楊忠

摘 要：“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)應(yīng)進(jìn)行教師樂(lè)教、學(xué)生樂(lè)學(xué)、教學(xué)方式多樣化、教學(xué)探究充滿激情和立足于“為了學(xué)生的發(fā)展”的思考。其解題方法除了假設(shè)法、列舉法和方程法外，還應(yīng)該有面積法。其題型應(yīng)有拓展。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；雞兔同籠；教學(xué)方法；教學(xué)思考

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2013）06-0067-03

一、“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)背景

“雞兔同籠”是中國(guó)古代著名趣題之一，大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。書(shū)中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。問(wèn)籠中雞和兔各有幾只？

因?yàn)椤半u兔同籠”問(wèn)題的趣味性和拓展的廣泛性，也因?yàn)槠浣忸}方法的代表性，因此，使得這類問(wèn)題頻頻出現(xiàn)在當(dāng)今的各種小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中或各種奧數(shù)讀本里。在新課改的教材中，“雞兔同籠”也堂堂正正地與小學(xué)數(shù)學(xué)新課程“同籠”。其實(shí)，無(wú)論從哪個(gè)角度來(lái)說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該有“雞兔同籠”的一席之地。也可以這樣說(shuō)：只要有小學(xué)數(shù)學(xué)的存在，就應(yīng)該有“雞兔同籠”的存在。

關(guān)于“雞兔同籠”的教學(xué)，所呈現(xiàn)的景象是：教師樂(lè)教，學(xué)生樂(lè)學(xué)，教學(xué)方式多樣化，教學(xué)探究的文章在有關(guān)刊物屢屢出現(xiàn)。這種教與學(xué)的氛圍、教學(xué)方式的多樣化和滿懷激情的教學(xué)探究，已經(jīng)超越了問(wèn)題本身，促進(jìn)了學(xué)生快樂(lè)地“學(xué)”，教師有效地“教”。

二、“雞兔同籠”教學(xué)中的解題方法

“雞兔同籠”問(wèn)題呈現(xiàn)在教學(xué)中的解題方法，歸納起來(lái)有下面幾種。

問(wèn)題：雞兔同籠，有12個(gè)頭，30條腿。雞、兔各幾只？

（一）假設(shè)法

假設(shè)法就是先假設(shè)全都是雞（或兔），然后根據(jù)由假設(shè)得到的腿數(shù)與實(shí)際腿數(shù)的差，就能求出兔（或雞）的只數(shù)。

解：（30-2×12）÷（4-2）=3（只），12-3=9（只）

答：雞9只，兔3只

（二）列舉法

列舉法就是列出雞和兔的各種可能的情況，然后根據(jù)腿的總數(shù)是否符合來(lái)求解。

答：雞9只，兔3只。

（三）方程法

方程法就是設(shè)雞（或兔）的只數(shù)是x，列一元一次方程即可求解

解：設(shè)雞有x只，則

2x+4（12-x）=30

解得：x=9，12-9=3（只）

答：雞9只，兔3只

（四）面積法

面積法就是將雞與兔的只數(shù)作為長(zhǎng)方形的一邊，每只雞或兔的腿數(shù)作為長(zhǎng)方形的另一邊，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積對(duì)應(yīng)的腿數(shù)來(lái)求解。

解：以長(zhǎng)方形的一邊表示雞與兔的只數(shù)，另一邊表示每只雞或每只兔的腿數(shù)，那么相應(yīng)長(zhǎng)方形的面積表示雞與兔的腿的總數(shù)，如圖所示：

4×12=48（條）

48-30=18（條）

18÷（4-2）=9（只）

12-9=3（只）

答：雞9只，兔3只。

三、關(guān)于“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)思考

（一）關(guān)于解題方法的思考

以上幾種解題方法各有千秋，對(duì)于培養(yǎng)小學(xué)生的發(fā)散思維能力、感悟數(shù)學(xué)的思想和方法、提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感和興趣等方面都將產(chǎn)生非常積極的影響。

假設(shè)法是教學(xué)中用得最多的方法，很多教師一看到“雞兔同籠”問(wèn)題，就定格為假設(shè)法而忽視其他方法。 假設(shè)法也確實(shí)能夠便于小學(xué)生接受，只要學(xué)會(huì)假設(shè)，同時(shí)學(xué)會(huì)尋求兩個(gè)差相除，問(wèn)題就得以解決。假設(shè)法是解決這類問(wèn)題的一種行之有效的方法，而利用兩個(gè)差相除的方法還不僅僅是假設(shè)法才用到。

列舉法應(yīng)該是在學(xué)生還沒(méi)能掌握假設(shè)法之前就能夠想到的方法，這符合兒童的認(rèn)知特點(diǎn)。雖然在列舉的過(guò)程中也許有學(xué)生會(huì)直達(dá)目標(biāo)，但只有列舉出所有情況才能肯定有且只有一個(gè)答案。這就會(huì)自然出現(xiàn)一個(gè)感覺(jué)上不太愉快的問(wèn)題，那就是一一列舉的操作量的問(wèn)題，倘若把題目中的數(shù)據(jù)換大，勢(shì)必帶來(lái)操作量過(guò)大的麻煩。因此，教師還須探究更為簡(jiǎn)便可行的方法。

方程法也應(yīng)該是在學(xué)生能夠想到的方法，對(duì)于小學(xué)高年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，已經(jīng)具備列一元一次方程求解應(yīng)用題的能力。此時(shí)運(yùn)用方程法，可鞏固和提高列方程解應(yīng)用題的能力，同時(shí)能夠感受到方程法在數(shù)學(xué)運(yùn)用上的普適性。這也為學(xué)生進(jìn)入初一階段的學(xué)習(xí)，包括學(xué)習(xí)二元一次方程組，都是一種鋪墊和過(guò)渡。因此，方程法的運(yùn)用不可不提。

面積法，這是一種具有挑戰(zhàn)性的方法，既是對(duì)學(xué)生的挑戰(zhàn)，也是對(duì)教師的挑戰(zhàn)。面積法使得數(shù)與形巧妙地結(jié)合在一起，不僅體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想和方法，而且體現(xiàn)著一種數(shù)學(xué)的美。在這里，腿的數(shù)量存在著雞與兔的只數(shù)和每只雞與兔的腿數(shù)的乘積關(guān)系，而能夠反映兩個(gè)量乘積關(guān)系的幾何意義的平面圖形，莫過(guò)于熟知的長(zhǎng)方形。進(jìn)而，只要是能夠反映兩個(gè)量乘積關(guān)系的應(yīng)用題，教師不妨試一試面積法。這樣，面積法的運(yùn)用就可能轉(zhuǎn)化為一種意識(shí)，就會(huì)隨之而擴(kuò)大運(yùn)用的范圍，如行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、盈虧問(wèn)題，甚至較復(fù)雜的計(jì)算題。事實(shí)上，對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，一旦學(xué)會(huì)了數(shù)形結(jié)合，也就使學(xué)習(xí)進(jìn)入一個(gè)新天地。

那么，只有這些方法都展示出來(lái)，才能顯示其千秋，比較其憂劣。也許有的方法并不簡(jiǎn)便，也并不易于接受，但是各種方法的數(shù)學(xué)內(nèi)涵是不能相互替代的。“雞兔同籠”教學(xué)的目的，并不僅僅是能夠給出一個(gè)求解問(wèn)題的方法，而應(yīng)該是能夠探究出解決該類問(wèn)題的多種方法。否則，怎樣體現(xiàn)新課程理念？又怎樣體現(xiàn)課堂教學(xué)較之奧數(shù)輔導(dǎo)的優(yōu)越性？新課程理念的核心是問(wèn)題的探究，是探究的過(guò)程，是探究的過(guò)程中的創(chuàng)新，從而具有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感、態(tài)度和價(jià)值觀，而傳統(tǒng)教學(xué)和奧數(shù)輔導(dǎo)所缺乏的正是這些。因此，借助“雞兔同籠”的教學(xué)機(jī)會(huì)，就應(yīng)該展示出這些解題方法。

（二）關(guān)于題型拓展的思考

“雞兔同籠”教學(xué)的目的，并不僅僅是能夠求解一個(gè)“雞兔同籠”問(wèn)題，而是能夠求解一類“雞兔同籠”問(wèn)題。事實(shí)上，“雞兔同籠”展現(xiàn)的是這樣一類問(wèn)題：把有聯(lián)系的兩種事物放在一起描述，已知這兩種事物的總數(shù)和關(guān)于這兩種事物本身特有的另一個(gè)數(shù)量，求這兩種事物各自的數(shù)量。這類問(wèn)題就是一個(gè)具有普遍性的問(wèn)題，“雞兔同籠”只不過(guò)是其中的一個(gè)代表，而用“雞兔同籠”來(lái)代表這類問(wèn)題又的確很恰當(dāng)、很經(jīng)典，因此，教師不妨稱這類問(wèn)題為“雞兔同籠”問(wèn)題。

既然“雞兔同籠”是一類題型，那么，在教學(xué)中就應(yīng)該將“雞兔同籠” 拓展為一類問(wèn)題，而不是一個(gè)問(wèn)題，不只是雞兔同籠本身。因此，教師有必要將問(wèn)題進(jìn)行拓展，讓學(xué)生看到形形色色的生活中的“雞兔同籠”類型問(wèn)題。在“雞兔同籠”這個(gè)大類問(wèn)題中，存在著若干小類的問(wèn)題，常見(jiàn)的有下列問(wèn)題：

1.支付問(wèn)題：某零件加工廠按工人完成的合格零件和不合格零件支付工資。工人每做一個(gè)合格零件得工資10元，每做一個(gè)不合格零件被扣除5元。已知某人一天共做了12個(gè)零件得工資90元。那么他在這一天做了多少個(gè)不合格零件？

2.裝載問(wèn)題：有大小兩個(gè)瓶，大瓶可以裝水5千克，小瓶可裝水1千克，現(xiàn)在有100千克水共裝了52瓶。問(wèn)大瓶和小瓶相差多少個(gè)？

3.比賽問(wèn)題：贏一場(chǎng)球賽得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，某隊(duì)踢12場(chǎng)，負(fù)6場(chǎng)得分16分，問(wèn)勝了幾場(chǎng)？

4.計(jì)數(shù)問(wèn)題：一份中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷共15題，答對(duì)一題得8分，答錯(cuò)一題或不做答均倒扣4分。有一個(gè)參賽學(xué)生得分為72，這個(gè)學(xué)生答對(duì)的題目個(gè)數(shù)是多少？

5.購(gòu)買問(wèn)題：紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元。問(wèn)紅、藍(lán)鉛筆各買幾支？

6.工程問(wèn)題：一份稿件，甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成，乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成，現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后，因有事由乙接著打完，共用了7小時(shí)。甲打字用了多少小時(shí)？

7.貸款問(wèn)題：某公司向銀行申請(qǐng)A、B兩種貸款共60萬(wàn)元，每年共需付利息5萬(wàn)元，A種貸款年利率為8%，B種貸款年利率為9%，該公司申請(qǐng)了A種貸款多少萬(wàn)元？

8.年齡問(wèn)題：今年是2012年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲，四年后父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍。那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，是公元哪一年？

9.幣值問(wèn)題：買一些4分和8分的郵票，共花6元8角。已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少?gòu)垼?/p>

10.行程問(wèn)題：從甲地至乙地全長(zhǎng)45千米，有上坡路、平路、下坡路。李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí)3千米，平路速度是每小時(shí)5千米，下坡速度是每小時(shí)6千米。從甲地到乙地，李強(qiáng)行走了10小時(shí)；從乙地到甲地，李強(qiáng)行走了11小時(shí)。問(wèn)從甲地到乙地，各種路段分別是多少千米？

在這些“雞兔同籠”類型的問(wèn)題中，都有對(duì)應(yīng)的“雞”和“兔”，都有對(duì)應(yīng)的“雞腿數(shù)”和“兔腿數(shù)”，都有對(duì)應(yīng)的“雞兔總只數(shù)”和“雞兔總腿數(shù)”。解題時(shí)，只須在頭腦里裝著“雞兔同籠”即可。

（三）關(guān)于教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

“雞兔同籠”來(lái)自人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”，20多年來(lái)首次進(jìn)入教材和課堂，是人教版新課標(biāo)教材的一大亮點(diǎn)。關(guān)于“雞兔同籠”的教學(xué)設(shè)計(jì)，主要是處理好兩個(gè)方面的問(wèn)題，一是關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的定位問(wèn)題，二是關(guān)于教學(xué)時(shí)間的安排問(wèn)題。

1.關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的定位。前面談到，“雞兔同籠”的教學(xué)不應(yīng)該僅僅局限于問(wèn)題本身，而應(yīng)該展示出多種解題方法和“雞兔同籠”題型。那么，教學(xué)目標(biāo)的定位，就應(yīng)該將此作為立足點(diǎn)。下面給出關(guān)于“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)目標(biāo)，僅供參考。

知識(shí)與技能目標(biāo)：

（1）認(rèn)識(shí)“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)趣題，了解與此有關(guān)的數(shù)學(xué)史，學(xué)習(xí)我國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化。

（2）認(rèn)識(shí)“雞兔同籠”的題型，理解、學(xué)習(xí)“雞兔同籠”問(wèn)題的意義。

（3）能運(yùn)用不同方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題。

過(guò)程與方法目標(biāo)：

（1）探究“雞兔同籠”問(wèn)題的各種解題方法。

（2）理解一些基本的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

（1）獲得解決問(wèn)題的成功體驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（2）體會(huì)“雞兔同籠”問(wèn)題在日常生活中的應(yīng)用，進(jìn)而體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

教學(xué)重點(diǎn)：“假設(shè)法”和“面積法”的探究；題型的拓展和認(rèn)識(shí)。

教學(xué)難點(diǎn)：“假設(shè)法”和“面積法”的探究。

需要說(shuō)明的是：（1）這里的教學(xué)目標(biāo)是對(duì)整個(gè)“雞兔同籠”問(wèn)題而設(shè)計(jì)的，一個(gè)學(xué)時(shí)是難以達(dá)到的。（2）“假設(shè)法”、“方程法”和“面積法”具有普遍性和實(shí)用性的運(yùn)用價(jià)值，也是數(shù)學(xué)思想和方法的體現(xiàn)，“面積法”更是數(shù)形結(jié)合的思想和方法的體現(xiàn)。由于“列舉法”的局限性和“方程法”是學(xué)生在五年級(jí)上學(xué)期學(xué)過(guò)的方法，“假設(shè)法”和“面積法”就成為了教學(xué)重點(diǎn)，同時(shí)也是教學(xué)難點(diǎn)。（3）由于“雞兔同籠”的題型也作為教學(xué)的立足點(diǎn)，所以也就成為另一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)。（4）教師首先要對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題要有一定的研究，否則，教學(xué)就只能是照本宣科或就題講題，課堂目標(biāo)就大打折扣。（5）在解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，學(xué)生選用哪種方法均可，不強(qiáng)求運(yùn)用某一種方法，只要學(xué)生會(huì)解決這類問(wèn)題即可，同時(shí)要兼顧學(xué)生之間的差異而做好輔導(dǎo)工作。（6）關(guān)于“面積法”，似乎未曾有人提到，但筆者堅(jiān)持將其作為一種重要的方法，比起“假設(shè)法”來(lái)，其運(yùn)用范圍和數(shù)學(xué)思想都是有過(guò)之而無(wú)不及，況且它直觀形象而易于接受，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有非常重要的意義。（7）對(duì)于“猜測(cè)法”， 我不贊同把它也作為一種讓學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，因?yàn)樗敲つ康?、無(wú)序的、不可操作的。

2.關(guān)于教學(xué)時(shí)間的安排。根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的定位和教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)，教學(xué)時(shí)數(shù)至少應(yīng)該是兩個(gè)學(xué)時(shí)，第一學(xué)時(shí)側(cè)重于“雞兔同籠”問(wèn)題的解題方法，第二學(xué)時(shí)側(cè)重于“雞兔同籠”問(wèn)題的題型拓展。

實(shí)際上，按兩個(gè)學(xué)時(shí)來(lái)達(dá)到教學(xué)目標(biāo)依然是時(shí)間緊張。盡管在教學(xué)中幾種解題方法不宜平均使用，題型的拓展也是有選擇的，但是解題方法的探究過(guò)程、數(shù)學(xué)思想的體會(huì)提煉和題型拓展的認(rèn)識(shí)及其求解方法的鞏固，都需要用一定的時(shí)間。因此，教師不妨轉(zhuǎn)換一下思維和視角，瞄準(zhǔn)課堂教學(xué)以外的時(shí)間。

利用課堂教學(xué)以外的時(shí)間，歷來(lái)（包括傳統(tǒng)的和現(xiàn)在的）都是被為鞏固課堂教學(xué)中學(xué)到的知識(shí)而占有，就是所謂的課外作業(yè)。其實(shí)，教師也在提作業(yè)布置的改革，但就是沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的舉措。我以為，課外作業(yè)的布置除了少量的鞏固當(dāng)天所學(xué)的知識(shí)和方法外，應(yīng)該布置些對(duì)問(wèn)題的探究方面的作業(yè)。這種對(duì)問(wèn)題的探究形式在時(shí)間和空間上都是開(kāi)放的，通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)、制作、擺弄、查閱、訪問(wèn)等形式去探究和發(fā)現(xiàn)，學(xué)生肯定樂(lè)學(xué)，這也正是新課程的價(jià)值取向。

對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)而言，了解與此有關(guān)的數(shù)學(xué)史和解題方法，就可以提前布置給學(xué)生這樣的作業(yè)，同樣又布置下節(jié)課的關(guān)于題型拓展的作業(yè)，這樣就能夠在有限的課堂教學(xué)時(shí)間里從容而有效地完成教學(xué)任務(wù)，教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成就是現(xiàn)實(shí)的和可行的。

總之，關(guān)于“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)思考，也僅僅是思考，是立足于“為了學(xué)生的發(fā)展”的思考，是需要經(jīng)過(guò)教學(xué)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)的。