衛(wèi)保新

摘要：本文通過對三個數(shù)學例題的簡要分析，簡要談了應如何運用坐標法解決平面向量的最值問題，并提出了筆者的一些體會。

關鍵詞：坐標法；平面向量；最值問題

在平面向量中，解決有關最大、最小值問題是高考命題中一個比較常見的熱點問題，題目主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的模、向量的基本運算等重要知識點。解題的方法除了運用數(shù)量積的定義，也可運用數(shù)量積的坐標運算。知識綜合運用三角、不等式、函數(shù)等內(nèi)容。解題的思想體現(xiàn)了數(shù)形結合、等價轉換、函數(shù)與方程等思想方法。在高考和平時的課堂教學中，學生解題過程時很難聯(lián)想到引入直角坐標系、運用坐標建立函數(shù)模型、不等式模型解決問題。

那么，如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼的兀恳皇亲プ☆}中直接或間接的垂直關系；二是抓住題中定量與不定量的關系；三是抓住是否有利于圖形寫出方程的簡單化；四是抓住點的坐標更容易寫出；五是所建立的直角坐標系不影響求解的結論。

下面用具體例子說明建立直角坐標系、運用坐標法解決平面向量最值問題（以下的解法僅給出坐標法說明，原標準方法在此不再列出）

例1.（2010年高考全國卷） 已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么的最小值為（ ）。

解：建立直角坐標系如圖，設圓的方程，

不妨設P在y軸上，設P（0，t）（t>1）

則 ，

化簡得

故

當且僅當時等號成立 ，的最小值為.

說明：在例1中原題中沒有給出圖形，學生在解決問題時雖然能作出圖形，由于點P的不確定性，所以學生不容易聯(lián)想到建立直角坐標系把問題代數(shù)化，在P點的選擇技巧上，由于圓外一點均可作出圓的兩條切線，并且無論點P位于何處，總可以以PO為x軸或y軸建立適當?shù)闹苯亲鴺讼怠１绢}運用了重要的知識點——平均值不等式求最值。

例2.（2011高考全國卷）設向量滿足，

則的最大值等于（ ）.

解：建立直角坐標系如圖，

設 則AC，BC的斜率

化簡得： 即圓M：

的最大值即為圓M上的點到原點距離的最大值為.

說明：在原題目中沒有給出相應的圖形，在畫出的常規(guī)圖形也難以使學生聯(lián)想出到建立直角坐標系，用坐標法去解決問題。在原標準解法中，難點在于學生在作圖中存在不定點C的確定，還有向量夾角的理解，另一難點發(fā)現(xiàn)不了對角互補時四點共圓，且在情況下，才使得OC可以過圓心，作為直徑時，弦長最大即最大。對于運用坐標法解決問題，學生存在對建立坐標的意識不夠，對如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，認知也不透。本題考慮到的特殊性，并且坐標易寫出的特征，問題得以轉化為坐標法，再進一步結合了幾何法解決。

例3.（2009安徽高考） 給定兩全長度為1的平面向量和，它們的夾角為120O，如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若，其中，則的最大值是_____________.

解：不妨令，問題轉化為求的最大值，如

圖建立直角坐標系，則

，點C在圓上

即 由平均值不等式

且

所以的最大值為2 （這里也可以令構造函數(shù)模型）

說明：在原標準解法中，在兩邊點乘向量、轉化為模，且點乘后相加，還有得出，在教學中發(fā)現(xiàn)，學生都不容易推理得到。本題從所給出的圖形中就可以聯(lián)想到建立坐標系，由A，B的坐標寫出C點坐標進一步構造成不等式或函數(shù)的模型解決問題。

從以上三道例題可以看出，在解決向量數(shù)量積、向量的模、向量的夾角等有關問題，以及在求有關最大、最小值問題時，常常會碰到某些難以突破的幾何關系。在題目所給出的幾何條件、幾何關系或所隱藏的幾何關系相對較難尋找的情況下，運用數(shù)量積的定義、向量的幾何意義難以完成解題思路時，培養(yǎng)學生建立直角坐標系、運用坐標法解決問題的意識、運用向量的坐標運算、尋找出變量與變量之間的關系、運用函數(shù)與方程求最值的方法、平均值不等式等解決問題的方法是一種非常好的思想方法。這使學生在碰到困難時，有更強的解決問題的能力。所以，在教學中，教師要想辦法貫穿幾何法、坐標法兩條教學主線，讓學生能在學習中站在高處看問題，解決問題的方法更豐富。教會學生建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担肓俗鴺艘材芎芎玫剡\用函數(shù)與方程的思想、曲線與方程的思想、函數(shù)與不等式等，同時也能培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的數(shù)學素養(yǎng)。