Peter Rowlett

常聽人說數(shù)學浮于實際——本來嘛，理論不同于實踐，需經由依托才能應用于生活。數(shù)學研究往往先于時代，社會還沒發(fā)展出合適的落腳地，很多數(shù)學理論生來就成了“遺腹子”，少人疼愛。好在她天然的嚴謹和邏輯，許多數(shù)學定理歷經千年依然如是。然后，就在我們最最意想不到的地方與后面趕上來的生產力不期而遇，交匯處生出燦爛的數(shù)學之花。

這里我們編譯了三個理論與實際相遇的故事，把意想不到的數(shù)學應用一一道來。

四元數(shù)：150年后在計算機時代盛開

1843年10月16日，愛爾蘭數(shù)學家漢密爾頓爵士在散步時，突然想到了i2=j2=k2=ijk=-1的方程解，并且創(chuàng)造了形如a+bi+cj+dk的四元數(shù)（a為標量，[bi+cj+dk]為矢量）。為了捕捉這一思想火花，漢密爾頓爵士顧不得保護文物，將方程刻在了正好經過的布魯穆橋上。

這條方程放棄了交換律，是當時一個極端的想法（那時還未發(fā)展出矢量和矩陣）。四元數(shù)是復數(shù)的不可交換延伸。如把四元數(shù)的集合考慮成多維實數(shù)空間的話，四元數(shù)就代表著一個四維空間。漢密爾頓爵士本來正在研究如何把復數(shù)應用于三維空間，但橋上的靈光一現(xiàn)，直接把研究擴展到了四維上去。

四元數(shù)有著漂亮的數(shù)學形式，還適用于地理學、力學和光學的研究。之后的時間里，漢密爾頓爵士把大部分精力都用于推廣四元數(shù)的概念。他死后，接力棒傳到了愛丁堡大學自然哲學教授皮特·格恩里·泰特手中。

著名物理學家威廉·湯姆遜（也稱“開爾文男爵”，熱力學溫標單位開爾文便以他的名字命名）曾說：我和泰特為四元數(shù)爭了38年。兩人合著《自然哲學論》時，曾決定在必要時引入四元數(shù)的概念，但從最終手稿來看，“必要的時候”一直不曾出現(xiàn)。

19世紀末，向量微積分的出現(xiàn)更是搶走了四元數(shù)的光芒。在20世紀中葉的科學和工程界中，矢量幾乎已完全取代四元數(shù)的位置。麥克斯韋曾在他的《電磁場動力理論》直接以20條有20個變量的微分方程組來解釋電力、磁力和電磁場之間的關系。

某些早期的麥克斯韋方程組使用了四元數(shù)來表述，但與后來黑維塞使用四條以矢量為基礎的麥克斯韋方程組表述相比較，使用四元數(shù)的表述并沒有流行起來。人們認為四元數(shù)空有漂亮的數(shù)學結構，沒有什么實際用途，不過是數(shù)學史上又一個無足輕重的腳注罷了。

到了計算機時代，四元數(shù)終于找到了自己的位置。在三維幾何旋轉的計算中比矩陣更有優(yōu)勢，在機器人技術、計算機視覺和圖像編程領域都是極為重要的工具。

150年之后，漢密爾頓爵士他們的研究終于得到了世人的認可。自己種下的理論滋養(yǎng)了全球數(shù)以千億計的計算機產業(yè)，爵爺若地下有知，也應該感到欣慰了。

最密堆積：三個世紀后在信道中相遇

假如在你面前放著一堆橙子，怎么擺放才能最節(jié)約空間？別以為這只是困擾水果店老板的日常煩惱之一。人們可以憑經驗或直覺斷定，把上一層橙子交錯著放到下一層橙子彼此相鄰的凹處，顯然要比直接一個疊一個的擺放更合理。但誰能用數(shù)學證明不存在比這更合理的方法？

1611年，開普勒提出，水果商堆橙子的辦法對空間的利用率最高，可他自己卻沒法給出證明。在400多年的時間里，“開普勒猜想”難倒了眾多數(shù)學家。直到1940年，匈牙利數(shù)學家拉茲洛·費耶·托斯才解決了開普勒猜想的簡化版——圓環(huán)堆積問題。

1998年，一則數(shù)學新聞突然成了各大媒體報道的焦點：美國匹茲堡大學的托馬斯·海爾斯證明了“開普勒猜想”：在箱子里堆放大小一樣的球，用“面心立方體”的堆積方式（即上層圓球安放在下一層圓球中間的各個凹處）使空間利用率最高。也就是說，水果商在箱子里裝橙子的辦法一直都是最有效的。

海爾斯解答了這個提出了400余年的難題，但水果商并不買賬。一位水果攤小販在接受電視臺采訪時說：“這簡直是浪費時間又浪費我們納稅人的錢！”

不過，開普勒和海爾斯的智慧結晶當然不僅僅是用來裝橙子這么簡單——有關最密堆積的研究成果是現(xiàn)代通訊技術的重要工具，是信道編碼和糾錯編碼研究的核心內容。

同樣也是在17世紀，牛頓和大衛(wèi)·格里高里因“牛頓數(shù)問題”爭來爭去。牛頓數(shù)，“Kissing Number”，是與一個n維球外切的等維球的個數(shù)。很容易看出，二維的牛頓數(shù)是6。牛頓確信三維的牛頓數(shù)是12，直到1953年，科特·舒特和范·德·維爾登才給出了一個證明。

2003年，奧萊格·穆辛證明了四維的牛頓數(shù)是24。至于五維的牛頓數(shù)，目前只知道它在40到44之間。不過，我們知道八維的牛頓數(shù)是240，二十四維的牛頓數(shù)是196560，這兩個數(shù)都是美國明尼蘇達大學的安德魯·奧德里茲克在1979年證明的。八維和二十四維的牛頓數(shù)證明起來其實比三維的牛頓數(shù)簡單，它們還跟超密集的球體填充問題有關：八維E8點陣和二十四維Leech點陣。

這些發(fā)現(xiàn)令人驚奇，不過讓普通人一頭霧水的概念有什么實際意義？接下來聽我說。

20世紀60年代，一位叫戈登·朗的工程師正在設計調制解調器系統(tǒng)。他需要從一個繁忙的頻道（例如一個電話線）發(fā)出一個信號，信號由一系列的音調組成。但是，由于一個頻道傳遞的信號過多，經常出現(xiàn)信號無法被完整接收的情況。朗將組成信號的聲音用一串數(shù)字表示，信號即可被當作一個個包含信息的“小球”，為了使發(fā)送的信息量達到最大化，這些“小球”必須被盡可能緊密地排列起來。

20世紀70年代晚期，朗發(fā)明了采用E8堆積法傳遞八維信號的調制解調器。由于這項技術可以通過電話線進行信號傳播，不必重新設計信號電纜，因此大大加快了互聯(lián)網的發(fā)展。

概率論：賭桌上的硬道理到保險業(yè)的發(fā)展

文藝復興時期，意大利出現(xiàn)了一位大學者卡爾達諾，他嗜賭，但賭術并不高明，在賭桌上輸?shù)袅舜蟀鸭耶a。不過，他由此寫下《論賭博游戲》一書，被認為是第一部概率論專著，開創(chuàng)了現(xiàn)代概率論研究的先河，也為今天的精算學做了鋪墊。

一個世紀之后，法國賭徒梅內遇到了難題。他常玩的兩個游戲，一是連續(xù)擲4次色子，看能否扔出一個6；二是擲2個色子，連續(xù)24次，看能否扔出2個6。梅內以為兩者贏錢的概率相等，不過實際情況卻與他想的不一樣。前者他贏多輸少，后者卻是輸多贏少。梅內向朋友數(shù)學家帕斯卡求助，帕斯卡隨后和費馬在信件往來中探討了這個問題，為概率論的發(fā)展打下了基礎。1657年，荷蘭人惠更斯首次公開發(fā)表了概率論著作《論賭博中的計算》。

17世紀晚期，雅各布·伯努利發(fā)現(xiàn)，隨機擲一次色子，每個數(shù)字出現(xiàn)的概率都是1/6，但連續(xù)擲6次色子并不能確保每個數(shù)字都出現(xiàn)。他提出了伯努利實驗，許多實際問題都可歸結為這種模型。更重要的是，伯努利還提出了大數(shù)定律，指在一個隨機事件中，隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率越趨近于一個穩(wěn)定值。這個定律甚至促進了保險業(yè)的發(fā)展。過去，保險公司只敢賣出有限的保單，因為賣出的保單越多，賠付的風險看上去就越高。直到18世紀初，保險公司才開始像現(xiàn)在一樣大肆推銷保險。這都多虧伯努利的大數(shù)定理證明：保單賣得越多，賠付的概率就越趨于穩(wěn)定，風險是可控的。

預測一項科學研究的影響極為困難。不過，最近一項報告指出，即使是理論性最強的數(shù)學研究，也可能在幾十年后產生意想不到的作用。數(shù)學家盡可鉆研理論，然后等其他領域的天才把數(shù)學應用于實際。