王大春

2013年“北約”自主招生第10題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，題目如下：如圖1所示，水平面上方某一足夠大的空間存在水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，現(xiàn)從磁場(chǎng)中的A點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向水平發(fā)射一個(gè)帶電粒子，質(zhì)量為m，電荷量為q，考慮粒子的重力，問(wèn)：（1）如果粒子從A水平運(yùn)動(dòng)到C，AC距離為L(zhǎng)，求粒子的速度v0大小？（2）如果速度不滿足上問(wèn)時(shí)，粒子速度無(wú)論多大都能到達(dá)C點(diǎn)，試求AC的距離L應(yīng)該滿足的條件？A到C的時(shí)間為多少？（3）如果初速度為0，問(wèn)是否可能到達(dá)C點(diǎn)，在此過(guò)程中，最大速度為多少？

一、物理分析

第（1）問(wèn)：粒子沿直線由A運(yùn)動(dòng)到C，則要求重力和洛倫茲力平衡，有mg=qv0B，解得v0=■，粒子帶正電.

第（2）問(wèn)：由于v≠v0=■，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中粒子受到的洛倫茲力f=qvB的大小和方向都在改變，帶電粒子將在復(fù)合場(chǎng)（重力場(chǎng)和磁場(chǎng)）中做變加速曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用常規(guī)的運(yùn)動(dòng)分解方法無(wú)法解決問(wèn)題.

此問(wèn)中要求無(wú)論初速度v多大時(shí)，粒子均能到達(dá)C點(diǎn)，需要對(duì)初速度的方向和大小進(jìn)行分類討論，如v<0、0≤v<■、v>■時(shí)的粒子運(yùn)動(dòng)情形進(jìn)行分析，能夠很好地考查學(xué)生對(duì)擺線運(yùn)動(dòng)情形的掌握程度和思維的嚴(yán)密程度.下面以v>■時(shí)的運(yùn)動(dòng)情形為例進(jìn)行分析，其余的運(yùn)動(dòng)情形在將在后文中運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行編程模擬繪圖分析.

當(dāng)v>v0時(shí)，如圖2所示，將初速度v分解為同一直線上的v0和v′，使■=■0+■′，洛倫茲力■=q■B=q■0B+q■′B，若使f0=qv0B=mg，即v0產(chǎn)生的洛倫茲力與重力相平衡，將粒子的變加速曲線運(yùn)動(dòng)分解為以速度v0的勻速直線運(yùn)動(dòng)和在洛倫茲力f′=qv′B作用下的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，例如，當(dāng)v′

粒子做擺線運(yùn)動(dòng)時(shí)，處于軌跡的最低點(diǎn)時(shí)，v0與v′同向，當(dāng)處于軌跡的最高點(diǎn)時(shí)，v0與v′反向，運(yùn)動(dòng)的周期T=■，一個(gè)周期前進(jìn)的距離為d=v0T=■，與粒子初速度的大小無(wú)關(guān).當(dāng)A、C間距離為d的整數(shù)倍時(shí)，即當(dāng)L=nd=■（n∈Z）時(shí)，粒子能夠到達(dá)C點(diǎn).

第（3）問(wèn)：粒子的初速度為0時(shí)，為了平衡重力，可將初速度0分解為0=v0-v0，此時(shí)粒子的軌跡如圖4所示，一個(gè)周期前進(jìn)的距離d=v0T=■，故能夠到達(dá)C點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度的最大值位于軌跡的最低點(diǎn)處，vm=v0+v0=2■.

二、數(shù)學(xué)推導(dǎo)

如圖5所示，以A指向C的方向?yàn)閤軸正向，豎直向上為y軸正向，將粒子的變加速曲線分解為x和y方向的直線運(yùn)動(dòng)，■=■x+■y，洛倫茲力■=■x+■y=q■yB+q■xB，x方向受到的合力Fx=-q■yB，y方向受到的合力為Fy=-mg+q■xB，由牛頓第二定律可列如下的微分方程：

x方向：-q■yB=m■①；y方向：q■xB-mg=m■②；由①、②兩式得：■=-（■）2vy，令？棕=■，則■=-？棕2vy，此式為二階齊次常微分方程，通解為vy=C1cos？棕t+C2sin？棕t，由初始條件t=0，vy=0，得C1=0，vy=C2sin？棕t.代入②式得qvxB-mg=C2m？棕sin？棕t，由初始條件t=0，vx=v，得C2=v-■，則有

vy=（v-■）sin？棕t；vx=■-（v-■）cos？棕t；令v0=■，得：

vy=（v-v0）sin？棕t③；vx=v0-（v-v0）cos？棕t④.

帶電粒子的位置坐標(biāo)：

x=■vxdt=v0t-■（v-v0）sin？棕t⑤；y=■vydt=■（v-v0）（1-cos？棕t）⑥；

令R=■，k=■，⑤、⑥兩式簡(jiǎn)化為：

x=R[？棕t-（k-1）sin？棕t]⑦；y=R（k-1）（1-cos？棕t）⑧；

⑦、⑧兩式為數(shù)學(xué)中擺線的參數(shù)方程，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，粒子的運(yùn)動(dòng)周期T=■=■，一個(gè)周期內(nèi)前進(jìn)的距離d=2πR=■，與速度構(gòu)造法得到的結(jié)論相同.

三、軟件模擬

粒子做擺線運(yùn)動(dòng)的軌跡與k=■的值有關(guān)，即與初速度的大小和方向有關(guān).下面運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)-2≤k≤4（負(fù)號(hào)表示初速度沿x軸負(fù)向）范圍內(nèi)的軌跡進(jìn)行編程模擬繪圖.

令R=（■）2g=10，則？棕=■=1，周期T=■=2π.

程序：

syms R w t k x y；

R=10；w=1；

for k=-2：0.5：4

x=R*（w*t+（k-1）*sin（w*t））；

y=R*（k-1）*（1-cos（w*t））；

ezplot（x，y，[-2pi，2pi]）；

hold on；

end

程序運(yùn)行后得到如圖6所示的不同初速度（k）時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由運(yùn)動(dòng)軌跡圖可以直觀地看出無(wú)論初速度v的大小為多少，方向與x軸正向相同與否，粒子在一個(gè)周期內(nèi)沿x軸正向前進(jìn)的距離都相等，形象地呈現(xiàn)了第（2）問(wèn)中粒子的運(yùn)動(dòng)情形.下面對(duì)一個(gè)周期內(nèi)粒子的做擺線運(yùn)動(dòng)情形進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明：

■

（1）如圖6（a）所示，當(dāng)k<0時(shí)，即粒子初速度沿x軸負(fù)向時(shí)，粒子在x軸下方做長(zhǎng)幅運(yùn)動(dòng)，初速度越大，幅度越大，一個(gè)周期內(nèi)粒子沿x軸正向前進(jìn)相同的距離；當(dāng)k=0時(shí)，即初速度v=0時(shí)，粒子做的運(yùn)動(dòng)是本題第（3）問(wèn)中的情形.

（2）如圖6（b）所示，當(dāng)0

（3）如圖6（c）所示，當(dāng)1

（4）如圖6（d）所示，當(dāng)k>2時(shí)，即初速度v>■時(shí)，粒子在x軸上方做回旋式的長(zhǎng)幅運(yùn)動(dòng).

本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一類特殊而古老的問(wèn)題——“擺線”運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，在1996年第13屆全國(guó)高中物理競(jìng)賽決賽第2題、2008年江蘇高考第14題和2011年福建高考第22題均對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行了不同角度的考查，此類問(wèn)題能力立意高，能充分考查學(xué)生的分析綜合能力，有利于優(yōu)秀人才的選拔，因此受到各級(jí)考試命題專家的青睞.本文先運(yùn)用中學(xué)階段的物理方法對(duì)本題進(jìn)行分析，再運(yùn)用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)帶電粒子“擺線”運(yùn)動(dòng)的軌跡方程，并利用計(jì)算軟件MATLAB對(duì)本題中的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行繪制，以加深對(duì)此類問(wèn)題的理解.

（作者單位 江蘇省南通市海門中學(xué)）

？誗編輯 陳鮮艷