張國(guó)生

[摘 要]《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》把“雙基”改為“四基”，即把原來(lái)的“基礎(chǔ)知識(shí)”與“基本技能”修改為“基礎(chǔ)知識(shí)”、“基本技能”、“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。數(shù)學(xué)的精髓在于數(shù)學(xué)基本思想，它并沒(méi)有像數(shù)學(xué)知識(shí)那樣被清清楚楚地顯現(xiàn)在課本里，而是隱含在教材中，需要教師去挖掘、去提煉，并貫穿到教學(xué)過(guò)程中。小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著哪些最基本的數(shù)學(xué)思想方法呢？筆者從長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出有如下方面最基本的思想方法：觀察比較思想方法、分類(lèi)的思想方法、抽象和概括思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、化歸思想方法等。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué)；基本；思想方法

[中圖分類(lèi)號(hào)]00 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1009 — 2234（2013）07 — 0152 — 02

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）總目標(biāo)明確要求：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！稑?biāo)準(zhǔn)》把“雙基”改為“四基”，即“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。 以往，我們通常把概念、性質(zhì)、法則、公式、數(shù)量關(guān)系以及解題方法等作為數(shù)學(xué)的組成部分。當(dāng)然，沒(méi)有這些組成部分，數(shù)學(xué)就不存在了。但是，只有這些組成部分，也不是本質(zhì)意義上的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)至少還包含由這些內(nèi)容所反映出來(lái)的思想方法。也可以說(shuō)數(shù)學(xué)的精髓在于其基本思想，在教學(xué)活動(dòng)中“基本思想”應(yīng)是主線，但是數(shù)學(xué)思想不像數(shù)學(xué)知識(shí)那樣被清清楚楚地顯現(xiàn)在課本里，而是隱含在教材中，需要教師去挖掘、去提煉，并貫穿到教學(xué)過(guò)程中。

所謂的數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出的一些觀點(diǎn)，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中的普遍規(guī)律，直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，這是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。所謂的數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略。數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它更具有普遍的指導(dǎo)意義。而數(shù)學(xué)方法是微觀的，它是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的直接而具體的手段。一般來(lái)說(shuō)，前者給出了解決問(wèn)題的方向，后者給出了解決問(wèn)題的策略。但由于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，知識(shí)最為基礎(chǔ)，所以隱藏的思想和方法很難截然分開(kāi)，更多的反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的。

小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著哪些基本的數(shù)學(xué)思想方法呢？

一、觀察和比較思想方法

在邏輯學(xué)上，觀察和比較是重要的思維方法，現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法把觀察法和比較法看作是最基本的數(shù)學(xué)思想方法。

觀察是思維的窗口，是認(rèn)識(shí)的開(kāi)始，是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，可以說(shuō)科學(xué)上的重大發(fā)現(xiàn)多起源于觀察。沒(méi)有牛頓觀察到蘋(píng)果從樹(shù)上掉下來(lái)，就沒(méi)有萬(wàn)有引力定律的產(chǎn)生，沒(méi)有愛(ài)迪生一生的觀察與探索，就沒(méi)有“世界發(fā)明大王”的誕生。觀察對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是十分重要的，數(shù)與代數(shù)，統(tǒng)計(jì)與概率，空間與圖形，實(shí)踐與綜合應(yīng)用，每個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)都離不開(kāi)觀察。良好的觀察力是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本條件，也是激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探索精神、引發(fā)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一到六年級(jí)都有觀察物的內(nèi)容，課程的基本要求就是通過(guò)學(xué)生觀察物體，概括物象培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，可見(jiàn)，觀察法這一思想方法對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是多么重要。

比較是通過(guò)觀察，分析對(duì)比研究對(duì)象的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)。它是認(rèn)識(shí)事物的最基本的思想方法之一。愛(ài)迪生說(shuō)：我平生從來(lái)沒(méi)有做出過(guò)一次偶然的發(fā)明，我的一切發(fā)明都是經(jīng)過(guò)深思熟慮和無(wú)數(shù)次的嘗試比較的結(jié)果。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第一冊(cè)《比一比》就是讓學(xué)生開(kāi)展簡(jiǎn)單的比較活動(dòng)，經(jīng)歷并體驗(yàn)比較的過(guò)程，建立多少、大小、長(zhǎng)短等數(shù)學(xué)概念。

二、分類(lèi)思想方法

數(shù)學(xué)中的分類(lèi)是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的異同點(diǎn)，把研究對(duì)象按某種“標(biāo)準(zhǔn)”分成幾類(lèi)的一種思想方法。按照某一標(biāo)準(zhǔn)，同類(lèi)者具有相同點(diǎn)；不同類(lèi)者有相異點(diǎn)。分類(lèi)和比較是唇齒相依的的，分類(lèi)和比較同時(shí)存在相互促進(jìn)。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年上冊(cè)第五單元《分類(lèi)》教學(xué)要求是：通過(guò)分形體異同的物體、顏色異同的物體、長(zhǎng)短異同的物體、用途異同的物體等活動(dòng)，初步體驗(yàn)分類(lèi)思想，探索分類(lèi)的方法，為以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打基礎(chǔ)。再如：能被2、3、5整除的數(shù)的特征、三角形的分類(lèi)等等都是建構(gòu)在分類(lèi)的數(shù)學(xué)思想基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。

三、類(lèi)比思想方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)兩種事物的相似或相同的形式或規(guī)律，通過(guò)推理運(yùn)用到另一類(lèi)事物中去，如果我們把這些類(lèi)似進(jìn)行比較，加以聯(lián)想的話可能出現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果和方法。這種把類(lèi)似進(jìn)行比較、聯(lián)想，由一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的已知特殊性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去，從而獲得另一個(gè)對(duì)象的性質(zhì)的方法就是類(lèi)比法，也叫“比較類(lèi)推法”。往往也借助于類(lèi)比方法，從而達(dá)到啟發(fā)思路的目的。

例如，找規(guī)律：由圖形規(guī)律類(lèi)比到數(shù)字規(guī)律；又如，在學(xué)習(xí)（a+b）c=ac+bc類(lèi)比到（a-b）c=ac-bc；再如將小數(shù)乘法的意義類(lèi)比到分?jǐn)?shù)乘法的意義等等，在數(shù)學(xué)知識(shí)的推導(dǎo)中類(lèi)比法是十分重要的學(xué)習(xí)方法，它也是人腦認(rèn)識(shí)世界時(shí)可以像模塊一樣復(fù)制的直接根據(jù)。

四、化歸方法

所謂“化歸”，可以理解為轉(zhuǎn)化和歸類(lèi)的意思?；瘹w方法是指把待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類(lèi)已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題中，最終獲得原問(wèn)題解答的一種手段和方法。簡(jiǎn)單地說(shuō)，化歸就是問(wèn)題的規(guī)范化、模式化。

例如，假期中，班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員和勞動(dòng)委員都到學(xué)校參加義務(wù)勞動(dòng)。班長(zhǎng)每2天到校一次，學(xué)習(xí)委員每4天到校一次，勞動(dòng)委員每5天到校一次。7月15日三人統(tǒng)一放假，幾月幾日他們又再次一起到校勞動(dòng)？班長(zhǎng)從7月15號(hào)算起第幾天到校正好是2的整倍數(shù)，學(xué)委從7月15日起第幾天到校正好是4的整倍數(shù)，勞動(dòng)委員從7月15號(hào)起第幾天到校正好是5的整倍數(shù)，三人又再次一起到校的時(shí)間從7月15號(hào)算起第幾天正好是2、4和5的“最小公倍數(shù)”。因此求出2、4和5的最小公倍數(shù)后只要從7月15日往累計(jì)上這個(gè)天數(shù)就可以了。此為題的思考過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題通過(guò)分析轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)求“最小公倍數(shù)”的問(wèn)題，即把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這正是化歸思想的實(shí)際運(yùn)用。

五、數(shù)形結(jié)合思想方法

提到數(shù)形結(jié)合讓人很快會(huì)想到幾何問(wèn)題的解決，其實(shí)數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)圖形可以很快的抽取出數(shù)或數(shù)量以及數(shù)量關(guān)系。從解決問(wèn)題的策略上來(lái)說(shuō)就是通過(guò)直觀的圖形表示隱含的問(wèn)題。

解決應(yīng)用題時(shí)多數(shù)用畫(huà)線段圖的方式輔助分析。

例如，AB兩城間有一條公路長(zhǎng)240千米，甲乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩城出發(fā)，甲以每小時(shí)45千米的速度從A城到B城，乙以每小時(shí)35千米的速度從B城到A城，各自到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，幾小時(shí)后，兩車(chē)在途中第二次相遇？

六、抽象和概括思想方法

抽象和概括是兩種非常重要的數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)理論的形成都離不開(kāi)抽象和概括。 抽象是在頭腦中把同類(lèi)事物的共同的、本質(zhì)的屬性抽取出來(lái)，并舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)特征的思維過(guò)程。這里的關(guān)鍵詞有兩個(gè)，抽取和舍棄，抽取的是事物的本質(zhì)特征，是我們要給予單獨(dú)考察的。而舍棄的是事物的非本質(zhì)特征。

概括就是把個(gè)別事物的某些屬性推廣到同類(lèi)事物中去或者總結(jié)同類(lèi)事物的共同屬性的思維過(guò)程。概括包含兩方面，一是推廣，把個(gè)別事物的某些屬性推廣到同類(lèi)事物中去，二是總結(jié)，把同類(lèi)事物的共同屬性總結(jié)出來(lái)。

抽象和概括是兩種不同的數(shù)學(xué)方法，抽象側(cè)重于分析和提煉。而概括側(cè)重于歸納和總結(jié)。但二者又有著密切的關(guān)系。抽象是概括的基礎(chǔ)，概括是抽象的綜合。

如：在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形面積一課，先讓學(xué)生通過(guò)透格子的方法，先測(cè)量每個(gè)長(zhǎng)方形和正方形的表面布滿(mǎn)了幾行幾列的一平方厘米的格子，再用乘法表示出行數(shù)×列數(shù)=面積，通過(guò)多次試驗(yàn)，然后再觀察每個(gè)長(zhǎng)方形或正方形的面積與蒙上去的格子紙行列之間的關(guān)系，進(jìn)而總結(jié)出：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)。這一例子是充分的利用了抽象概括的數(shù)學(xué)思想。

七、歸納猜想思想方法

人們運(yùn)用歸納法，得出對(duì)一類(lèi)現(xiàn)象的某種一般性認(rèn)識(shí)的一種推測(cè)性的判斷，即猜想，這種思想方法稱(chēng)為歸納猜想。馬克·吐溫說(shuō)過(guò)：想出新辦法的人在他的辦法沒(méi)有成功以前，人家總說(shuō)他是異想天開(kāi)。但這種異想天開(kāi)正是猜想，它是啟動(dòng)所有偉大創(chuàng)舉開(kāi)端的夢(mèng)。歌德巴赫猜想由1742年他的一串等式6=2+2+2，9=3+3+3，12=2+5+5，7=2+2+3，10=2+3+5，13=3+5+5，8=2+3+3，11=3+3+5，14=2+5+7，…開(kāi)始的，他按耐不住興奮，寫(xiě)信告訴歐拉說(shuō)，他想冒險(xiǎn)發(fā)表下列猜想：“大于5的任何自然數(shù)是3個(gè)素?cái)?shù)之和?！?這一猜想至今仍無(wú)人能夠證明，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)是目前取得成果最好的。這就是一個(gè)好猜想的巨大價(jià)值！有了猜想就有了前進(jìn)的動(dòng)力，我們的習(xí)主席提出的“中國(guó)夢(mèng)“，不就是引發(fā)著我們中國(guó)人對(duì)非常幸福的現(xiàn)實(shí)充滿(mǎn)著夢(mèng)想，對(duì)我們不可預(yù)知的幸福要充滿(mǎn)猜想嗎？

八、數(shù)學(xué)模型思想方法

模型思想是此次《標(biāo)準(zhǔn)》修訂新增的核心概念之一。 所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象、概括地表征所研究對(duì)象（中小學(xué)主要指現(xiàn)實(shí)問(wèn)題）的主要特征、關(guān)系所形成的的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)中，為表征特定的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程 、函數(shù)、不等式、及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。如長(zhǎng)方體體積公式的推導(dǎo)，利用若干個(gè)相同的小正方體拼擺成一個(gè)長(zhǎng)方體，探索長(zhǎng)方體中含有小正方體的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系，進(jìn)而歸納出長(zhǎng)方體的體積公式，建立模型v=abc，這是一個(gè)典型的模型化過(guò)程。

如左圖，瓶子高度為25厘米，下部成直圓筒形，內(nèi)裝8兩油，油面高14厘米，若將其倒立，則油面高18厘米。這個(gè)瓶子可裝油多少兩？

分析；此題是求水的容積，有一個(gè)在建模過(guò)程中需要假設(shè)，就是礦泉水瓶援助部分并不是一個(gè)圓柱的形狀，這樣才便于建立模型，由于不知道圓柱的底面積，所以無(wú)法用容積公式直接求解。這就需要換一個(gè)思路來(lái)想，根據(jù)容積公式v=sh.可知如果底面積一定，容積與圓柱的高成正比，這樣就把求容積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比例問(wèn)題。由于礦泉水瓶最上面部分形狀不規(guī)則，倒立過(guò)來(lái)以后喝的水就相當(dāng)于圓柱形瓶子高度的一半是7厘米。滿(mǎn)瓶礦泉水就相當(dāng)于這瓶水都裝在圓柱形瓶子后，高度為21厘米的水。滿(mǎn)瓶的水為v毫升，列式為：v： （14+7）= 8：14，V = 12

數(shù)學(xué)的思想方法還有很多，如：對(duì)應(yīng)思想方法、假設(shè)思想方法、符號(hào)化思想方法、集合思想方法、統(tǒng)計(jì)思想方法等等，都是我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中需要加以重視的，這里就不再一一贅述。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于培養(yǎng)和開(kāi)發(fā)學(xué)生的潛能，有利于培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣，使學(xué)生會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考和解決問(wèn)題，把知識(shí)學(xué)習(xí)與能力養(yǎng)成、智力發(fā)展有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)。教學(xué)中，筆者建議教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和年齡特征，有意識(shí)地挖掘蘊(yùn)含在教材里的隱性資源，真正把數(shù)學(xué)思想方法的滲透落到實(shí)處，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到有效的發(fā)展，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到全面的提高，為培養(yǎng)新世紀(jì)的新型人才奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

〔參 考 文 獻(xiàn)〕

〔1〕全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔M〕.北京：人民教育出版社，2011.〔責(zé)任編輯：侯慶海〕