王佩其

回顧近幾年江蘇新課標(biāo)高考，不等式一直以“解題工具”的形式出現(xiàn)在各種題目中，尤其是一元二次不等式和基本不等式.那么，不等式在高考中涉及哪些考點(diǎn)？讓我們一起登上不等式考點(diǎn)直通車(chē)去探分明.

考點(diǎn)1不等式的性質(zhì)

方法小結(jié)：利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍，要特別注意.錯(cuò)因在于運(yùn)用同向不等式相加這一性質(zhì)時(shí)，不是等價(jià)變形.此類(lèi)問(wèn)題的解決方法是：先建立待求整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”使用不等式的運(yùn)算求得待求整體的范圍.

解析：若x>0，由f（x）<0得x2-1<0，解得0

方法總結(jié)：對(duì)于這類(lèi)分段型不等式，可依據(jù)x的取值及函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)不等式組來(lái)解，這些不等式組解集的并集，就是原不等式的解集.這類(lèi)問(wèn)題也可作出相關(guān)函數(shù)的圖象，從圖中直觀看出答案.

鞏固練習(xí)2已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x2-4x，則不等式f（x）>x的解集用區(qū)間表示為.

答案：（-5，0）∪（5，+∞）；解析：作出f（x）=x2-4x（x>0）的圖象，如下圖所示.由于f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，利用奇

函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)做出x<0的圖象.不等式f（x）>x，表示函數(shù)y=f（x）的圖象在y=x的上方，觀察圖象易得：解集為（-5，0）∪（5，+∞）.

考點(diǎn)3不等式恒成立問(wèn)題

例3設(shè)函數(shù)f（x）=mx2-mx-1.

（1）若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f（x）<0恒成立，求m的取值范圍；

（2）若對(duì)于x∈[1，3]，f（x）<-m+5恒成立，求m的取值范圍.

方法小結(jié)：對(duì)于給定區(qū)間上的不等式恒成立問(wèn)題，可根據(jù)以下幾步求解：第一步，整理不等式（或分離參數(shù)）；第二步，構(gòu)造函數(shù)g（x）；第三步，求函數(shù)g（x）在給定區(qū)間上的最大值或最小值；第四步，根據(jù)最值構(gòu)造不等式求參數(shù)；第五步，反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟.

鞏固練習(xí)3已知不等式xy≤ax2+2y2，若對(duì)任意x∈[1，2]及y∈[2，3]該不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案：[-1，+∞）；解析：因?yàn)閤∈[1，2]及y∈[2，3]，使用數(shù)形結(jié)合可以知道1≤yx≤3，

考點(diǎn)4簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

例4已知x，y滿(mǎn)足約束條件x2+y2≤4x-y+2≥0y≥0，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是.

解析：由z=2x+y，得y=-2x+z.作出不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域，平移直線y=-2x+z，由圖象可知，當(dāng)直線y=-2x+z與圓在第一象限相切時(shí)，直線y=-2x+z的截距最大，此時(shí)z最大.

直線與圓的距離d=|z|22+1=2，即z=±25，所以目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是25.

方法小結(jié)：利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域.（2）考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形.（3）確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解.（4）求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.

鞏固練習(xí)4設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件x-2y≤0，2x-y≥0，x2+y2-2x-2y≤0，，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為.

答案：4；解析：由z=x+y得y=-x+z.作出不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域，平移直線y=-x+z，由圖象可知，當(dāng)直線y=-x+z與圓在第一象限相切時(shí)，直線y=-x+z的截距最大，此時(shí)z最大.直線與圓的距離d=|1+1-z|2=2，即z=0或z=4，所以目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是4.

考點(diǎn)5利用基本不等式求最值

例5（理）定義：min{x，y}為實(shí)數(shù)x，y中較小的數(shù).已知h=min{a，ba2+4b2}，其中a，b均為正實(shí)數(shù)，則h的最大值是.

解析：易得h2≤aba2+4b2=1ab+4ba≤12ab·4ba=14，所以h≤12（當(dāng)且僅當(dāng)ab=4ba時(shí)取等號(hào)）；

故h的最大值是12.

（文）已知向量a=（x-1，2），b=（4，y），若a⊥b，則9x+3y的最小值為.

解析：因?yàn)閍⊥b，所以a·b=4（x-1）+2y=0，即2x+y=2，

所以9x+3y≥29x·3y=232x+y=232=6，所以9x+3y的最小值為6.

方法小結(jié)：利用基本不等式求最值時(shí)，必須注意三點(diǎn)：“一正，二定，三相等”，缺一不可.如果項(xiàng)是負(fù)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為正數(shù)后解決，當(dāng)和（或積）不是定值時(shí)，需要對(duì)項(xiàng)進(jìn)行添加、分拆或變系數(shù)，將和（或積）化為定值.

鞏固練習(xí)5（理）若正數(shù)a，b滿(mǎn)足a2+b22=1，則a1+b2的最大值為.

答案：342；解析：由a2+b22=12a2+b2=2，又a，b為正數(shù)，故

a1+b2=2a2（1+b2）2≤22×2a2+（1+b2）2=342（當(dāng)且僅當(dāng)a=32，b=22取等號(hào)）；

所以a1+b2的最大值為342.

（文）已知x>0，y>0，若2yx+8xy>m2+2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

答案：（-4，2）；解析：因?yàn)閤>0，y>0，所以2yx+8xy≥216=8.

要使原不等式恒成立，只需m2+2m<8，解得-4

考點(diǎn)6不等式的實(shí)際應(yīng)用

例6如圖，兩個(gè)工廠A，B相距2km，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)要在以O(shè)為圓心，2km為半徑的圓弧MN上的某一點(diǎn)P處建一幢辦公樓，其中MA⊥AB，NB⊥AB.據(jù)測(cè)算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數(shù)是1，辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數(shù)是4，辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設(shè)AP為xkm.

（1）求“總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并求出該函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)AP為多少時(shí)，“總噪音影響度”最??？

答：當(dāng)AP為303km時(shí)，“總噪音影響度”最小.

方法小結(jié)：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后用基本不等式求解.在求所列函數(shù)的最值時(shí)，若用基本不等式時(shí)，等號(hào)取不到，可利用函數(shù)單調(diào)性求解.

鞏固練習(xí)6如圖，有一塊邊長(zhǎng)為1（百米）的正方形區(qū)域ABCD.在點(diǎn)A處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角∠PAQ始終為45°（其中點(diǎn)P，Q分別在邊BC，CD上），設(shè)∠PAB=θ，tanθ=t.

（1）用t表示出PQ的長(zhǎng)度，并探求△CPQ的周長(zhǎng)l是否為定值；

（2）問(wèn)探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S至多為多少（平方百米）？