鄧希文

摘 要： 本文運(yùn)用定積分的方法對高中物理中變動做功的三種常見問題：水池抽水做功問題、彈簧壓縮或伸長做功問題、氣體壓縮或膨脹做功問題進(jìn)行了分析與求解，并對解題方法進(jìn)行了推廣，希望能為此類問題的解決提供相應(yīng)參考。

關(guān)鍵詞： 高中物理教學(xué) 變力 做功 定積分

一、引言

在高中物理中，有時(shí)會碰到一些變力做功的問題，這些問題通常不能按一般的恒力做功的方法進(jìn)行求解，但可以利用微積分法巧妙地進(jìn)行解決。

用積分解決物理問題，一般都要先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。如下圖1所示，設(shè)有方向指向ox軸正方向的變力f（x），當(dāng)某物體在該力作用下從點(diǎn)x+△x移動到點(diǎn)時(shí)，可以認(rèn)為力所做的功為△w≈f（x）△x，當(dāng)把△x看做無窮小量時(shí)dx時(shí)，就得到功的微分形式為dw=f（x）dx，而物體在變力作用f（x）下，從點(diǎn)a移動到點(diǎn)b時(shí)，變力f（x）所做的功可以表示為：

二、變力做功的幾種情況

（一）水池抽水做功問題

這類問題常常容易犯錯，很多人常用恒力做功的方法分析，即用水的重力與水深之積求所做之功。但仔細(xì)分析，這種方法明顯是錯誤的，如果我們將水垂直分成為很多微分層，則每個微分層的水移動的距離應(yīng)該是不相等的，因此不能采用常用的恒力做功的方法進(jìn)行計(jì)算，但可以采用微分法進(jìn)行計(jì)算。下面講一個簡單的例子。

要把其抽到蓄水池口所做的功可表示為：

因此，根據(jù)積分公式，將蓄水池中30米深的水全部抽出池口需要做的總功為：

因此，對于這類問題，我們不能按常用恒力做功方式進(jìn)行求解，必須換一種方式，利用微分方法求解較簡便。同時(shí)，我們可以將此類問題進(jìn)一步推廣到求水中取物所做的功，其原理基本類似，方法類似。

（二）彈簧壓縮或伸長做功問題

彈簧在壓縮或伸長的過程中，其彈力會連續(xù)不斷地變化，因此，如何求彈簧壓縮或伸長所做的功，這就需要用到變力做功的積分法？

例2：如果10N（牛）的力可以使彈簧伸長20cm，求在彈性范圍內(nèi)使該彈簧伸長30cm所要做的功是多少？

我們可以進(jìn)一步推廣，在彈性范圍內(nèi)，彈簧從平衡位置壓縮或拉伸a長（單位：m）所需要做的功為：

另外，我們還可以將此類問題推廣到非均勻電場做功的計(jì)算，即求變電場對處在其中的帶電粒子移動距離所做的功。其公式可以總結(jié)如下：

（1）假設(shè)在一帶電量為+Q的點(diǎn)電荷（選其坐標(biāo)為ox軸原點(diǎn)）的電場中有一點(diǎn)電荷+q在該電場中從坐標(biāo)a處移動到b處。其電場所做的功可以表示為：

（2）若將上述點(diǎn)電荷+q從坐標(biāo)a處移動到無窮遠(yuǎn)處，則其電場所做的功可以表示為：

（三）氣體壓縮或膨脹做功問題

封閉容器（或氣缸）中的氣體膨脹或壓縮時(shí)，隨著氣體壓強(qiáng)的連續(xù)變化，從而使得作用在活塞上的壓力也必將不斷變化，為了平衡活塞，在壓縮氣體時(shí)要一個外加壓力推動活塞對容器（或氣缸）內(nèi)氣體做功，或在氣體膨脹時(shí)將推動活塞來做功，那么，如何求所做的功呢？這是一個典型的變動做功的問題，我們可以借助積分法進(jìn)行求解。

解：在正圓柱氣缸的氣體（見圖3），根據(jù)波義耳定律，若溫度不變時(shí)，則PV=C（常數(shù)），P表示壓強(qiáng)，V表示缸內(nèi)氣體體積，由題意得：

設(shè)正圓柱氣缸內(nèi)的蒸汽被壓縮的長度表示為x（m），那么

因此，要使蒸汽的體積減小一半，需要做的功為：

我們可以進(jìn)一步進(jìn)行推廣，若將氣體從坐標(biāo)a點(diǎn)壓縮到坐標(biāo)b點(diǎn)，其所做的功為：

三、結(jié)語

運(yùn)用定積分解決變力做功問題在高中物理中有特定的意義，它為變力做功提供了很好的思路，當(dāng)我們遇到變力做功問題時(shí)，在實(shí)際解題時(shí)可以采用積分方法進(jìn)行相應(yīng)的分析和解答。

參考文獻(xiàn)：

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