張祖林

筆者在中考復習備考教學中，為學生講解直角三角形應用這一內(nèi)容時，選取了下面的一道中考試題：

如圖1，某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處長500米，高10米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫斷面為梯形ABCD）急需加固.經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：沿背水坡面用土石進行加固.并使上底加寬3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：■.

（1）求加固后壩底增加的寬度AF；

（2）求完成這項工程需要土石多少立方米？（結(jié)果保留根號）

坡度、坡比類題目在本市今年中考中不是重點考點，所以在復習完銳角三角函數(shù)及解直角三角形等基礎(chǔ)知識之后，本節(jié)課筆者準備把仰俯角、方位角等問題作為復習重點。選擇本題，主要是本題為學生常見題目且難度不大，同時為了順便簡要復習坡度、坡比等概念，以及為后面復習仰俯角、方位角等重點內(nèi)容作鋪墊，并未把此題作為重點題目來研究。

一、情景再現(xiàn)

上課時，筆者對此題作了簡單的分析。

教師：哪位同學自愿上臺板演此題？

學生積極舉手，筆者請學生1演板，其解答過程如下：

如圖2，分別過點E，D作EG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH∥EG，DH=EG，故四邊形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DH tan∠ADH=10tan45°=10，在Rt△FGE中，i=1∶■=EG∶FG，∴FG=■EG=10■，∴AF=FG+GH-AH=10■+3-10=10■-7

（2）V=S梯形AFED×l=■（3+10■-7）×10×500=25000■-10000

這種解法是解此類題目最常用的方法，以前遇到這類題目，我向?qū)W生講解的就是這種方法，即作梯形兩條高，構(gòu)造矩形和有相等直角邊的兩個直角三角形來求解。但這種解法有部分學生對于FH、FA、AG、AH、FG這些線段間的關(guān)系難以理順，從而阻礙了解題的正常進行，因此每次講評的重點是這些線段間的關(guān)系。因為以前已經(jīng)重點講過，所以簡單點評后，隨意問道：大家都明白了此題的解題方法嗎？學生齊聲回答：明白了！但學生2卻說：明白了是明白了，不過圖形太復雜了，第（1）小題的解法不簡便。

此題并未成為重點題目，我并未打算在此題上花費太多時間，但看到學生2的興奮而急切的神情，為了不挫傷他的學習積極性，我請學生2說說他第（1）小題的解法.

學生2：如圖3，過D作DH⊥AB于H，過D作DN∥EF交AF于N，則四邊形DEFN是平行四邊形， 在Rt△ADH中，可算出AH=10，在Rt△NDH中，i=tan∠EFA=tan∠DNH=DH∶NH=1∶■，可算出NH=10■，故AN=NH-AH=10■-10，則AF=AN+FN=10■-7

這種解法與第一種解法比較，圖形更簡潔，線段間關(guān)系更直接，而且圖形中Rt△DNH與Rt△DAH有公共的直角邊DH，這就構(gòu)成了解直角三角形中最基本的圖形之一，整個解法顯現(xiàn)出通性通法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.若把題目改為：ED=3，AF=10■-7，其它條件不變，求梯形的高，那么這種方法的優(yōu)越性就能體現(xiàn)得淋漓盡致.

老師：真了不起！你的小腦袋瓜是如何想到這種解法的？比老師講的方法要簡潔多了.

學生2（興奮）：我是受解決梯形問題常用的輔助線作法的啟發(fā)，平移梯形的一腰，找到了這種解法的.

在學生2的啟發(fā)下，學生都翻到了第29課時《梯形》一頁，在下面議論起來.在學生議論之時，筆者面臨一個選擇：是繼續(xù)對此題解法進行探究，還是終止探究而進行預設(shè)的內(nèi)容？聽到學生激烈的爭論，看著學生興奮的神情，筆者決定對此題探究到底。

教師：還有不同的解法嗎？

學生3：如圖4，過D作DH⊥AB于H，

延長FE交HD的延長線于P，

在Rt△ADH中，AH=10，

∵DE∥AB，∴∠PED=∠EFA，

則i=tan∠EFA=tan∠PED

=PD∶DE=1∶■，則可得PD=■，故而PH=PD+DH=10+■，在Rt△PFH中，tan∠EFA=PH∶FH=1∶■，∴FH=■PH=10■+3，故AF=FH-AH=10■-7

學生4：如圖5，過點D作DH⊥AB于H，

過F作FM⊥CD交CD的

延長線于M，可得四邊形

MFHD是平行四邊形，

∵DH⊥FH，四邊形MFHD是矩形，

在Rt△ADH中，AH=DHtan∠ADH=10tan45°=10，

△MFE中，tan∠MEF=tan∠EFA=MF∶EM=1∶■，可得EM=10■，而ME+DE=AF+AH，從而可算出AF=10■-7

解直角三角形應用因難度不大，筆者在歷年的中考備考中都沒有給予足夠的重視，而學生在這節(jié)課中卻精彩紛呈，這些解法不僅展現(xiàn)了解直角三角形應用的一般解法，而且展示了常用的梯形研究方法，更暴露出學生的解題思維過程，雖然后面還有仰俯角、方位角等解直角三角形應用的基本例題，但是筆者臨時決定對該例題進行解題反思和變式訓練.

教師：這些解法有什么共同特征嗎？通過此題你會有哪些收獲？請同學們思考、討論、交流.

學生5：這些方法都是過梯形某頂點向底邊作垂線，構(gòu)造直角三角形來完成解題.通過本題，我不僅明白了解直角三角形應用的一般方法，也領(lǐng)悟到梯形輔助線作法的奧妙！

教師：很好，對解法的概括很到位，還有同學愿意發(fā)表自己的觀點嗎？

學生6：大堤加固問題實質(zhì)是梯形類問題，解決問題的策略是把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形與三角形問題.方法二將方法一中的△EFG沿FB平移，使EG與DH重合，而方法四可看作將方法一中線段FG沿EG平移到ME位置.這三種方法關(guān)鍵點是利用圖形中直角三角形相等的直角邊這個條件作為橋梁進行計算.方法三與其它方法區(qū)別是構(gòu)造出以FH為直角邊的直角三角形，方法三解三次直角三角形，而其它方法只解了兩次直角三角形，方法三相當于是延長梯形的兩腰，計算較復雜.

教師：總結(jié)的太妙了！特別是對于由多個直角三角形組合的圖形，點明了解這類題目的關(guān)鍵點——抓住公共直角邊或相等直角邊.依據(jù)以上同學的發(fā)言，你能總結(jié)出解直角三角形應用的策略方法嗎？

學生7：解直角三角形的基本策略是通過作垂線構(gòu)造直角三角形.若圖形中有多個直角三角形時，要利用相等直角邊或公共直角邊進行計算.

教師：總結(jié)的很全面，這也是本節(jié)課的學習目標，希望大家在解題中能熟練運用這些經(jīng)驗和方法.下面的兩道題目，請大家選擇最簡便的方法解題.

二、變式訓練

變式1：如圖6，河流的兩岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小樹，已知相鄰兩樹之間的距離CD=50米，某人在河岸MN的A處測的∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到達B處，測的∠CBN=70°，求河流的寬度CE（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）.（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

變式2：某型號飛機的機翼形狀如圖所示，請根據(jù)圖7中的數(shù)據(jù)計算AC和BD的長.

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三、教學啟示

本節(jié)課預設(shè)的重點題目沒有按計劃進行，而預設(shè)的非重點題目卻成了重點研究對象，但筆者認為課堂上臨時改變是有價值的.

本節(jié)課通過對非重點例題的解法探究，復習、鞏固了解直角三角形應用的一般方法，通過變式訓練達到了對通性通法的理解及內(nèi)化的目的。因此，本節(jié)課僅是題目的變化，而非解題技巧、方法的根本變動，從這個角度來說，盡管本節(jié)課研究的重點題目發(fā)生了變化，但最終卻殊途同歸，最初的預設(shè)目標仍然得以實現(xiàn)。

《全日制義務教育數(shù)學課程標準》指出：學生的數(shù)學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的、富有個性的過程.這就要求教學要站在學生立場上進行。本節(jié)課在學生2的影響下，學生學習積極性和探究興趣被有效激發(fā)，假若繼續(xù)按預設(shè)進行，學生學習積極性和探究欲或許會受到影響.建立的有效學習場有可能被破壞，與其如此，不如在學生情緒高漲的局面下繼續(xù)探究，充分發(fā)揮學生主觀能動性，并適當引導，不但能夠完成預設(shè)目標，而且使學生感受到探究的樂趣，體驗到成功的喜悅。

數(shù)學教學的終極目標是發(fā)展學生思維能力，培養(yǎng)數(shù)學思想方法。學生思維能力的培養(yǎng)需要學生自我暴露思維過程，在思維暴露過程中，教師針對學生思維狀況，可適時引導，及時糾錯，及時總結(jié)，這樣學生的思維能力就易形成、內(nèi)化并得到發(fā)展。在本節(jié)課中，學生在解答例題時，主動地暴露了自己的思維過程，真正融入到數(shù)學活動之中，這是發(fā)展學生思維能力，滲透數(shù)學思想的一個絕佳契機。特別是通過解題反思，使學生系統(tǒng)的、深層次的了解到解直角三角形應用、梯形類題目的內(nèi)在聯(lián)系，并且整合了坡度、坡比、解直角三角形、銳角三角函數(shù)、梯形的研究方法等零散、斷裂、孤立的知識點，形成解題能力，思維能力得到了升華。在這個知識的構(gòu)建、整合過程中，不僅內(nèi)化了知識，升華了解題觀念，更是數(shù)學思想方法特別是數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想的發(fā)展。

蘇霍姆林斯基說：“教學技巧并不在于預見課的所有細節(jié)，在于根據(jù)當時的具體判斷，巧妙地在學生不知不常覺中做出相應變動。”教師在教學時，應有效捕捉學生思維的閃光點，因勢利導，讓課堂非預設(shè)生成無限精彩。

（責任編輯：張華偉）