舒蘇

摘 要： 在積分理論中，微元法的基本思路就是以“直”代“曲”.但是，大部分教科書礙于時(shí)間和篇幅等條件的限制，對(duì)以“直”代“曲”的理論淵源并未加以論述，這就使得這一方法的可行性變得比較模糊.本文試根據(jù)達(dá)布理論，對(duì)以“直”代“曲”在積分學(xué)中的可行性加以論證.

關(guān)鍵詞： 以“直”代“曲” 達(dá)布理論 可行性

在積分學(xué)理論中，經(jīng)常需用微元法，而微元法的基本思路就是以“直”代“曲”.然而，在定積分概念的教學(xué)中，由于種種原因，大部分教材中刪去了達(dá)布的有關(guān)定理.因此，學(xué)生在用定義求諸如曲邊梯形面積這類問題時(shí)，常常會(huì)對(duì)以“直”代“曲”方法產(chǎn)生一定的困惑：（1）以“直”代“曲”方法的可行性如何？（2）用平行于x軸的直線或用斜線替代曲線，其結(jié)果相同嗎？為了解決這些問題，我們首先給出達(dá)布的有關(guān)定理，然后根據(jù)達(dá)布理論對(duì)以上問題一一加以論證.

一、達(dá)布的有關(guān)定理

1875年，達(dá)布（Darboux）用“大和”、“小和”理論證明了定積分存在的充分必要條件，從而為微元法的一個(gè)最基本方法——以“直”代“曲”方法奠定了理論基礎(chǔ).其主要內(nèi)容有：

（1）設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的有界函數(shù)，記△x■，△x■，…△x■.

為[a，b]上某一分割，m■與M■分別為f（x）在△x■上的下確界和上確界，則稱■m■△x■與■M■△x■分別為f（x）在已知分割下的“小和”與“大和”，記為s與S.

（2）可以證明，對(duì)f（x）在[a，b]上任一積分和■f（ξ■）△x■分均滿足s≤■f（ξ■）△x■≤S.

（3）達(dá)布用“大和”、“小和”理論證明了以下定理：

定理設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的有界函數(shù)，則f（x）在[a，b]上可積的充分必要條件是lims=limS.

二、以直代曲方法在求曲邊梯形面積時(shí)的可行性

例1：用定義求由拋物線y=x■，直線x=1和x軸所圍曲邊梯形的面積.

（1）由于分割的任意性，不妨將區(qū)間[0，1]n等分，則每一個(gè)子區(qū)間長為△x■=■，且第i個(gè)子區(qū)間為[■，■]，令m■與M■分別為f（x）=x■在第i個(gè)子區(qū)間上的下確界和上確界，因?yàn)閒（x）=x■在[0，1]上為增函數(shù)，所以m■=（■）■，M■=（■）■

所以，小和s=■m■△x■=■（■）■·■=■n（n-1）（2n-1），

大和S=■M■△x■=■（■）■·■=■n（n-1）（2n-1）+■，

顯然，■s=■S.

以上由達(dá)布定理充分證明在上以直代曲是完全可行的.

（2）用矩形法和梯形法分別求曲邊梯形面積.

①用矩形法計(jì)算，即用平行于x軸的直線替代曲線f（x）=x■.

由于分割的任意性，不妨將區(qū)間[0，1]n等分，所得曲邊梯形面積為：

I=■■f（ξ■）△x■=■■（■）■·■=■■n（n-1）（2n-1）

=■■（1-■）（1-■）=■.

②用梯形法計(jì)算，即用斜線構(gòu)成的小直邊梯形替代小曲邊梯形將區(qū)間同樣n等分，所得曲邊梯形面積為：

I=■■■[（■）■+（■）■]·■=■■[2■t■-2■i+n]

=■■[2n■+n]=■.

顯然，用平行于x軸的直線和用斜線替代曲線其結(jié)果完全相同.這是因?yàn)?，?duì)于y=f（x）在[a，b]上的一般情況，用矩形法計(jì)算：I=■■f（ξ■）△x■，用梯形法計(jì)算：I=■■■[f（x■）+f（x■）]·△x■，由達(dá)布理論知s≤■■f（ξ■）·△x■=■■■[f（x■）+f（x■）]·△x■≤S成立，故由定理知①，②均正確.

三、以直代曲方法在求旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)的可行性

1.用平行于X軸的直線AB代替■，顯然用達(dá)布“小和”是可行的，

v■=■■πf■（x■）·△x■是積分和的極限，

∴v■=π？蘩■■f■（x）dx，

而v■=■■π·f■（x■+1）·△x■=π？蘩■■f■（x）dx.

2.用斜線AB替代■，

v■=■■■[π·f■（x■）+πf■（x■+△x■）+π■]·△x=■·3？蘩■■π·f■（x）dx=π？蘩■■f■（x）dx.

四、以直代曲方法在計(jì)算曲線弧長時(shí)的可行性

在計(jì)算曲線弧長時(shí)也要使用以“直”代“曲”，但在使用這種替代時(shí)必須使用等價(jià)無窮小替換的原理.例如：在曲線s上取一小段△S.

1.用弦△l來替換△S.此時(shí)，方法顯然可行.∵△l=■.

設(shè)△S為可求長曲線S的部分，方程為x=φ（s）y=ψ（s），且x′（s），y′（s）存在，且dS■=（dx）■+（dy）■，即（■）■+（■）■=1，

∴■■=■■=■■=1，

其中當(dāng)MM■→0時(shí)，■長與■長為等價(jià)無窮小.

2.用平行于x軸的直線△x替換△s。

∵■■=■■=■

此時(shí)y■除了y=c（常數(shù)）以外，對(duì)其他曲線y=f（x）均不為0，這說明△x與△s并非等價(jià)無窮小，故不能以此直代此曲.

參考文獻(xiàn)：

[1]菲赫金格爾茨.數(shù)學(xué)分析原理[M].北京：人民教育出版社，1979.