方斌

習(xí)題來源：浙教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》（上冊(cè)））2.7直角三角形全等的判定課后作業(yè)題第2題（第47頁） ：

如圖，AB⊥AC于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，

P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，AP⊥PC，則

△ ABP≌△PDC。請(qǐng)說明理由。

摘 要：數(shù)學(xué)教材體系有兩條線索：

一條明線是數(shù)學(xué)知識(shí)；一條暗線是數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，應(yīng)賦予學(xué)生什么？是知識(shí)？是技能？是智慧？

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 課堂教學(xué) 技能智慧

引 子：授人以魚，供一餐之需；教人以漁，則終身受用。

數(shù)學(xué)教材體系有兩條線索：一條是數(shù)學(xué)知識(shí)，這是寫在教材上的明線；一條是數(shù)學(xué)思想方法，這是教材編寫的指導(dǎo)思想，是不很明確地寫在教材中的，是一條暗線。前者容易理解，后者不易看明。教師在教學(xué)中常常只注重明線的把握，而忽視了對(duì)暗線的滲透，這其實(shí)無異于買櫝還珠，是相當(dāng)可惜的。因?yàn)樵谖磥淼纳鐣?huì)里，教育的真正意義不在于獲得一堆知識(shí)，而在于掌握學(xué)習(xí)方法、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，而在這個(gè)顯性知識(shí)的背后隱藏著科學(xué)的探索的方法與思維策略，乃至勇于探索的精神。對(duì)于學(xué)生一生來講，方法比知識(shí)重要百倍。因?yàn)閷W(xué)生走出校門之后，可能一輩子再也碰不到數(shù)學(xué)的題目，但是他可用這種方法、策略去面對(duì)紛繁復(fù)雜的人生。在本習(xí)題的教學(xué)中，比較明顯的折射出掌握知識(shí)已不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的，而是成了啟迪數(shù)學(xué)思想方法的載體。

一、 結(jié)論的延伸與拓展

具有較強(qiáng)代表性和典型性的習(xí)題是數(shù)學(xué)問題的精華，教學(xué)不要忽視了這些小題，要善于“借題發(fā)揮”，進(jìn)行一題多解，一題多變，多題組合，引導(dǎo)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)問題的規(guī)律性和方法，以達(dá)到“做一題、通一類、會(huì)一片”的教學(xué)效果，讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù)，真正做到輕負(fù)高質(zhì)，這對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，創(chuàng)新能力，數(shù)學(xué)素質(zhì)，都將起作積極的推動(dòng)作用。

●鏈接 如圖1，AB⊥AC于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)DP是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，AP⊥PC，則ABP≌△PDC。請(qǐng)說明理由。

延伸1：觀察圖形猜想AB、BD、CD之間的關(guān)系，并證明你的猜想。

延伸2：已知A、D是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線L的同側(cè)，分別過這兩點(diǎn)作L的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD、AE、DE，且∠AED=90°。

（1）如圖1，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的長(zhǎng)。

（2）如圖2，若點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明。

再探究：當(dāng)A、D分別在直線兩側(cè)且AB≠CD，而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明。

【點(diǎn)評(píng)】（1）經(jīng)歷觀察猜想到驗(yàn)證的解決問題方法；培養(yǎng)學(xué)生探究能力與解決問題的能力。

（2）讓題設(shè)條件與圖形“動(dòng)”起來，克服思維定勢(shì)和圖形位置定勢(shì)，使學(xué)生習(xí)慣于“開放”與“探究”的思維。

二、條件和結(jié)論互逆變換

●鏈接 兩個(gè)全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如圖3所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，取的BD中點(diǎn)M，連結(jié)EM，EC，試判斷的△CME形狀，并說明理由.

三、弱化條件

當(dāng)一個(gè)命題成立的條件較為豐富時(shí)，可考慮減少其中一兩個(gè)條件，或?qū)⑵渲幸粌蓚€(gè)條件一般化，并確定相應(yīng)的命題結(jié)論，從而加工概括成新的命題以求拓展應(yīng)用。

演變命題1 ：弱化條件“線段相等”則結(jié)論由三角形的全等弱化為三角形相似。

●鏈接 如圖，AB⊥AC于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)， AP⊥PC，則△ABP △PDC。請(qǐng)說明理由。

延伸：如圖5，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（m，6），B（n，1）為兩動(dòng)點(diǎn)，其中0

（1）求證：mn=-6；

（2）當(dāng)S△AOB=10時(shí)，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)且以y軸為對(duì)稱軸，求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，問是否存在直線l，使

若存在，求出直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由

【點(diǎn)評(píng)】（1）添加直角坐標(biāo)系，與函數(shù)結(jié)合，是一道代數(shù)與幾何的綜合題，又是一道解決動(dòng)態(tài)的問題，考查相似三角形、圖形與坐標(biāo)、函數(shù)等知識(shí)；

（2）培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題能力、處理實(shí)際問題能力和應(yīng)變能力。

演變命題2 ：弱化條件“直角”，則“全等三角形”結(jié)論仍然成立。

●鏈接 如圖6或7，△ABC和△CDE中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，AC=CE，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC≌△CDE

。

【點(diǎn)評(píng)】無論如何變換，本質(zhì)是三個(gè)角相等，應(yīng)用三角形相似（全等）來解決。

延伸： 如圖8，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），且∠BEF=120°，設(shè)AE=x，DF=y

（1）求y與x的函數(shù)解析式，

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

【點(diǎn)評(píng)】充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和建立函數(shù)模型求最值問題。

四、基本圖形的構(gòu)造

幾何綜合性問題通常是由若干個(gè)基本問題組合而成，其圖形也是由若干個(gè)基本圖形組合而成，因而，學(xué)生不僅要具備必需的圖形的分解能力，同時(shí)，還應(yīng)具備必需的輔助線構(gòu)造基本圖形的技能。

●鏈接 如圖21，∠MON=90°，MON的內(nèi)部有一個(gè)正方形AOCD，點(diǎn)A，C分別在射線OM，ON上，點(diǎn)B在ON上的任意一點(diǎn)，在∠MON的內(nèi)部作正方形。

⑴連接， 求證： =90°

⑵連接， 猜一猜， 的度數(shù)？并證明你的結(jié)論。

⑶ON上任取一點(diǎn) ，以 為邊。在∠MON的內(nèi)部作出正方形 ，觀察圖形，并結(jié)合（1），（2）的結(jié)論，請(qǐng)你再作出一個(gè)合理的判斷

英國(guó)大哲學(xué)家懷特海說：“盡管知識(shí)技能是智育的一個(gè)主要目標(biāo)，但知識(shí)技能的價(jià)值還有另一個(gè)更模糊但更偉大、更居支配地位的成分，古人把它稱為‘智慧。沒有某些知識(shí)技能基礎(chǔ)，你不可能聰明；但是你也許輕而易舉地獲得了知識(shí)技能，卻仍然缺乏智慧”。智慧不是簡(jiǎn)單的知識(shí)技能的累積，如果一個(gè)人記憶了許多知識(shí)、掌握了很多技能，只會(huì)重復(fù)別人的思想，卻不善于自己獨(dú)立思考，更不會(huì)主動(dòng)探究和創(chuàng)造，那就還沒有智慧。擁有知識(shí)掌握技能的人不等于擁有智慧，但擁有智慧的人一定擁有知識(shí)與技能，更懂得如此運(yùn)用知識(shí)，獲取新知識(shí)。對(duì)教學(xué)而言，“知識(shí)技能”往往關(guān)注的是現(xiàn)成的結(jié)論、現(xiàn)成的答案等，而“智慧”更關(guān)注這些結(jié)論的形成過程，關(guān)注那引人入勝的未知領(lǐng)域，這是知識(shí)技能與智慧的最大區(qū)別。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是思維的旅行。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，應(yīng)賦予學(xué)生什么？是知識(shí)嗎？如果是的話，那它對(duì)我們今后的人生幾乎沒有具體的作用。是技能嗎？那似乎也不夠。愛因斯坦就說過，任何技術(shù)層面的知識(shí)都是可以教會(huì)的，但這不是以構(gòu)成一個(gè)完整的人。數(shù)學(xué)課應(yīng)賦予學(xué)生“知識(shí)”，更要賦予學(xué)生“方法”； 賦予學(xué)生“技能”，更要賦予學(xué)生“智慧”，應(yīng)把數(shù)學(xué)探索的歷程濃縮成一堂課，學(xué)生在探索的世界里蹣跚而行，這樣學(xué)到的數(shù)學(xué)才是真正意義上的數(shù)學(xué)，才會(huì)在今后的生活中真正去用數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]《數(shù)學(xué)教學(xué)論》（羅增儒、李文銘編）

[2]《數(shù)學(xué)教育概論》主編：李玉琪 中國(guó)科技出版社