》是作出靜止的幾何圖形和活動(dòng)的幾何圖形的重要工具，而其中活動(dòng)的圖形就是幾何動(dòng)畫(huà). 《幾何畫(huà)板》作為一個(gè)中學(xué)教師常用的制圖軟件，對(duì)數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)是“取之不盡，用之不竭”的教學(xué)工具，它可以把高度抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀顯示出來(lái)，有助于學(xué)生理解概念的本質(zhì)屬性，促進(jìn)學(xué)生“構(gòu)建”數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索數(shù)學(xué)知識(shí)，深刻揭示數(shù)學(xué)思想方法，它有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)空間想象力，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新精神，提高他們的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣. 下面就簡(jiǎn)單地來(lái)闡述一下幾何畫(huà)板在教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用.

[?] 利用幾何畫(huà)板進(jìn)行引入

例1 弦切角的引入

在引入弦切角的時(shí)候，我們可以利用幾何畫(huà)板，通過(guò)觀察線和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，從而得出弦切角的定義.

在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)選修4-1第32頁(yè)，是這樣引入的：以點(diǎn)D為中心旋轉(zhuǎn)的直線DE，同時(shí)保證直線BC和DE的交點(diǎn)同時(shí)落在圓周上，當(dāng)DE變?yōu)閳A的切線時(shí)（如圖2），我們能發(fā)現(xiàn)∠EDB=∠A. 在圖1中，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)有∠ECB=∠A. 在圖2中，∠ECB=∠A依舊成立.

用這種方法引入弦切角定理，既有利于從圓內(nèi)接四邊形通過(guò)運(yùn)動(dòng)，使“圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角”性質(zhì)過(guò)渡到“弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角”，又有利于理解它的性質(zhì)意義和判定方法.

這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程教師很難用黑板展示出來(lái)，但利用幾何畫(huà)板就很容易了. 我們利用幾何畫(huà)板的圓工具先作出一個(gè)圓（見(jiàn)圖1），然后再利用線段工具作出四邊形的三邊，并且使線段端點(diǎn)都在圓上，分別用文本工具將這些點(diǎn)標(biāo)記為A，B，C，D；接著長(zhǎng)按線段直線工具選中射線工具，以D點(diǎn)為端點(diǎn)，作出射線DE.根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)有∠ECB=∠A；最后我們將射線DE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C，D重合的時(shí)候，得到圖2的圖形. 此時(shí)，∠ECB=∠A依舊成立，同時(shí)DE與圓相切，則∠ECB為圓的弦切角，這樣就很自然地引出了弦切角定理，學(xué)生也能更加自然地接收這個(gè)新知識(shí).

[?] 利用幾何畫(huà)板證明

例2 （2012浙江義烏）在銳角三角形ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△A′B′C′.

（1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)C′在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC′A′的度數(shù)；

（2） 如圖4，連結(jié)AA′，CC′，若△ABA′的面積為4，求△CBC′的面積；

（3） 如圖5，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P′，求線段EP′的最大值和最小值.

對(duì)于問(wèn)題1和問(wèn)題2，學(xué)生都能夠比較輕松地利用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解答，但是問(wèn)題3比較有難度，因?yàn)辄c(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)涉及兩點(diǎn)，一是P點(diǎn)在線段AC上作直線運(yùn)動(dòng)，另外P點(diǎn)還繞B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，這種時(shí)候?qū)W生很難把握住動(dòng)與靜之間的關(guān)系，缺乏對(duì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程的準(zhǔn)確剖析，從而思索許久也沒(méi)有頭緒.

解答這道題目的關(guān)鍵是如何讓學(xué)生理解這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，但往往傳統(tǒng)的黑板教學(xué)很難將這個(gè)過(guò)程淋漓盡致地展現(xiàn)在學(xué)生面前，而且對(duì)教師作圖有較高要求，往往花費(fèi)很大的氣力，效果也不佳. 利用幾何畫(huà)板就可以輕松地將這個(gè)過(guò)程展現(xiàn)在學(xué)生面前，而且能達(dá)到較好的教學(xué)效果.

我們?cè)倩仡^看看第3問(wèn)，在這種情況下，我們可以“以退為進(jìn)”，利用幾何畫(huà)板，首先利用線工具作出△ABC，在線段AC上作出P，并作出AB中點(diǎn)E，先使P固定在AC上的一個(gè)位置，連結(jié)BP，這里我們考慮到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′應(yīng)在以B為圓心，BP為半徑的圓上，所以我們利用圓工具，以B為圓心，BP為半徑作圓，此時(shí)☉B(tài)的大小因P點(diǎn)位置的變化而變化. 再在圓上作出P′，使其可以在☉B(tài)上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)P′B，P′E就得到圖6，我們直觀猜想：當(dāng)B，E，P′三點(diǎn)共線，且P′與E在點(diǎn)B同側(cè)時(shí)，EP′最短；當(dāng)B，E，P′三點(diǎn)共線時(shí)，且P′與E在點(diǎn)B異側(cè)時(shí)，EP′最長(zhǎng). 當(dāng)點(diǎn)P′在非上述位置時(shí)，由三角形的三邊關(guān)系可得

≤EP′≤BP′+BE，所以當(dāng)點(diǎn)P在AC上某一固定位置時(shí)，EP′的最小值為BP′-2，最大值為BP′+2. 又BP′=BP，所以當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，EP′的最小值為BP-2，最大值為BP+2，而≤BP≤5，所以EP′的最小值為-2，最大值為7.

因此，教師在講解這道題的時(shí)候，可以借助幾何畫(huà)板使P點(diǎn)和P′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)起來(lái)，這時(shí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象的運(yùn)動(dòng)就變得生動(dòng)形象起來(lái)，便能很好地理解，教師敘述上的問(wèn)題和學(xué)生理解上的問(wèn)題便能迎刃而解.

[?] 利用幾何畫(huà)板研究

例3 已知△ABC，AB=a，AC=b，分別以AB，BC，AC為邊作正方形ABMN，BCDE，ACFG，連結(jié)ND，EF，MG.

（1）試證明不管∠BAC為何值，S△AMG=S△CEF=S△BDN；

（2）∠BAC為何值時(shí)，S六邊形DEFGMN有最大值和最小值.

分析：可以設(shè)BC=c，對(duì)于題（1），我們可以提出問(wèn)題串：①如何求三角形面積，用到什么公式？②對(duì)于這個(gè)公式，需要知道一些什么條件來(lái)求？③如何構(gòu)建橋梁，將三個(gè)三角形面積聯(lián)系起來(lái)？④最后怎么將全部的點(diǎn)貫穿起來(lái)，證明結(jié)論.

對(duì)于這個(gè)圖形，我們可以以點(diǎn)A為圓心，利用幾何畫(huà)板，作兩個(gè)分別以a，b為半徑的同心圓，分別在兩個(gè)圓上選取兩點(diǎn)，記為B，C，這樣我們就作出了符合題目條件的三角形，且無(wú)論B，C處于什么位置，AB，AC的長(zhǎng)度總為一固定值.

（1）我們先考慮到三角形面積公式，有S=，還有S=，等等，這里觀察題目給出的條件，應(yīng)該選擇第二個(gè). 利用題目的已知條件，我們發(fā)現(xiàn)S△AMG=AM·AGsin∠MAG=absin·（π-∠BAC）=absin∠BAC=S△ABC，同理可得S△BDN=S△ABC，S△CEF=S△ABC，則有S△ABC=S△CEF=S△AMG=S△BDN，則第一題得證.

（2）第二題我們可以將六邊形面積看成多個(gè)圖形的組合，結(jié)合題1得到的結(jié)論，我們就有

S六邊形DEFGMN=S△ABC+S△AMG+S△CEF+S△BDN+S四邊形ABMN+S四邊形ACFG+S四邊形BCED=4S△ABC+S四邊形ABMN+S四邊形ACFG+S四邊形BCDE=4×ab·sin∠BAC+a2+b2+c2=2absin·∠BAC+a2+b2+c2.

又由余弦定理得c2=a2+b2-2ab·cos∠BAC，則S六邊形DEFGMN=2absin∠BAC+a2+b2+a2+b2-2abcos∠BAC=2a2+2b2+2ab·（sin∠BAC-cos∠BAC）=2a2+2b2+2·ab

sin∠BAC-·cos∠BAC

=2a2+2b2+2absin

∠BAC-

.

由已知條件可得，∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC=時(shí)，S=2a2+2b2+2·ab為最大值；∠BAC=0時(shí)，S=a2+b2-2ab為最小值.

這是我們常規(guī)的解題思路，但是對(duì)于題（1）和題（2），我們可以利用幾何畫(huà)板將∠BAC的變化過(guò)程展示出來(lái)，更有助于學(xué)生理解. 特別是第2題，我們可以先猜后證. 利用幾何畫(huà)板的度量工具，將六邊形DEGFMN的面積度量出來(lái)；然后拖動(dòng)點(diǎn)A或點(diǎn)B，使其在圓周上運(yùn)動(dòng)，來(lái)改變∠BAC的度數(shù). 學(xué)生通過(guò)這個(gè)幾何動(dòng)畫(huà)，可以直觀地觀察到，當(dāng)∠BAC 為時(shí)，此時(shí)六邊形DEGFMN的面積最大；當(dāng)∠BAC為0時(shí)，此時(shí)六邊形DEGFMN的面積最小. 教師在此處利用幾何畫(huà)板，運(yùn)用先猜后證的方法，便能為這道題的講解錦上添花.

[?] 幾何畫(huà)板的應(yīng)用

學(xué)習(xí)圓錐曲線這部分知識(shí)的時(shí)候，學(xué)生往往非常煩惱，總是有很多學(xué)生容易混淆三個(gè)曲線的性質(zhì)，張冠李戴. 教師要怎么做才能讓學(xué)生印象深刻，將這些曲線的性質(zhì)牢牢地記住，理解透徹，并且不忘記呢？一般教師在引入橢圓曲線的時(shí)候只是簡(jiǎn)單地介紹一下“橢圓曲線上點(diǎn)的性質(zhì)是到兩焦點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，然后我們可以用這種方法作出橢圓曲線”，接下來(lái)就開(kāi)始了枯燥的性質(zhì)講解，這種知識(shí)接收方式往往是學(xué)生不喜歡的一種. 我們今天就從如何作出橢圓曲線著手，在作出橢圓曲線的同時(shí)，將橢圓的性質(zhì)自然地引出來(lái)，讓學(xué)生在無(wú)形中便記住了橢圓的性質(zhì). 下面以橢圓曲線為例，用一道題目引入橢圓.

例4 如圖8，☉O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓外一點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線L和直線OP相交于Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？（高中新課標(biāo)選修2-1 第62頁(yè)）

我們利用幾何畫(huà)板，可以作出Q點(diǎn)軌跡.首先，利用圓工具作出☉O，再在圓內(nèi)任取一點(diǎn)A，在圓周上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA，PO，過(guò)PA中點(diǎn)M作PA的垂線，交PO于點(diǎn)Q，此時(shí)我們追蹤點(diǎn)Q，生成P的動(dòng)畫(huà)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)得到一條橢圓曲線.如圖8所示，用這樣的方法作出的橢圓曲線，會(huì)迅速吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的好奇心. 學(xué)生不禁要問(wèn)，為什么這樣子就可以得到橢圓曲線呢？從而充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，為接下來(lái)的橢圓的后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的心理基礎(chǔ).

那接下來(lái)教師便可以解釋為什么用這種方法可以得到橢圓曲線. 連結(jié)AQ，AO，得到圖9，稍微觀察一下便知道因?yàn)镸Q是PA的中垂線，所以QA=QP，則有QA+QO=PQ+OP=r. 因此我們可以得出，利用幾何畫(huà)板作出的這個(gè)橢圓應(yīng)該是以O(shè)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且橢圓上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和是一個(gè)常數(shù)，對(duì)于這個(gè)曲線，就等于☉O的半徑r. 利用這種方法，可以讓學(xué)生深刻地記住“橢圓上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離為定值”這一性質(zhì)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生興趣，提升數(shù)學(xué)的趣味性，一舉兩得.

上面幾個(gè)例題只是很小一部分利用幾何動(dòng)畫(huà)的例子，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)上我們都可以使用幾何動(dòng)畫(huà)來(lái)輔助教學(xué). 引入多媒體技術(shù)，利用《幾何畫(huà)板》，豐富了教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)了過(guò)程教學(xué)，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，往往能達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果. 當(dāng)教學(xué)法研究進(jìn)入“山重水復(fù)疑無(wú)路”的境地，加入幾何動(dòng)畫(huà)，就會(huì)出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的新局面. 因此，數(shù)學(xué)教師要研究幾何動(dòng)畫(huà)，只有二者結(jié)合，才能開(kāi)出燦爛之花，結(jié)出豐碩之果.