徐兆棣，李曉毅

（沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽(yáng) 110034）

0 引 言

系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題是人們研究自然界和人類社會(huì)中各類系統(tǒng)面臨的最基本和最重要的問(wèn)題。而穩(wěn)定性分析是設(shè)計(jì)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)，因此對(duì)系統(tǒng)的控制而言，穩(wěn)定性問(wèn)題尤為重要。

時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性分析是近年來(lái)時(shí)滯系統(tǒng)研究領(lǐng)域的一個(gè)熱門(mén)重要問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題受到眾多研究者的關(guān)注，并已經(jīng)取得很多的研究成果［1－45］。

系統(tǒng)穩(wěn)定性的時(shí)域分析方法主要是基于Lyapunov函數(shù)或泛函，如Lyapunov－Krasovskii泛函或Lyapunov－Razumikhin函數(shù)。它們分別是由Krasovskii和Razumikhin創(chuàng)立于20世紀(jì)50年代，現(xiàn)已成為研究時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)的主要方法。Lyapunov－Krasovskii泛函方法一般要比Lyapunov－Razumikhin函數(shù)方法保守性更低，因此目前在時(shí)域分析中前者的應(yīng)用更多。

近年來(lái)，由于線性矩陣不等式技術(shù)在控制理論中的應(yīng)用和推廣，使得Lyapunov－Krasovskii泛函方法被廣泛關(guān)注并已經(jīng)發(fā)展的比較成熟。這主要得益于凸優(yōu)化技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展使得線性矩陣不等式求解變得非常容易解決。目前，時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主要方法基本就是Lyapunov－Krasovskii泛函加線性矩陣不等式。一個(gè)主要研究的問(wèn)題就是如何降低結(jié)論（主要是穩(wěn)定性判據(jù)）的保守性。對(duì)時(shí)滯相關(guān)的結(jié)論而言，其穩(wěn)定性條件是指系統(tǒng)參數(shù)所滿足的條件能夠保證當(dāng)系統(tǒng)時(shí)滯小于某個(gè)時(shí)滯上界值時(shí)，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。因此，最大容許的時(shí)滯上界值就成為了衡量時(shí)滯相關(guān)條件保守性的主要指標(biāo)。

對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)作時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性分析時(shí)，如何擴(kuò)大系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界以達(dá)到進(jìn)一步降低結(jié)論保守性的目的，是近年來(lái)控制理論界研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。為了得到保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù)，目前使用的主要研究方法有：模型轉(zhuǎn)換方法、時(shí)滯區(qū)間分割（離散Lyapunov泛函）方法、增廣Lyapunov泛函方法、自由權(quán)矩陣方法、積分不等式方法等。

模型轉(zhuǎn)換方法的主要思想是將一個(gè)具有離散時(shí)滯的系統(tǒng)通過(guò)Leibniz－Newton公式轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有分布時(shí)滯的系統(tǒng)，以利于處理。

時(shí)滯區(qū)間分割（包括離散Lyapunov泛函）方法主要思想是將時(shí)滯區(qū)間分割成若干子區(qū)間，然后在每個(gè)子區(qū)間研究，以利于最大程度的逼近保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界。但時(shí)滯區(qū)間分割方法會(huì)帶來(lái)問(wèn)題復(fù)雜程度和計(jì)算量的增加。

增廣Lyapunov泛函方法的主要思想是為減少處理Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)中一些交叉項(xiàng)的困難和麻煩，把系統(tǒng)狀態(tài)x（t）和一些相關(guān)的向量，例如x（t－d（t）），∫˙x（t）dt等組合成一個(gè)高維向量應(yīng)用在Lyapunov泛函的設(shè)計(jì)中以減少處理Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)中一些交叉項(xiàng)放大帶來(lái)的保守性。

自由權(quán)矩陣方法主要思想是將一個(gè)等式兩端同乘一個(gè)適當(dāng)維數(shù)的矩陣（自由權(quán)矩陣），整理后把等于0的所有項(xiàng)的和添加到Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)中以代替或抵消一些和時(shí)滯有關(guān)的項(xiàng)。在最后的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則中一般會(huì)出現(xiàn)這些自由權(quán)矩陣，因而使得相應(yīng)的矩陣不等式有解的可能性增大。但添加過(guò)多的自由權(quán)矩陣會(huì)使計(jì)算量明顯增加而使得計(jì)算困難甚至無(wú)法計(jì)算。此外，已有結(jié)論證明，也不是自由權(quán)矩陣添加的多就一定可以減小保守性。

積分不等式方法主要思想是對(duì)二重積分進(jìn)行界定，以降低保守性。Jensen不等式時(shí)滯系統(tǒng)滯相關(guān)穩(wěn)定性分析中最早使用也是最常用的積分不等式。

1 一般線性時(shí)滯系統(tǒng)

考慮一般連續(xù)線性時(shí)滯系統(tǒng)：

其中：d（t）為系統(tǒng)離散時(shí)滯，0≤d（t）≤d2；A0，A1為常值系數(shù)矩陣；Δf0（x（t），t），Δf1（x（t－d（t）），t）表示系統(tǒng)的不確定性擾動(dòng)。通常對(duì)不確定性擾動(dòng)Δf0（x（t），t），Δf1（x（t－d（t）），t）有兩種約束方法：

其中：ΔA0（t），ΔA1（t）表示系統(tǒng)的參數(shù)不確定性，

D，E0，E1為常值矩陣，F(xiàn)（t）為未知矩陣，滿足條件

在假定（A1）下，系統(tǒng)（1）方程可以寫(xiě)為

近年來(lái)，根據(jù)系統(tǒng)時(shí)滯d（t）滿足不同條件的各種情況，研究者們給出了不同的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

2004年 Wu等［1］考慮了系統(tǒng)（6），其中時(shí)滯d（t）是時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)，并滿足條件

利用Leibniz公式和自由權(quán)矩陣方法，文獻(xiàn)［1］得到了相應(yīng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)［14－15］2002年所得的相應(yīng)結(jié)果。

同是2004年，Jing等［2］考慮了系統(tǒng)（6）中時(shí)滯d（t）與（8）不同的約束條件。當(dāng)d（t）是時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)時(shí)滿足的條件放寬為˙d（t）≤d（d為任意實(shí)數(shù)）。同時(shí)文獻(xiàn)［2］也考慮了d（t）不可微的情況。利用增廣Lyapunov泛函方法得到不同約束條件下時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［14，16］相比較保守性更小，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界更大。

2008年，Peng等［3］考慮了帶有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)（6），即時(shí)滯d（t）的約束條件（3）變?yōu)?/p>

同樣僅僅利用增廣Lyapunov泛函方法，得到不同約束條件下時(shí)滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則。所得結(jié)果具有更小的保守性，改進(jìn)了文獻(xiàn)［17－18］在2005和2006年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［17］相比保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界更大，與文獻(xiàn)［18］相比雖然沒(méi)有得到更大的保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界，但在計(jì)算過(guò)程中使用的變量個(gè)數(shù)更少，計(jì)算更簡(jiǎn)單。

其中系統(tǒng)時(shí)滯d（t）滿足條件（9）且（t）｜≤d的情況。利用增廣Lyapunov泛函方法及一個(gè)積分不等式得到時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則。由于沒(méi)有使用自由權(quán)矩陣，時(shí)滯上界的計(jì)算過(guò)程變量個(gè)數(shù)明顯減少，更易于計(jì)算。改進(jìn)了文獻(xiàn)［19］在2007年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［17］相比保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界更大，與文獻(xiàn)［20］相比雖然沒(méi)有達(dá)到文獻(xiàn)［20］在2007年所得保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界，但在計(jì)算過(guò)程中使用的變量個(gè)數(shù)大大減少，計(jì)算更簡(jiǎn)單。對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)而言，這樣的結(jié)果也是有應(yīng)用價(jià)值的。

2010年，Sun等［5］考慮了系統(tǒng)（10），系統(tǒng)時(shí)滯d（t）滿足條件0＜d1≤d（t）≤d2且（t）≤d的情況。利用增廣Lyapunov泛函方法并首次在Lyapunov泛函中使用了三重積分項(xiàng)，得到了保守性更小的結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［21］在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［21］相比，在時(shí)滯下界不為0的幾種情況，都得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時(shí)滯上界。

2010年，Park等［6］考慮了系統(tǒng)（10），其中系統(tǒng)時(shí)滯d（t）滿足條件（9）且不要求d（t）可微的情況。文中提出了一種反向凸組合技術(shù)并利用此技術(shù)結(jié)果及增廣Lyapunov泛函方法得到保守性較小的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)［21］在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［21］相比，在不要求系統(tǒng)時(shí)滯d（t）可微情況下，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時(shí)滯上界。

2011年，Park等［7］考慮了系統(tǒng)（10），其中系統(tǒng)時(shí)滯d（t）滿足條件（7）且｜（t）｜≤d的情況。利用模型轉(zhuǎn)換技術(shù)得到一個(gè)增廣系統(tǒng)模型，再利用一些積分不等式及增廣Lyapunov泛函方法得到了保守性更小的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)［4，22］在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。

2011年，Zhang等［8］考慮了系統(tǒng)（10），其中系統(tǒng)時(shí)滯d（t）滿足條件

的情況。此前已有不少研究者研究時(shí)滯為常數(shù)的常時(shí)滯系統(tǒng)，利用時(shí)滯區(qū)間分割技術(shù)進(jìn)行了討論，得到不少好的結(jié)果［9－10］。在文獻(xiàn)［8］中，Zhang等把時(shí)滯區(qū)間分割技術(shù)推廣到時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)。利用對(duì)時(shí)滯區(qū)間進(jìn)行優(yōu)化分割的方法，結(jié)合線性積分技術(shù)構(gòu)造增廣Lyapunov泛函得到時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性較好的結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［21，23］在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［21，23］相比，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時(shí)滯上界。

同是2011年，Wang等［11］考慮了與文獻(xiàn)［2］相同的系統(tǒng)（6）且（t）≤d（d為任意實(shí)數(shù)）。利用新的積分不等式和改進(jìn)的逼近方法，精確了不等式放大的精度，減少了保守性，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界的較好結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［24］在2010年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［24］相比，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時(shí)滯上界。

2012年，Liu［12］把文獻(xiàn)［8］的結(jié)果推廣到不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)。Liu考慮了系統(tǒng)（6），其中對(duì)系統(tǒng)時(shí)滯d（t）是否可微兩種情況做了分別研究。同樣是利用新的時(shí)滯區(qū)間分割技術(shù)進(jìn)行了討論，得到較好的結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［25］在2010年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［25］相比較保守性更小，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界更大。

2011年，Ramakrishnan等［13］考慮了系統(tǒng)不確定性滿足假定（A2），即帶有非線性擾動(dòng)的時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)

其中：Δf0（x（t），t），Δf1（x（t－d（t）），t）滿足條件（5），系統(tǒng)時(shí)滯d（t）滿足條件（9）且（t）≤d。利用時(shí)滯區(qū)間分割技術(shù)進(jìn)行了討論，得到保守性更小的時(shí)滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)［26］在2010年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［26］相比，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界更大。

2009年，Li等［4］考慮了系統(tǒng)（6）的標(biāo)稱系統(tǒng)

2 中立型線性時(shí)滯系統(tǒng)

考慮連續(xù)中立型線性時(shí)滯系統(tǒng)：

其中：d（t）為系統(tǒng)離散時(shí)滯；τ（t）為系統(tǒng)中立時(shí)滯，0≤d（t）≤d，0≤τ（t）≤τ。

類似一般時(shí)滯系統(tǒng)，通常對(duì)不確定性擾動(dòng) Δf0（x（t），t），Δf1（x（t－d（t）），t），Δf2（˙x（t－τ（t）），t）有兩種約束方法：

其中：ΔA0（t），ΔA1（t），ΔA2（t）表示系統(tǒng)的參數(shù)不確定性，

D，E0，E1，E2為常值矩陣，F(xiàn)（t）為未知矩陣，滿足條件FT（t）F（t）≤I。

2008年，Yu等［27］考慮了系統(tǒng)（12），其不確定性分別滿足假定（A3）和（A4）情況下系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性。系統(tǒng)離散時(shí)滯和中立時(shí)滯均為時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)，且滿足條件（t）≤hD（t）≤τD＜1。利用Leibniz公式，自由權(quán)矩陣方法，積分不等式及設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函，文獻(xiàn)［27］得到了系統(tǒng)不確定性分別滿足不同情況下系統(tǒng)相應(yīng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)［28］（2004）和文獻(xiàn)［29］（2003）所得的相應(yīng)結(jié)果。數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［28－29］結(jié)果相比，在相同中立時(shí)滯情況下，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的離散時(shí)滯上界更大。

2007年，Zhaog等［30］考慮了系統(tǒng)（16），其中Δf2（t）＝0的情況，即系統(tǒng)方程可以寫(xiě)為

由于中立型線性時(shí)滯系統(tǒng)包含離散時(shí)滯和中立時(shí)滯2種時(shí)滯，所以在考慮保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界時(shí)，通常是固定其中一個(gè)，而計(jì)算另一個(gè)時(shí)滯的上界。例如取中立時(shí)滯的幾個(gè)固定值，分別計(jì)算出相應(yīng)的離散時(shí)滯的上界。

在假定（A3）下，系統(tǒng)（12）方程可以寫(xiě)為

系統(tǒng)中立時(shí)滯τ（t）＝τ為常數(shù)，離散時(shí)滯d（t）是時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)，并滿足條件0≤d（t）≤d

其中d和μ是常數(shù)。利用設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函和積分不等式，避免使用模型轉(zhuǎn)換和界定交叉項(xiàng)帶來(lái)的保守性而得到時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性較好的結(jié)果，同樣改進(jìn)了文獻(xiàn)［28］在2004年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［28］相比，在相同中立時(shí)滯情況下，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的離散時(shí)滯上界更大。

2008年，Liu等［31］考慮了系統(tǒng)（17），但條件（18）減弱為（t）≤μ＜1。利用標(biāo)稱系統(tǒng)

兩端積分得到等式

再利用Leibniz－Newton公式和自由權(quán)矩陣技術(shù)，更好的利用了系統(tǒng)的標(biāo)稱系統(tǒng)信息，減小了保守性，得到較好結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［32］在2007年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［32］相比，在相同中立時(shí)滯情況下，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的離散時(shí)滯上界更大。

2009年，Kwon等［33］考慮了系統(tǒng)（17），其中系統(tǒng)中立時(shí)滯和離散時(shí)滯是相同的時(shí)變連續(xù)可微函數(shù)，τ（t）＝d（t），滿足條件0≤d（t）≤且0≤（t）≤μ＜1。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變量替換p（t）＝F（t）q（t），q（t）＝Eax（t）＋Ebx（t－d（t）），系統(tǒng)（16）可以寫(xiě)為

在對(duì)系統(tǒng)（18）設(shè)計(jì)Lyapunov泛函時(shí)利用了增廣Lyapunov泛函技術(shù)，把未知向量p（t）作為增廣向量的一部分，設(shè)計(jì)了增廣向量ξ（t）：

并利用增廣向量ξ（t）設(shè)計(jì)了Lyapunov泛函，由于未知向量p（t）作為增廣向量ξ（t）的一部分，減少了處理不確定性時(shí)的保守性，同時(shí)利用Leibniz－Newton公式和自由權(quán)矩陣技術(shù)，得到保守性更小的較好結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［34］在2004年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［34］相比，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界更大。作為文獻(xiàn)［33］的特殊情況，當(dāng)系統(tǒng)中立時(shí)滯和離散時(shí)滯是相同常數(shù)時(shí)，其結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)［35－37］分別在2005年和2007年所得的相應(yīng)結(jié)果。

2010年，Qian等［38］考慮了系統(tǒng)（17），其中系統(tǒng)中立時(shí)滯和離散時(shí)滯是不同常數(shù)的情況。利用在雙積分項(xiàng)使用增廣向量技術(shù)構(gòu)造Lyapunov泛函，同時(shí)使用自由權(quán)矩陣技術(shù)，得到保守性較小的較好結(jié)果。2012年，Qian等［39］考慮了系統(tǒng)（17），其中系統(tǒng)中立時(shí)滯和離散時(shí)滯是相同常數(shù)的情況。利用增廣Lyapunov泛函技術(shù)，自由權(quán)矩陣技術(shù)和積分不等式，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大時(shí)滯上界。同是2012年，Balasubramaniam等［40］考慮了系統(tǒng)（17）的標(biāo)稱系統(tǒng)，且系統(tǒng)中立時(shí)滯和離散時(shí)滯是相同的時(shí)變連續(xù)可微函數(shù)的情況，即

利用時(shí)滯區(qū)間分割技術(shù)，得到保守性較小的較好結(jié)果。

文獻(xiàn)［41－43］分別考慮了系統(tǒng)（12），其不確定性滿足假定（A4）的情況。文獻(xiàn)［41］主要是利用自由權(quán)矩陣技術(shù)和更精確的不等式，得到保守性較小的較好結(jié)果。且所得結(jié)果不僅與系統(tǒng)中立時(shí)滯和離散時(shí)滯有關(guān)，而且與其導(dǎo)數(shù)有關(guān)。文獻(xiàn)［42－43］主要是利用設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函技術(shù)，在Lyapunov泛函中引入三重積分項(xiàng)，同時(shí)利用積分不等式和自由權(quán)矩陣技術(shù)獲得保守性較小的較好結(jié)果。

2012年，Chen等［44］考慮了帶有中立時(shí)滯、離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的中立系統(tǒng)：

其中參數(shù)不確定性其中ΔA（t），ΔB（t），ΔC（t），ΔD（t）滿足條件

M，EA，EB，EC，ED，為常值矩陣，F(xiàn)（t）為未知矩陣，滿足條件FT（t）F（t）≤I。利用設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函技術(shù)，在Lyapunov泛函中引入三重積分項(xiàng)，同時(shí)利用自由權(quán)矩陣技術(shù)獲得保守性較小的較好結(jié)果。

時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性的研究是近年來(lái)控制領(lǐng)域研究的熱門(mén)問(wèn)題，相應(yīng)地研究成果也非常多。筆者僅就一般連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)和連續(xù)中立時(shí)滯系統(tǒng)近年的有關(guān)結(jié)果做了簡(jiǎn)單分析。此外，如時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)指數(shù)穩(wěn)定性分析，時(shí)滯相關(guān)H∞穩(wěn)定性分析，離散時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性分析，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性分析等很多相關(guān)內(nèi)容由于篇幅限制，沒(méi)有在本文討論。

［1］WU Min，HE Yang，SHE Jinhua，et al.Delay－dependent criteria for robust stability of time－varying delay systems［J］.Automatica，2004，40（8）：1435－1439.

［2］JING Xinghan，TAN Dalong，WANG Yuechao.An LMI approach to stability of systems with severe tims－delay［J］.IEEE Trans Automal Contr，2004，49（7）：1192－1195.

［3］PENG Chen，TIAN Yuchu.Delay－dependent robust stability criteria for uncertain systems with interval time－varying delay［J］.J Comput Appl Math，2008，214（2）：480－494.

［4］LI Tao，GUO Lei，WU Lingyao.Simplified approach to the asymptotical stability of linear systems with interval timevarying delay［J］.IET Control theory ＆ Applications，2009，3（2）：252－260.

［5］SUN Jian，LIU G P，CHEN Jie，et al.Improved delay－range－dependent stability criteria for linear systems with time－varying delays［J］.Automatica，2010，46（2）：466－470.

［6］PARK P G，KO J W，JEONG C K.Reciprocally convex approach to stability of systems with time－varying delays［J］.Automatica，2011，47（1）：235－238.

［7］PARK M J，KWON O M，PARK J H，et al.A new augmented Lyapunov– Krasovskii functional approach for stability of linear systems with time－varying delays［J］.Appl Math Comput，2011，217（17）：7197－7209.

［8］ZHANG Huaguang，LIU Zhenwei.Stability analysis for linear delayed systems via an optimally dividing delay interval approach［J］.Automatica，2011，47（9）：2126－2129.

［9］GOUAISBAUT F，PEAUCELLE D.Delay－dependent stability analysis of linear time delay systems［C］∥The sixth IFAC workshop on time－delay systems，2006.

［10］HAN Qinglong.A discrete delay decomposition approach to stability of linear retarded and neutral systems［J］.Automatica，2009，45（2）：517－524.

［11］WANG Cheng，SHEN Yi.Improved delay－dependent robust stability criteria for uncertain time delay systems［J］.Appl Math Comput，2011，218（6）：2880－2888.

［12］LIU Pinlin.A delay decomposition approach to robust stability analysis of uncertain systems with time－varying delay［J］.ISA Transactions，2012，51（6）：694－701.

［13］RAMAKRISHNAN K，RAY G.Delay－range－dependent stability criterion for interval time－delay systems with nonlinear perturbations［J］.International Journal of Automation and Computing，2011，8（1）：141－146.

［14］YUE Dong，WON S.An improvement on'Delay and its time－derivative dependent robust stability of time－delayed linear systems with uncertainty'［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47：407－408.

［15］FRIDMAN E，SHAKED U.An improved stabilization method for linear time－delay systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47：1931－1937.

［16］CHEN W Y.Some new results on the asymptotic stability of uncertain systems with time－varying delay［J］.Int J Syst Sci，2002，33（11）：917－921.

［17］XU Shengyuan，LAM J.Improved delay－dependent stability criteria for time－delay systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50（3）：384－387.

［18］PARLAKCI M N A.Robust stability of uncertain time－varying state－delayed systems［J］.IEE Proc.：Control Theory Appl，2006，153（4）：469－477.

［19］HE Yong，WANG Qingguo，LIN C，et al.Delay－rang－dependent stability for systems with time－varying delay［J］.Automatica，2007，43：371－376.

［20］HE Yong，WANG Qingguo，LIN C，et al.Further improvement of free－weighting matrices technique for systems with time－varying delay［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52：293－299.

［21］SHAO Hangyong.New delay－dependent stability criteria for systems with interval delay［J］.Automatica，2009，45：744－749.

［22］QIAN Wei，CONG Shen，SUN Youxian，et al.Nonel robust stability criteria for uncertain systems with time－varying delay［J］.Appl Math Comput，2009，215：866－872.

［23］FRIDMAN E，SHAKED U，LIU K.New conditions for delay－derivative－dependent stability［J］.Automatica，2009，45：2723－2727.

［24］YAN Huaichen，ZHANG Hao，MENG M Q.Delay－rang－dependent robustH∞control for uncertain systems with interval time－varying delays［J］.Neurocomputing，2010，73：1235－1243.

［25］QIAN Wei，WANG Lei，SUN You.Improved robust stability criteria for uncertain systems with time－varying delay［J］.Asian Journal of control，2011，13（6）：1043－1050.

［26］ZHANG Wei，CAI Xiushan，HAN Zhengzhi.Robust stability criteria for systems with interval time－varying delay and nonlinear perturbations［J］.J Comput Appl Math，2010，234（1）：174－180.

［27］YU K W，LIN Changhua.Stability criteria for uncertain neutral systems with interval time－varying delays［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2008，38：650－657.

［28］HAN Qinglong.On robust stability of neutral systems with time－delay and norm－bounded uncertainty［J］.Automatica，2004，40：1087－1092.

［29］YUE Dong，F(xiàn)ANG Jian'an，WON S.Delay－dependent exponential stability of a class of neutral systems with time delay and time－varying，parameter uncertainties：an LMI approach［J］.JSME Int J（Series C），2003，46：245－251.

［30］ZHAO Z R，WANG W，YANG B.Delay and its time－derivative dependent robust stability of neutral control system［J］.Appl Math Comput，2007，187（2）：1326－1332.

［31］LIU Xinge，WU Min，MARTIN R，et al.Stability analysis for neutral systems with mixed delays［J］.Journal of Comput.and Appl Math，2007，202（2）：478－497.

［32］HAN Qinglong.On stability of linear neutral systems with mixed time delays：A discretized Lyapunov functional approach［J］.Automatica，2005，41：1209－1218.

［33］KWON O M，PARK J H，LEE S M.Augmented Lyapunov functional approach to stability of uncertain neutral systems with time－varying delays［J］.Appl Math Comput，2009，207（1）：202－212.

［34］YUE Dong，HAN Qinglong.A delay－dependent stability criterion of neutral systems and its application to a partial element equivalent circuit model［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems－ Ⅱ，2004，51：685－689.

［35］XU Shengyuan，LAM J，ZOU Yun.Further results on delay－dependent stability conditions of uncertain neutral systems［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2005，15：233－246.

［36］PARLAKCI M N A.Robust stability of uncertain neutral systems：a novel augmented Lyapunov functional approach［J］.IET Control Theory and Applications，2007，1：802－809.

［37］PARLAKCI M N A.Delay－dependent robust stability criteria for uncertain neutral systems with mixed time－varying discrete and neutral delays［J］.Asian Journal of Control，2007，9：411－421.

［38］QIAN Wei，LIU Juan，SUN Youxian，et al.A less conservative robust stability criteria for uncertain neutral systems with mixed delays［J］.Mathematics and Computers in Simulation，2010，80：1007－1017.

［39］QIAN Wei，LIU Juan，F(xiàn)EI Shumin.New augmented Lyapunov functional method for stability of uncertain neutral systems with equivalent delays［J］.Math Comput Simul，2012，84：42－50.

［40］BALASUBRAMANIAM P，KRISHNASAMY R，RAKKIYAPPAN R.Delay－dependent stability of neutral systems with time－varying delays using delay－decomposition approach［J］.Applied Mathematical Modelling，2012，36（5）：2253－2261.

［41］QIU Fang，CUI Baotong，JI Yan.Further results on robust stability of neutral system with mixed time－varying delays and nonlinear perturbations［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（2）：895－906.

［42］LAKSHMANAN S，SENTHILKUMAR T，BALASUBRAMANIAM P.Improved results on robust stability of neutral systems with mixed time－varying delays and nonlinear perturbations［J］.Appl Math Model，2011，35（11）：5355－5368.

［43］KRISHNASAMY R，BALASUBRAMANIAM P，KRISHNASAMY R.Delay dependent stability analysis of neutral systems with mixed time－varying delays and nonlinear perturbations［J］.J Comput App Math，2011，235（8）：2147－2156.

［44］CHEN Huabin，ZHANG Yong，ZHAO Yong.Stability analysis for uncertain neutral systems with discrete and distributed delays［J］.Appl Math Comput，2012，218（23）：11351－11361.

［45］劉暢，徐兆棣，高杰.具有時(shí)變時(shí)滯的中立型系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性［J］.沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，29（1）：4－7.