本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共21小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

第Ⅰ卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1. 已知x，y∈R，z=i（x+yi）（i是虛數(shù)單位），若

復數(shù)z所對應的點位于第一象限，則（ ）

A. x>0，y>0 B. x>0，y<0

C. x<0，y>0 D. x<0，y<0

2. 集合A={x│x2-4x<0}，Z為整數(shù)集合，則A∩Z=（ ）

A. {1，2，3} B. {0，1，2，3}

C. {1，2，3，4} D. {0，1，2，3，4}

3. 若向量=（1，m），向量滿足+=（3，-1），且││=，則m=（ ）

A. 2 B. -2 C. 0 或 2 D. 0 或-2

4. 設(shè)奇函數(shù)f（x）與偶函數(shù)g（x）的定義域均為R，且在（0，+∞）上是都是遞減的，則下列結(jié)論恒成立的是（ ）

A. f（x）+g（x）為偶函數(shù)

B. f（x）·g（x）為偶函數(shù)

C. f（x）-g（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)

D. g（x）-f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)

5. 已知變量x，y滿足約束條件y≤1，y≥│x│-1，則z=2x+y的最大值為（ ）

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

6. 如圖所示，某四棱錐的正視圖（主視圖）是正方形，側(cè)視圖（左視圖）是直角三角形，俯視圖是等邊三角形，則該幾何體的體積為 （ ）

A. B.

C. D. 2

7. 已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（4，1），且P（X>5）=0.1518，則P（3≤X≤5）=（ ）

A. 0.3036 B. 0.8482 C. 0.6964 D. 0.3482

8. 已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+n（n∈N），將一顆質(zhì)地均勻且各面分別標有1，2，3，4，5，6點數(shù)的正方體骰子連續(xù)拋擲三次，所得點數(shù)記為p，q，r，若3<│p-3│+│q-3│+│r-3│<5，則集合{p，q，r}={a1，a2，a3}（1≤ai≤6，ai∈N，i=1，2，3）的概率是（ ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

二、填空題（本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分）

（一）必做題（9～13題）

9. log363-log37+lg = .

10. 若二項式（xn-）9展開式中的第七項為常數(shù)，則實數(shù)n的值為 .

11. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為，且b2+c2=a2-2，則A=

.

12. 若函數(shù)f（x）=x3-3mx2-1在x=2m處取得極小

值，則實數(shù)m的取值范圍為 .

13. 執(zhí)行如圖上頁所示程序框圖，若輸入s的值為6，則輸出的y的值為 .

（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）

14.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為x=t2，y=t和x=1+cos2，y=1+sin2（為參數(shù)），則它們的交點坐標為 .

15.（幾何證明選講選做題）如圖所示，A，B，C，D是圓O上的點，且B，D關(guān)于圓心O中心對稱，=.過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P. 若圓O的半徑為1，∠APO=30°，則PD .

三、解答題（本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=Asinxcos（x+）+Acosxsin（x+），且f（）=1.

（1）求f（x）的最大值，并指出此時x的的值；

（2）若∈（，），f（）=，求tan2的

值.

17.（本小題滿分13分）道路交通安全法規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20～80 mg/100 ml（不含80）之間，屬飲酒駕車；在80 mg/100 ml（含80）以上時，屬醉酒駕車.某地在一次交通執(zhí)法中檢查到的飲酒駕車和醉酒駕車的人數(shù)共20人，其血液中酒精含量的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求這次檢查中醉酒駕車的人數(shù)；

（2）若從這20人當中隨機抽取2人，記醉酒駕車的人數(shù)為隨機變量，求的數(shù)學期望.

18.（本小題滿分14分）如圖，半圓O的直徑AB垂直于正方形BDEF所在的平面，AE交圓周上另一點C，BC交平面ODF于點G. AB=2a，BD=a.

（1）求證：AE∥平面ODF；

（2）求證：BC⊥平面ODF；

（3）求平面AEF與平面ODF所成的二面角的大小的余弦值.

19.（本小題滿分14分） 已知遞增的等差數(shù)列數(shù)列{an}滿足a2=3，a23=a2a4+4；數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，滿足b1=2，Sn=bn+1-.

（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；

（2）若cn=，求證：當n≥2時，cn≤.

20.（本小題滿分14分）設(shè)橢圓C1：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2上頂點為A，點B（a，0），拋物線C2：y2=x與AB的交點為點M，F(xiàn)2M垂直且平分AB.

（1）求C1橢圓的離心率；

（2）求C1橢圓的方程；

（3）若N為拋物線C2中OM段（不包括端點）上的動點，設(shè)點N到四邊形AMF2F1的四邊距離之和為d，如果d存在最值，請求出其最值；如果不存在，請說明理由.

21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f（x）=ln（x+e）+mx（m為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），當x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值.

（1）求實數(shù)m的值；

（2）若函數(shù)f（x）=ln（x+e）+mx在區(qū)間（a，b）內(nèi)導數(shù)都存在，且a>-e，則存在x0∈（a，b），使f ′（x0）=.請直接利用此結(jié)論證明：若-e

（3）已知正數(shù)1、2、…、n，滿足1+2+…+n=1，求證：當n≥2，n∈N時，對于任意大于-e，且互不相等的實數(shù)x1、x2、…、xn，都有f（1x1+2x2+

…+nxn）>1 f（x1）+2 f（x2）+…+n f（xn）.

2013年高考廣東理科數(shù)學

模擬試題參考答案

一、選擇題

1.【答案】選B. 由z=xi+yi2=-y+xi所對應的點位于第一象限可知：-y>0，x>0，即y<0，x>0，故選答案B.

2.【答案】選A. 由A={x│0

3.【答案】選D. 由=（1，m），+=（3，-1），得=（2，-1-m）.又││=，故m=0 或-2，故選答案D.

4.【答案】選D.由已知可得f（x）+g（x）為非奇非偶函數(shù)，f（x）·g（x）為奇函數(shù)，故答案A、B錯誤.畫出草圖可知：f（x）-g（x）在（-∞，0）上是遞增函數(shù)為正確答案，故選答案D.

5.【答案】選B. 約束條件y≤1，y≥│x│-1所對應的可行域如圖，令z=0，得直線l0：y=-2x，當l0平移至經(jīng)過點C時，目標函數(shù)Zmax=2×2+1=5，故選答案B.

6.【答案】選B.由三視圖還原出的四棱錐如圖所示：平面ABCD⊥平面AED，且四邊形ABCD為邊長為2的正方形，三角形AED為邊長為2的正三角形.故頂點E到底面ABCD的距離為，故VE-ABCD=×2×2×=，選答案B.

7.【答案】選C.由隨機變量X服從正態(tài)分布N（4，1），故正態(tài)分布曲線的對稱軸為X=4，所以P（X>5）=P（X<3）=0.1518，故P（3≤X≤5）=1-2P（X>5）=1-0.3036=0.6964，故選答案C.

8.【答案】選C. 本題考查數(shù)列與概率的綜合問題.由遞推數(shù)列容易有：令a1=t，可以得出a2=1+t，a3=3+t，由1≤ai≤6，ai∈N，i=1，2，3，得1≤t≤3，于是t的取值有三種可能，故p，q，r有：1、2、4；2、3、5；3、4、6三種可能，又因3<│p-3│+│q-3│+│r-3│<5，需淘汰2、3、5這一情況，故概率為P==，故選答案C.

二、填空題

9.【答案】1. 原式=log3+lg10-2=log323-2=2-2=0.

10.【答案】1. 由Tr+1=Cr9（xn）9-r（-1）r=（-1）rCr9

，且r=6時為常數(shù)項，即9n-6n-3=0，解得n=1.

11.【答案】. 由三角形面積公式得：bcsinA=，故bcsinA=1……①；又cosA==-，bccosA=-1……②，由①式除以②式得：tanA=-1，∴ A=.

12.【答案】m>0.由f ′（x）=3x2-6mx=3x（x-2m），又x=2m時取得極小值，故導函數(shù)f ′（x）的圖象大致如圖所示.當02m時，f ′（x）>0；當x=2m時，f ′（x）=0，符合題意.故實數(shù)m的取值范圍為m>0.

13.【答案】.程序依次執(zhí)行如下過程：①y=，x=2，i=3；②y=1，x=3，i=5；③y=，x=4，i=7.此時，i=7>6跳出程序，∴ y=.

14.【答案】（1，2）.曲線C1可化為y2=4x，C2可化為x+y=3（x≥1，y≥1），聯(lián)立組成方程組后解得交點坐標僅為（1，2）.

15.【答案】.連結(jié)AO，則AO⊥AP，由已知可得：∠AOP=60°，且OC=CP=1.連結(jié)BD，則∠BOC=30°，故∠DOP=150°.在△DOP中，用余弦定理解得PD=.

三、解答題

16. 解析（1）：化簡得： f（x）=Asin（2x+）.……1分

又f（）=1，即Asin（2×+）=1，即Asin=1，即Asin=1，解得A=2，……………………………3分

故f（x）=2sin（2x+）.……………………………4分

所以f（x）max=2，此時，2x+=2k+，k∈Z，即x=k+，k∈Z.…………………………………………6分

（2）由f（）=，得sin=.……………8分

因為∈（，），所以cos=-，………9分

故tan==-，…………………………10分

因為tan2===-.…12分

17. 解析：（1）依題意得，血液酒精濃度在[80，100]屬醉酒駕車，設(shè)其人數(shù)為x，………1分

由頻率分布直方圖，有x=（0.015+0.01）×10×20=5，………………………4分

故這次檢查中醉酒駕車的人數(shù)為 5 .………………5分

（2）由已知可得：飲酒駕車的人數(shù)為15，故 =0，1，2.………………………………………7分

P（=0）==，P（=1）==，P（=2）==.……………………………………9分

所以 的分布列為：

………………………………11分

因此 E=0×+1×+2×=0.5，

故的數(shù)學期望為0.5.………………………13分

18. 證明：（1）連結(jié)BE交DF于H，連結(jié)OH交BC于G，如圖①所示.因為四邊形BDEF是正方形，且BD=a，所以BE=DF=2a=AB，………1分

又BO=OA，BH=HE，故OH為三角形ABE的中位線，所以O(shè)H∥AE.…………………………………2分

由于OH平面ODF，AE平面ODF，…………3分

故AE∥平面ODF.…………………………………4分

（2）因為AB為直徑，所以∠ACB=90°，即BC⊥AE， 又因為OH∥AE，所以BC⊥OH.……………5分

由正方形BDEF可知：DF⊥BE， 又因為AB⊥平面BDEF，DF平面BDEF，故DF⊥AB，…………6分

因為AB∩BE=B，所以DF⊥平面ABE，又BC平面ABE，故BC⊥DF，因為DF∩OH=H，………………7分

所以BC⊥平面ODF.………………………………8分

（3）由已知得，以B為原點，建立空間直角坐標系B-xyz，如圖②所示，則B（0，0，0），D（a，0，0），F(xiàn)（0，a，0），A（0，0，2a），E（a，a，0），C（，，a）.………………………10分

由（2）可知，即為平面ODF的法向量，即=（，，a）.………………………11分

設(shè)平面AFE的法向量為=（x，y，1），由=（0，-a，2a），=（a，0，0），·=0，·=0，即（0，-a，2a）·（x，y，1）=0，（a，0，0）·（x，y，1）=0，即x=0，y=，故=（0，，1）.…………………………………………12分

設(shè)平面AFE與平面ODF所成的二面角的大小為，則=<，>，…………………………………13分

故cos=cos<，>==

==.

故平面AFE與平面ODF所成的二面角的大小的余弦值為.………………………………………14分

19. 解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d. ……………………1分

由a23=a2a4+4，得（a1+2d）2=（a1+d）（a1+3d）+4，化簡得d2=4，………………………………………………2分

由數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，故d=2.代入a2=a1+d=3，得a1=1，……………………………………………………3分

故 an=a1+（n-1）·d=2n-1.…………………………4分

由已知Sn=bn+1-……（），得Sn-1=bn-（n≥2）……（），

兩式相減得：bn=bn+1-bn-（n-1），即bn+1=2bn+n-1，即bn+1+（n+1）=2bn+2n，即=2（n≥2），

…………………………………………………6分

當n=1時，由已知Sn=bn+1-及b1=2，聯(lián)立可得：b2=2，即=2，…………………………7分

故=2對一切n∈N恒成立，故數(shù)列{bn+n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

所以bn+n=2×2n-1，即bn=2n-n.……………………8分

（2）『方法一』由（1），得cn==.

……………………………………………9分

當n≥2時，要證cn≤成立，即證≤成立，……………………………………………10分

當n=2時，左邊=，右邊=2，左邊<右邊，命題成立；

當n=3時，左邊==1，右邊=1，左邊=右邊，命題成立；

當n=4時，左邊=，右邊==，左邊<右邊，命題成立；…………………………………11分

當n≥5時，由2n>n2恒成立，可得2n-n>n2-n>0，故≤，………………………………12分

又0<2n-1≤2n，所以≤=，

綜上所述，當n≥2時，成立cn≤.…14分

『方法二』（數(shù)學歸納法）當n≥2時，要證cn≤成立，即證≤成立，…………9分

即證2n+1-2n≥（2n-1）（n-1）成立，即證2n+1≥2n2-n+1成立.………………………………10分

⑴當n=2時，左邊=23=8，右邊=8-2+1=7，左邊>右邊，命題成立.

當n=3時，左邊=24=16，右邊=18-3+1=16，左邊=右邊，命題成立.……………………………11分

⑵假設(shè)當n=k（k≥3）時，命題成立，即2k+1≥2k2-k+1成立.

則2×2k+1≥2（2k2-k+1）=4k2-2k+2，………12分

下證4k2-2k+2≥2（k+1）2-（k+1）+1成立.

要證4k2-2k+2≥2（k+1）2-（k+1）+1成立，則證4k2-

2k+2≥2k2+3k+2，即證2k2-5k≥0，即k（2k-5）≥0，因為k≥3，故k（2k-5）≥0成立，即2（k+1）+1≥2（k+1）2-（k+1）+1成立，即當n=k+1時，命題成立.……13分

綜合⑴⑵得：當n≥2時，cn≤成立.

…………………………………14分

20. 解析：（1）連結(jié)AF2，則│AF2│=│F2B│，

……………………………………1分

又│AF2│=a，│F2B│=a-c，且F2M垂直平分AB，故a=a-c，解得=，即橢圓C1的離心率e=. …………………………………3分

（2）由（1）知：a=2c……（），又A（0，b），B（a，0），故中點M（a，）………4分

由于點M在拋物線C2：y2=x上，故可得（）2=a……（），…………………………………………5分

又因為c2=a2-b2，……（） ………………………6分

聯(lián)立（）（）（）得方程組： a=2c，（）2=a，c2=a2-b2，解得：a=4，b=2，…………………………………………7分

故橢圓C1的方程為：+=1. …………8分

（3）設(shè)N（t2，t）（0<

t<），………9分

由于F2、M分別為F1B與AB的中點，故AF1∥F2M，又F2M垂直AB，若點N到邊AF1的距離為d1，點N到邊F2M的距離為d2，則d1+d2=│AM│.………10分

直線AB的方程為：+=1，因為點N（t2，t）

（0

點N到邊F1F2的距離為d4=t，故d=d1+d2+d3+d4=│AM│-（t2+t-6）+t，由│AM│=2，故d=2-（t2+t-6）+t=-t2+（1-）t+3+2，

…………………………………12分

因為0

又當t∈（0，1-）時，函數(shù)單調(diào)遞增，當t∈（1-，）時，函數(shù)單調(diào)遞減，由于t不取兩個端點值，故d不存在最小值.

綜上所述，當t=1-時，dmax=，d不存在最小值.…………………………………14分

21. 解析：（1）依題意得：f（x）定義域為{x│x>-e}，…………………………………………1分

又f ′（x）=+m，由f ′（0）=+m=0，得m=-，…………………………………………………2分

此時f ′（x）=-=.

當x∈（-e，0）時. f ′（x）>0時，函數(shù) f（x）在區(qū)間（-e，0）上單調(diào)遞增；

當x∈（0，+∞）時， f ′（x）<0，函數(shù) f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；

故函數(shù) f（x）在x=0處取得極大值，故m=-.

…………………………………………………4分

（2）令h（x）=g（x）-f（x）=（x-x1）+f（x1）-f（x），則h′（x）=- f ′（x）. ……………5分

因為函數(shù)f（x）在x∈（x1，x2）上導數(shù)都存在，所以存在x0∈（x1，x2），使得f ′（x0）=.

因為f ′（x）=-，所以h′（x）=f ′（x0）-f ′（x）=-=.…………………………6分

由于當x∈（x1，x0）時，h′（x）<0，所以h（x）在（x1，x0）單調(diào)遞減，h（x）

當x∈（x0，x2）時，h ′（x）>0，所以h（x）在（x0，x2）單調(diào)遞增，h（x）

…………………………………………………8分

（3）數(shù)學歸納法證明如下：

①當n=2時，由于1+2=1，且1>0，2>0，所以1x1+2x2∈（x1，x2），由（2）得f（x）>g（x），即 f（1x1+2x2）>（1x1+2x2-x1）+f（x1）=

（2x2-2x1）+f（x1）=2 f（x2）+2 f（x1）+f（x1）=2 f（x2）+1

f（x1），即f（1x1+2x2）>2 f（x2）+1 f（x1）成立，故當n=2時，結(jié)論成立.

…………………………………………………10分

②假設(shè)n=k（k≥2）時結(jié)論成立，即當1+2+…+k=1時有f（1x1+2x2+…+kxk）>1 f（x1）+2 f（x2）+…+k f（xk）成立，…………………………………11分

則當n=k+1時，設(shè)正數(shù)1、2、…、n+1，滿足1+2+…+n+1=1，令m=1+2+…+k，1=，2=，…，k=，則m+k+1=1，且1+2+…+k=1.

此時，f（1x1+2x2+…+kxk+k+1xk+1）=f（m（1x1+2x2+…+kxk）+k+1xk+1）>mf（1x1+2x2+…+kxk）+k+1 f（xk+1）>m1 f（x1）+m2 f（x2）+…+mk f（xk）+k+1 f（xk+1）=1f（x1）+2 f（x2）+…+k f（xk）+k+1 f（xk+1），所以當n=k+1時，結(jié)論也成立.………………………………………13分

綜合①②可知，對于任意n≥2，n∈N，都有結(jié)論成立.……………………………………………14分

（本試題由江門市新會華僑中學雷小華老師擬制） 責任編校 徐國堅