王宇

兩個計數(shù)原理是基礎

1.分類計數(shù)原理（加法原理）

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn 種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方法。

2.分步計數(shù)原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法。

3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別

分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。

分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件。

注意：使用分步計數(shù)原理時，一定要分清哪幾個相關步驟，恰當分步。

應用“分類計數(shù)原理”解題時要明確：

（1）什么是“完成一件事”。

（2）分類時，要保證每一類辦法均可以獨立完成。

（3）每個問題中，標準不同，分類也不同，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個適合的分類標準，然后在這個標準下進行分類。

（4）不重不漏。

理解題意，選對方法是關鍵

考排列組合題目往往設定一定的背景，和實際問題結合在一起。讀懂題意，弄明白題目的要求是第一位的。題意要求決定用什么方法解題，如何分步如何分類，有無“序”的要求決定是用排列還是組合。是否存在對“特殊位置”、“特殊元素”的處理。

先來看兩道2012年的高考真題，感悟下高考題目對這部分知識的考核。

例：（2012年北京）從0，2中選一個數(shù)字。從1、3、5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)。其中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）

A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

【解析】由于題目要求的是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇。

如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析（3種選擇）， 之后十位（2種選擇），最后百位（2種選擇），共12種。

如果是第二種情況偶奇奇，分析同理：個位（3種情況），十位（2種情況），百位（不能是0，一種情況），共6種，因此總共12+6=18種情況。

【答案】B

例：（2012年遼寧）一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為：

（A）3×3！ （B） 3×（3！）3 （C）（3?。? （D） 9！

【解析】此排列可分兩步進行，

先把三個家庭分別排列，每個家庭有3！種排法，

三個家庭共有種排法；再把三個家庭進行全排列有3！種排法，

因此不同的坐法種數(shù)為。

【答案】C

介紹幾種方法：

1.相鄰問題——捆綁法

例：6人站成一排，其中甲乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法？

解析：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排——先捆后松。

2.不相鄰問題——插空法

例：6人站成一排，其中甲乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？

解析：除去甲乙兩人的其余四人全排列，四人全排列出現(xiàn)五個空位如圖：

ABCD表示其余四人，甲乙兩人可在五個空位選兩個位置，即滿足題意。

小結：還可以用6人全排列減去甲乙兩人不相鄰的情況。

3.特殊元素、特殊位置——優(yōu)先考慮法

例：羽毛球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有多少種？

解析：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊員，有6種排法，其余7名隊員選出2名安排在第二、四位置，有42種排法，所以不同的出場安排共有 252種。

4.隔板法

對于較復雜的排列問題，可通過設計另一情景，構造一個隔板模型來解決問題。

例：有10個參觀名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？

解析：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插隔板，可把名額分成7份，對應分給7個班級，每一種插板方法對應一種分法共有種分法。

5.分組（堆）問題

分組（堆）問題的六個模型：

①有序不等分；②無序等分；③無序局部等分；④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分。

處理問題原則：

①若干不同元素“等分”為m個堆，要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m！。

②若干不同元素局部“等分”有m個均等堆，要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m！。

③均分堆問題，只要按比例取出分完再用乘法原理作積。

④明確堆的順序時，必須先分堆后再把堆數(shù)當作元素個數(shù)作全排列。

例：有四本不同的書，要發(fā)給三個同學，要求每個同學至少要得到一本書。共有多少種不同的分配方式？

解析：要完成發(fā)包這件事，可以分為兩個步驟：

（1）將四本書分為三“堆”，有

（2）將分好的三“堆”依次給三個同學，有3！=6種給法。

∴共有6×6=36種不同的分配方式。

典型題目記心間

其實排列組合問題，有很多問題只是在考核時，修改了我們常見題目的背景，或是替換了某種表達方式，讓我們同學們覺得很陌生，一時理解不到位，在這里建議同學們對復習過程中的典型題目能非常熟悉，比如組合數(shù)字問題往往是特殊元素、特殊位置問題的處理，分配問題是否要考慮除以m！剔除重復項，位置排列問題可以出現(xiàn)的題目更是數(shù)不勝數(shù)，最后給大家推薦幾道筆者認為近幾年高考題中不錯的幾個小題目，僅供大家參考。

例：（2012年山東）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為：

（A）232 （B）252 （C）472 （D）484

【解析】方法一： ，

方法二：

【答案】C

例：（2012年陜西）兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有：

（A） 10種 （B）15種 （C） 20種 （D） 30種

【解析】先分類：3：0贏，3：1贏，3：2贏，每種情況再分析就很簡單了。

【答案】C

例：（2012年浙江）若從1，2，2，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有：

A.60種 B.63種 C.65種 D.66種

【解析】1，2，2，…，9這9個整數(shù)中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù).要想同時取4個不同的數(shù)其和為偶數(shù)，則取法有：

4個都是偶數(shù)：1種；

2個偶數(shù)，2個奇數(shù)： 種；

4個都是奇數(shù)： 種，

∴不同的取法共有66種。

【答案】D