李園

概念是進(jìn)行判斷、推導(dǎo)推理的基礎(chǔ)，清晰的概念是正確思維的前提。由于數(shù)學(xué)概念是反映空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性、概括性、系統(tǒng)性等特點(diǎn)。所以數(shù)學(xué)概念不是學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的記誦、記憶就能形成的，它需要借助于學(xué)生自己主動(dòng)的思維思考、積極的建構(gòu)才能產(chǎn)生成型。理解數(shù)學(xué)概念就意味著去建立概念的系統(tǒng)，確定概念之間的依存關(guān)系，這就要求在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師應(yīng)充分展現(xiàn)其形成過(guò)程。

一、 揭示概念的形成過(guò)程

數(shù)學(xué)中每個(gè)重要概念的產(chǎn)生歷經(jīng)了前人長(zhǎng)期觀察、比較、分析、抽象、概括、創(chuàng)造了漫長(zhǎng)過(guò)程，其形成過(guò)程蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的思想方法、數(shù)學(xué)創(chuàng)造方法，展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程的教學(xué)可使學(xué)生領(lǐng)悟形成概念的方法，鍛煉思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)內(nèi)在活力。使其在學(xué)習(xí)過(guò)程中處于亢奮狀態(tài)。

讓學(xué)生從大量具體例子出發(fā)，從他們實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，以歸納方式概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性，從而獲得概念叫概念的形成。概念可分為以下幾個(gè)心理活動(dòng)階段，以函數(shù)概念為例進(jìn)行闡述。

⑴觀察實(shí)例，學(xué)生觀察下列事例中，指出變量與變量的關(guān)系。

①以40米/小時(shí)速度行駛的汽車(chē)，行駛的路程s與時(shí)間t。

②用圖表給出的某水庫(kù)的存水量Q與水深h。

③某一天氣溫F與時(shí)刻t。

④某一次考試的班級(jí)學(xué)生成績(jī)m與學(xué)號(hào)n。

⑤一個(gè)數(shù)y是另一個(gè)x的平方。

⑵分析共同屬性。分析各實(shí)例的屬性，并綜合出共同屬性。如上例中各實(shí)例的共同屬性有：①抽象地看成兩變量間關(guān)系②一個(gè)變量隨另一個(gè)變量變化而變化③一個(gè)變量每取定一個(gè)值，另一個(gè)變量有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)。

⑶抽象出本質(zhì)屬性，經(jīng)過(guò)猜想，假設(shè)等過(guò)程，最后得到一個(gè)變量每確定一個(gè)值，另一個(gè)變量也唯一確定一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，這是本質(zhì)屬性。

⑷比較正反實(shí)例，確認(rèn)本質(zhì)屬性，如例④中反過(guò)來(lái)n未必是m的函數(shù)；例⑤中開(kāi)平方x=+y 也不是函數(shù)，強(qiáng)化本質(zhì)屬性，排除非本質(zhì)屬性。

⑸概括出概念含義，把抽象出的本質(zhì)屬性推廣到同類事物，給出名稱。這時(shí)還需要進(jìn)一步區(qū)分各種本質(zhì)屬性的從屬關(guān)系，找出關(guān)鍵的本質(zhì)屬性下定義。

二、 揭示概念的同化過(guò)程

利用學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中原有的概念和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以定義方式直接向?qū)W生提示概念的本質(zhì)屬性，從而獲得概念的方式叫概念的同化。以“一元二次方程”概念教學(xué)為例，提示其同化過(guò)程。

⑴觀察概念的定義，名稱和符號(hào)，揭示概念的本質(zhì)屬性，例如學(xué)習(xí)“一元二次方程”

這個(gè)概念，首先觀察它的定義——含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程。它的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其本質(zhì)屬性有：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)最高次數(shù)為二次，是整式方程。

⑵對(duì)概念進(jìn)行分類，討論各種特殊情況，進(jìn)一步突出概念的本質(zhì)屬性，

⑶把新概念系統(tǒng)化，把新概念同化到原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。如上例，學(xué)生把一元二次方程同化到原有關(guān)于方程的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，區(qū)分一元二次方程與方程，一元一次方程，分式方程，整式方程等概念，并形成一個(gè)關(guān)于方程概念的系統(tǒng)。

概念同化的學(xué)習(xí)過(guò)程，以學(xué)生間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，要求學(xué)生具備較豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并具有積極思維能力和較高的心理活動(dòng)水平，但比較省時(shí)。

三、 重視概念的建構(gòu)過(guò)程

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程，建立起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是其經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)識(shí)的投入和重建，是一種具有探索性的再創(chuàng)活動(dòng)。要求教師是數(shù)學(xué)建構(gòu)活動(dòng)的深謀遠(yuǎn)慮的設(shè)計(jì)者、組織者、參與者、指導(dǎo)者和評(píng)估者?，F(xiàn)以“直線的傾斜角與斜率”一節(jié)教學(xué)為例。

⑴闡述實(shí)際意義，建立概念。黑板上畫(huà)兩個(gè)邊長(zhǎng)差別很大的正方形，請(qǐng)學(xué)生用一三角板畫(huà)出它們的對(duì)角線（其中一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度小于三角板的邊長(zhǎng)，另一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度大于三角板的邊長(zhǎng)），小正方形的對(duì)角線容易畫(huà)出，但大正方形的對(duì)角線卻使 學(xué)生陷入困境，讓學(xué)生自己去選擇方法和探索認(rèn)證，思考畫(huà)直線的理論依據(jù)除兩點(diǎn)確定一條直線外，還有由點(diǎn)與方向確定一定直線，這樣便自然產(chǎn)生了“直線的傾斜角”的概念，進(jìn)而反思，討論用角和數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的不便后，建立起斜率的概念

⑵揭示本質(zhì)，理解概念。引進(jìn)斜率概念后，針對(duì)關(guān)鍵詞進(jìn)行分析，學(xué)生思考之余提出：“討論繞點(diǎn)（2，3）按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周的直線斜率變化情況如何？通過(guò)畫(huà)圖，利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)解決問(wèn)題，從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了傾斜角和斜率的概念的聯(lián)系與區(qū)別及它們?nèi)≈捣秶妥兓厔?shì)，通過(guò)建構(gòu)活動(dòng)，同化或順應(yīng)于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

⑶深入分析比較，深化概念

斜率和傾斜角納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)后，提出問(wèn)題：過(guò)點(diǎn)P（1，1），Q（2，3）的直線的傾斜角與斜率各是多少？鼓勵(lì)學(xué)生探索、創(chuàng)造建立兩個(gè)新的“解析成果”與最基本“解析成果”――點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，討論、概括學(xué)生的思路：

直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)——————直線斜率

正切值的坐標(biāo)表示——————直線傾斜角

如此則形成了斜率坐標(biāo)公式的推導(dǎo)思路，通過(guò)重建充實(shí)了原認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。

⑷加強(qiáng)應(yīng)用，鞏固概念。

選擇典型的循序漸進(jìn)的題組進(jìn)行鞏固，建立起相應(yīng)的應(yīng)用模式。如：

①直線過(guò)點(diǎn)（1，4），（3+1，1）其傾斜角和斜率各是多少？

②已知直線過(guò)點(diǎn)P（3，4），Q（-2-m，-m+5），當(dāng)m為何值時(shí)，直線與x軸平行？當(dāng)m為何值時(shí)，直線與y軸平行？當(dāng)m為何值時(shí)，其傾斜角為3π/4？

③已知點(diǎn)M（-4，7），N（2，15）若直線1傾斜角是直線MN的傾斜角的一半，則1的斜率為多少？

這樣學(xué)生在問(wèn)題激發(fā)下主動(dòng)建構(gòu)，從形成概念、掌握本質(zhì)，直至融概念于原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，建立起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，相對(duì)獨(dú)立地完成數(shù)學(xué)建構(gòu)活動(dòng)，達(dá)到概念理解深刻、全面。

四、組織概念的系統(tǒng)化、整體化的過(guò)程。

數(shù)學(xué)中許多概念的理解和掌握不是一次可以完成的，教師應(yīng)有計(jì)劃地使學(xué)生不斷豐富和加深理解?？梢酝ㄟ^(guò)單元復(fù)習(xí)，階段復(fù)習(xí)，甚至是垮學(xué)年地總結(jié)的方式使所學(xué)的有關(guān)概念系統(tǒng)化和整體化，組織學(xué)生概括、歸納，不斷豐富概念的內(nèi)涵和外延，充實(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例關(guān)于“角”的概念的深化與系統(tǒng)化

⑴平面角：①一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形（靜態(tài)定義）②以一條射線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，順時(shí)針為負(fù)角，不作旋轉(zhuǎn)為零角。

⑵異面直線所成的角：在空間任意取一點(diǎn)，分別引兩條異面直線的平行線所成的銳角或直角，叫做兩條異面直線的所成的角。

⑶直線與平面所成的角。若直線在平面內(nèi)或與平面平行，則所成角為00；若直線與平面垂直，則所成的角為900；平面內(nèi)一條斜線和它在平面內(nèi)射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角。

要對(duì)角的概念形成一個(gè)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還需要進(jìn)一步抽象與概括出都是在“平面角”基礎(chǔ)上發(fā)展與推廣；反之，空間角又都是轉(zhuǎn)化為“平面角”來(lái)表示。這樣建立起穩(wěn)固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法和解題模式。

總之，在概念教學(xué)中要根據(jù)新課標(biāo)對(duì)概念的具體要求，要?jiǎng)?chuàng)造性的使用教材，優(yōu)化概念教學(xué)設(shè)計(jì)，把握概念教學(xué)過(guò)程，真正使學(xué)生在參與的過(guò)程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造，以達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的目的。