畢宏輝
人教版數(shù)學(xué)四年級下冊編排了“三角形”這一單元,內(nèi)容有三角形的特性、三角形的分類、三角形的內(nèi)角和和圖形的拼組等四個小節(jié)。第一小節(jié)學(xué)習(xí)“三角形的特性”,在這一小節(jié)中要求學(xué)生認識怎樣的圖形是三角形(概念)、認識三角形的高(畫高)、三角形的穩(wěn)定性以及三角形的三邊關(guān)系。作為本小節(jié)的第一課時,通常要學(xué)習(xí)前三個知識點,但如果在這節(jié)課中平均用力學(xué)習(xí)這三個知識點,勢必會影響對三角形高的認識和畫高技能的落實。
任何一個幾何概念的學(xué)習(xí)一般都要經(jīng)歷“具體實物—一般圖形—科學(xué)概念”的過程,基于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(先前在學(xué)習(xí)四邊形時,已經(jīng)對“封閉圖形、四邊條、四個角、四條線段圍成”的認識比較清楚)和教材對三角形概念僅僅是描述性敘述的特征,我采用了淡化概念教學(xué)的過程,不在三角形的概念上作過多的詮釋。
關(guān)于三角形的穩(wěn)定性,現(xiàn)在很多設(shè)計都從原來的“拉一拉三角形框架來感受穩(wěn)定性”上升到“對穩(wěn)定性的本質(zhì)——唯一性的思考”上,我也沒有作過多的渲染。只是將平行四邊形和三角形聯(lián)系起來,讓學(xué)生在“平行四邊形易變形”這個已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗中類比學(xué)習(xí)“三角形的穩(wěn)定性”。
三角形的“高”無疑是這節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的重點,也是教師們公認的學(xué)習(xí)難點。學(xué)生學(xué)習(xí)困難的原因主要有三個:(1)四年級上冊“過直線外一點作直線的垂線”的技能掌握程度對正確理解并畫出“三角形的高”的影響比較大;(2)三角形高的定義比較抽象,“高”的定義又涉及它的畫法,兩者相輔相成;(3)生活中的“高”往往建立在水平面上的,對學(xué)生掌握不同位置底邊上的高帶來一定的負遷移,需要學(xué)生的思維自動從生活概念向數(shù)學(xué)概念作出調(diào)整。具體教學(xué)中,我主要采用了以下幾個策略:(1)溯水求源,尋找三角形“高”的知識源頭;(2)在文本與圖像之間尋找意義的連接點,將抽象的文字轉(zhuǎn)化為直觀的圖像;(3)動態(tài)想象,采用慢鏡頭感悟三角形不同類型的高。(4)整體感悟,從“高”知識點的大背景中類比研究三角形的高。
綜上所述,制訂本節(jié)課的教學(xué)目標:(1)借助學(xué)生原有的對三角形概念的認知和理解,認識三角形各部分的名稱,學(xué)會用字母表示三角形,聯(lián)系平行四邊形易變形的特征理解三角形的穩(wěn)定性及其在生活中的運用;(2)聯(lián)系“點到線段的距離”正確理解三角形底和高的含義,并能正確畫出三角形指定底上的高;(3)在學(xué)習(xí)的過程中感悟數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別,培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。
一、由線段外的一點引入
1.格子圖(邊長為1厘米的正方形)上有兩點A和B,怎樣知道它們的距離?(引出兩點之間線段距離最短,如圖1)
2.線段AB外有一點C,距離線段AB的距離為3cm,你猜猜C點可能會在哪里?為什么?(引出點到線段的距離,如圖2)
3.點C畫在什么位置,到線段AB的距離都是3cm?(引出線段之間的距離,如圖3)
二、三角形的概念
1.想象:將點C分別與線段AB兩端連起來,會出現(xiàn)什么圖形?根據(jù)學(xué)生回答,將點A、點B分別與點C相連,出現(xiàn)5個三角形,如圖4。(教學(xué)用字母表示三角形:三角形ABC,也可以記作:△ABC)
2.你了解哪些三角形的知識?(引出三角形各部分的名稱:3個頂點、3條邊、3個角,請學(xué)生在其中一個三角形中指一指,并用字母表示各部分的名稱)
3.圖5是三角形嗎?為什么?你能用數(shù)學(xué)語言說說怎樣的圖形是三角形嗎?得出:由三條線段圍成的圖形(每相鄰兩條線段的端點相連)叫做三角形。
三、三角形的穩(wěn)定性
1.尋找生活中的三角形。(教師出示三幅圖片,如圖6)
2.討論:電線桿上的支架、自行車的架子、空調(diào)的支架為什么都做成三角形,而不像這個衣架(如圖7)那樣做成四邊形?
引出:平行四邊形容易變形,三角形具有穩(wěn)定性。(教師出示一個三角形和一個平行四邊形框架,請學(xué)生感受平行四邊形容易變形,而三角形具有穩(wěn)定性)
3.求證:三角形具有穩(wěn)定性,平行四邊形卻易變形的原因。
活動:請學(xué)生分別用三根小棒(6cm、4cm、4cm)搭三角形和用四根小棒(6cm、6cm、4cm、4cm)搭平行四邊形。將同學(xué)們搭的圖形串起來,發(fā)現(xiàn)不同的學(xué)生用同樣三根小棒搭出來的三角形都是一樣的,而用同樣四根小棒搭出來的平行四邊形卻不一樣。
師:三角形三條邊的長度固定,所搭三角形的形狀就是唯一的,非常穩(wěn)定,在數(shù)學(xué)上我們稱之為三角形的穩(wěn)定性。而搭平行四邊形,同樣的四根小棒,不同的人搭出不同的形狀,所以平行四邊形不具有穩(wěn)定性。
四、三角形的高
1.高的概念。
(1)出示概念:從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線,頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高,這條對邊叫三角形的底。請學(xué)生自學(xué),說說你是怎樣理解的,你能試著在第一個三角形中畫一畫AB這條底邊上的高嗎?
(2)反饋學(xué)生作品,請學(xué)生說一說你是怎樣畫AB底邊上的高,并請學(xué)生用直角三角尺檢驗“高”畫得是否正確。
(3)指定同學(xué)演示畫高的過程,標出“高”“底”“垂足”的位置(如圖8),并請學(xué)生針對高的定義,說說什么是三角形的“高”“底”和畫高的過程。
(4)溝通三角形的高與點到線段距離的聯(lián)系。
師:作AB邊上的高實際上就是畫什么?(抽象出點到線段的距離,如圖9)
(通過討論,把作高與以前學(xué)過的過直線外一點作直線的垂線段這一舊知緊密聯(lián)系起來,建立了作高的橋梁,正是“轉(zhuǎn)化”這種數(shù)學(xué)基本思想的及時介入,引出學(xué)生對高的進一步辨別和理解,把就技能技巧轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的作垂線段的知識,把新經(jīng)驗納入已有的知識結(jié)構(gòu)中獲得理解,幫助學(xué)生了解認知結(jié)構(gòu)的前因后果、來龍去脈。)
(5)將圖8旋轉(zhuǎn)(如圖10),每旋轉(zhuǎn)一次都引發(fā)學(xué)生思考:現(xiàn)在所畫的這條線段是否還是三角形AB底邊上的高?為什么?(讓學(xué)生針對高的概念說明還是三角形高的道理)
(6)討論:三角形有幾條高?為什么?你能試著畫出AC邊和BC邊上的高嗎?(反饋學(xué)生的作品,進一步理解三角形高的概念)
師:一個三角形有3條底和3條高,你能說說誰是誰的高嗎?(重點引導(dǎo)學(xué)生體驗三角形高與底的對應(yīng)關(guān)系)
2.練習(xí)畫高,引發(fā)動態(tài)想象。
(1)畫出另外3個三角形AB底邊上的高(如圖11)。
(2)觀察這4個三角形AB底上的高,你有什么發(fā)現(xiàn)?
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),這4個三角形邊AB的位置不變,但AB邊上的高卻隨著頂點C逐漸向右移動而逐漸向另一條邊靠攏,最后一個三角形的高與BC邊重合。
師:為什么第4個三角形AB邊上的高與BC邊重合了?
根據(jù)高的概念,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊AB上的高就是過點C作AB的垂線,也就是另一條直角邊BC。
(3)幾何畫板動態(tài)演示,點C沿著底邊的平行線逐漸向右移動,AB邊上的高也逐漸向右移動(向另一條邊靠攏),一直到高與直角邊BC重合(如圖12)。
追問:如果點C繼續(xù)向右移動,這個三角形的高將會怎樣?動態(tài)演示鈍角三角形鈍角對邊上的高逐漸離開三角形,出現(xiàn)在三角形的外面。
(4)想象:如果點C沿著底邊上的平行線逐漸向左移動,三角形AB邊上的高將會有怎樣的變化?請學(xué)生想象后進行描述,教師再用幾何畫板動態(tài)演示,再次感受銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形高的變化。
(5)觀察、體驗三角形“等底等高”的規(guī)律。
師:點C在三角形底邊AB的平行線上不斷移動,就形成許多新的三角形,這些三角形的底和高有什么相同點和不同點?(發(fā)現(xiàn)三角形底邊的位置不變,高的位置卻發(fā)生了變化,但高的長度卻保持不變,也就是“等底等高”)
師:為什么這些高的長度都相等?
生:因為平行線間的距離處處相等。
3.分層練習(xí)畫高,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。
第一層次:畫出下面三角形指定底邊上的高;第二層次:選一個或兩個三角形畫出另外兩條底上的高。(如圖13)
投影顯示學(xué)生的作業(yè),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):銳角三角形的三條高都在三角形里面,并相交于一個點。引發(fā)學(xué)生思考:直角三角形、鈍角三角形的三條高分別在什么位置?它們會不會相交于一點呢?有興趣的同學(xué)可以課外去作進一步探究。
五、課堂回顧,在“高”的大背景中類比、歸納
1.回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。
(小結(jié)怎樣的圖形是三角形,三角形的高和高的畫法,三角形具有穩(wěn)定性的特點。)
2.概念類比:平行四邊形、梯形、三角形的高。
師:今天我們研究的三角形的高與以前研究的平行四邊形、梯形的高相比,有什么相同點和不同點?
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),高都是垂線段;三角形的高是一個頂點到底邊上的距離,平行四邊形和梯形的高是作為底的那組平行線之間的距離;三角形一條底邊上只有一條高,平行四邊形和梯形一組底邊上有無數(shù)條高。將三角形的“高”放在知識的大背景中讓學(xué)生整體感知和有效建構(gòu),從而深化對“高”的理解,使數(shù)學(xué)知識構(gòu)成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。?