孫香政，王 剛，郭志想，陸志東

(中航工業(yè)西安飛行自動(dòng)控制研究所，西安710065)

微機(jī)電系統(tǒng)MEMS(Micro-Electro Mechanical Systems)是20世紀(jì)80年代隨著硅微機(jī)械加工技術(shù)的發(fā)展而逐漸成長(zhǎng)起來(lái)的。MEMS的特征尺度在微米量級(jí)，集傳感技術(shù)、致動(dòng)技術(shù)和控制技術(shù)于一體。隨著MEMS技術(shù)的發(fā)展，MEMS陀螺越來(lái)越多地應(yīng)用于慣性導(dǎo)航技術(shù)中。與其他慣性導(dǎo)航器件相比，MEMS陀螺具有重量輕、體積小、成本低和便于大批量生產(chǎn)的優(yōu)點(diǎn)，在軍用和民用領(lǐng)域都有著廣闊的發(fā)展前景。

傳統(tǒng)MEMS振動(dòng)陀螺采用單質(zhì)量塊敏感科氏力，從而反應(yīng)角速率信號(hào)。外界振動(dòng)與加速度信號(hào)會(huì)直接影響單質(zhì)量塊陀螺的輸出，嚴(yán)重影響陀螺性能［1－2］。針對(duì)單質(zhì)量塊陀螺的缺點(diǎn)，目前廣泛采用的方案是使用差分式結(jié)構(gòu)的音叉式陀螺，通過(guò)差分輸出信號(hào)降低振動(dòng)與加速度信號(hào)的干擾［3－5］。音叉式陀螺結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的要點(diǎn)是獲得同頻、等幅、反向的振動(dòng)模態(tài)［6－8］。受工藝與電路的限制，兩個(gè)獨(dú)立的單質(zhì)量塊陀螺難以實(shí)現(xiàn)上述要求，需要引入耦合結(jié)構(gòu)。常見的耦合結(jié)構(gòu)為彈性梁和杠桿，以及其衍生結(jié)構(gòu)。使用彈性梁作為音叉式陀螺的耦合結(jié)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工藝實(shí)現(xiàn)難度低、線性度好等優(yōu)點(diǎn)，但存在同向振動(dòng)模態(tài)頻率低于反向振動(dòng)模態(tài)頻率的問題。使用杠桿作為音叉式陀螺的耦合結(jié)構(gòu)，能夠使同向振動(dòng)模態(tài)頻率高于反向振動(dòng)模態(tài)頻率，提高振動(dòng)性能，但其結(jié)構(gòu)復(fù)雜、工藝控制難度大，線性度差。因此，目前大多數(shù)陀螺的耦合結(jié)構(gòu)都采用彈性梁結(jié)構(gòu)。

本文針對(duì)使用彈性梁作為耦合結(jié)構(gòu)的音叉式陀螺結(jié)構(gòu)，闡釋其工作原理，建立振動(dòng)模型。通過(guò)理論計(jì)算與有限元仿真，分析音叉式陀螺振動(dòng)特性，并提出彈性梁耦合結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

1 工作原理

如圖1所示，一種典型的音叉式陀螺包括對(duì)稱的兩個(gè)單質(zhì)量塊陀螺結(jié)構(gòu)，以及中間的耦合結(jié)構(gòu)。陀螺工作時(shí)，驅(qū)動(dòng)電極施加電信號(hào)，通過(guò)電容變化產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)力，分別驅(qū)動(dòng)左右兩部分沿x軸同頻、等幅、反向振動(dòng)。當(dāng)有z軸角速率信號(hào)輸入時(shí)，產(chǎn)生科氏加速度，敏感質(zhì)量塊沿y軸同頻、等幅、反向振動(dòng)。通過(guò)對(duì)檢測(cè)電容進(jìn)行差分運(yùn)算，可以解算角速率信號(hào)。

圖1 音叉式陀螺結(jié)構(gòu)示意圖

對(duì)于單質(zhì)量塊陀螺，當(dāng)任意軸向上有線加速度信號(hào)時(shí)，檢測(cè)電容都會(huì)發(fā)生變化，即產(chǎn)生角速率信號(hào)輸出值。而對(duì)于音叉式陀螺，線加速度信號(hào)引起兩側(cè)質(zhì)量塊產(chǎn)生同向位移，檢測(cè)電容變化趨勢(shì)一致，通過(guò)差分計(jì)算，輸出角速率值不變。

實(shí)際情況中，由于工藝與電路的限制，左右兩部分的質(zhì)量、剛度系數(shù)、阻尼、驅(qū)動(dòng)力幅值等不完全對(duì)稱［9－10］。在驅(qū)動(dòng)力激勵(lì)下做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，左右兩部分可能出現(xiàn)振動(dòng)特性不對(duì)稱，引起差分結(jié)果的偏差。另外，如果左右兩部分獨(dú)立振動(dòng)，二者諧振頻率的差別和驅(qū)動(dòng)力相位不對(duì)稱會(huì)增加電路后處理的難度［5］。

2 理論計(jì)算

2.1 物理模型

如圖2所示，將陀螺驅(qū)動(dòng)模態(tài)簡(jiǎn)化為一個(gè)二自由度系統(tǒng)［11－13］，耦合結(jié)構(gòu)為彈性梁，簡(jiǎn)化為一個(gè)剛度為k0的彈簧，研究其受簡(jiǎn)諧力作用的情況。根據(jù)音叉式陀螺的工作原理，施加在左右兩側(cè)的驅(qū)動(dòng)力相位相差180°，沿x軸方向作用。

圖2 音叉式陀螺驅(qū)動(dòng)模態(tài)物理模型

設(shè)定坐標(biāo)系如圖2，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

其中，x1和x2分別為驅(qū)動(dòng)模態(tài)下兩側(cè)的位移，F(xiàn)1和F2分別為兩側(cè)驅(qū)動(dòng)力的幅值，m1和m2分別為兩側(cè)敏感質(zhì)量，D1和D2分別為兩側(cè)的阻尼，k1和k2分別為兩側(cè)的總剛度，k0為耦合彈簧的剛度。

設(shè)

其中，C1和C2分別為兩側(cè)驅(qū)動(dòng)位移的幅值，代入式(1)，得

其中

使用|C1|/|C2|表示振幅的不對(duì)稱性。根據(jù)式(3)，得振幅不對(duì)稱性為

系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)，式(1)變?yōu)?/p>

將式(2)代入，可得

求解ω，即系統(tǒng)的固有頻率為k0的函數(shù)。

2.2 振幅不對(duì)稱性與彈簧剛度關(guān)系

由于工藝和電路引起的陀螺不對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化為剛度不對(duì)稱、驅(qū)動(dòng)力幅值不對(duì)稱和質(zhì)量不對(duì)稱3種情況，下面分別研究系統(tǒng)在3種情況下的運(yùn)動(dòng)特性。

2.2.1 剛度不對(duì)稱

k1≠k2，m1=m2=m，D1=D2=D，F(xiàn)1=F2=F 時(shí)，式(4)變?yōu)?/p>

振幅不對(duì)稱性由驅(qū)動(dòng)力頻率、陀螺兩側(cè)的頻率、質(zhì)量和阻尼決定。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率ω為常數(shù)時(shí)，振幅不對(duì)稱性與耦合彈簧剛度k0無(wú)關(guān)。實(shí)際陀螺工作時(shí)，應(yīng)該將驅(qū)動(dòng)力頻率ω設(shè)置為與系統(tǒng)固有頻率ωn相等，此時(shí)振幅不對(duì)稱性為耦合彈簧剛度k0的函數(shù)，改變k0對(duì)振幅不對(duì)稱性有影響。

2.2.2 驅(qū)動(dòng)力幅值不對(duì)稱

F1≠F2，k1=k2=k，m1=m2=m，D1=D2=D 時(shí)，

對(duì)于系統(tǒng)自由振動(dòng)的情況，由式(6)可得

對(duì)于系統(tǒng)受迫振動(dòng)的情況，根據(jù)式(3)與式(9)，

因此，系統(tǒng)在任意諧振頻率下的振型都與主振型相同。在該情況下|C1|/|C2|≡1，與耦合彈簧剛度k0無(wú)關(guān)。

2.2.3 質(zhì)量不對(duì)稱

m1≠m2，k1=k2=k，D1=D2=D，F(xiàn)1=F2=F 時(shí)，式(4)變?yōu)?/p>

與剛度不對(duì)稱的結(jié)果類似，振幅不對(duì)稱性由驅(qū)動(dòng)力頻率、陀螺兩側(cè)的頻率、質(zhì)量和阻尼決定。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率ω為常數(shù)時(shí)，振幅不對(duì)稱性與耦合彈簧剛度k0無(wú)關(guān)。驅(qū)動(dòng)力頻率ω設(shè)置為與系統(tǒng)固有頻率ωn相等時(shí)，振幅不對(duì)稱性為耦合彈簧剛度k0的函數(shù)，改變k0對(duì)振幅不對(duì)稱性有影響。

3 有限元仿真

3.1 有限元模型

MEMS陀螺設(shè)計(jì)過(guò)程中，可以通過(guò)有限元軟件進(jìn)行仿真分析，提高設(shè)計(jì)效率。動(dòng)力學(xué)分析的目的是確定慣性和阻尼等起作用時(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為。利用ANSYS軟件對(duì)音叉式陀螺進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，包括模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析兩部分。模態(tài)分析能夠獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率，諧響應(yīng)分析能夠獲得結(jié)構(gòu)在已知頻率和幅值在正弦載荷作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

根據(jù)典型的陀螺結(jié)構(gòu)，建立如圖3所示的質(zhì)量等效簡(jiǎn)化模型。

圖3 音叉式陀螺結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型

仿真參數(shù)采用單晶硅材料參數(shù)，其中密度ρ=2 329 kg/m3，彈性模量 E=130 GPa，泊松比 μ=0.28，阻尼比 ξ=1×10－5。

通過(guò)改變耦合梁的幾何尺寸，調(diào)整其剛度。分別在剛度不對(duì)稱、驅(qū)動(dòng)力幅值不對(duì)稱和質(zhì)量不對(duì)稱3種情況下進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，驅(qū)動(dòng)力頻率分別設(shè)定為系統(tǒng)固有頻率和非固有頻率，研究耦合梁剛度變化對(duì)陀螺振動(dòng)特性的影響。

3.2 仿真結(jié)果

3.2.1 剛度不對(duì)稱

通過(guò)改變左右兩側(cè)彈性梁的幾何尺寸，調(diào)整其剛度，使k1=0.9k2。驅(qū)動(dòng)力頻率與系統(tǒng)固有頻率相同的情況下，|C1|/|C2|與耦合梁長(zhǎng)度的關(guān)系如表1所示。

表1 剛度不對(duì)稱、固有頻率下耦合梁與振幅不對(duì)稱性關(guān)系

仿真值與計(jì)算值一致。k0對(duì)系統(tǒng)固有頻率有影響，進(jìn)而影響工作在固有頻率點(diǎn)的陀螺振幅不對(duì)稱性。k0越大，振幅不對(duì)稱性越小。

在非固有頻率下激勵(lì)，取驅(qū)動(dòng)力頻率為f=10 000 Hz，|C1|/|C2|與耦合梁長(zhǎng)度的關(guān)系如表2所示。

表2 剛度不對(duì)稱、非固有頻率下耦合梁與振幅不對(duì)稱性關(guān)系

仿真值與計(jì)算值一致。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率為恒定時(shí)，k0對(duì)陀螺振幅不對(duì)稱性無(wú)影響。

3.2.2 驅(qū)動(dòng)力幅值不對(duì)稱

設(shè)置驅(qū)動(dòng)力幅值F1=0.9F2。驅(qū)動(dòng)力頻率與系統(tǒng)固有頻率相同的情況下，|C1|/|C2|與耦合梁長(zhǎng)度的關(guān)系如表3所示。

表3 驅(qū)動(dòng)力不對(duì)稱、固有頻率下耦合梁與振幅不對(duì)稱性關(guān)系

在非固有頻率下激勵(lì)，取驅(qū)動(dòng)力頻率為 f=10 000 Hz，|C1|/|C2|與耦合梁長(zhǎng)度的關(guān)系如表4所示。

表4 驅(qū)動(dòng)力不對(duì)稱、非固有頻率下耦合梁與振幅不對(duì)稱性關(guān)系

仿真值與計(jì)算值一致。驅(qū)動(dòng)力幅值不對(duì)稱對(duì)陀螺振幅不對(duì)稱性無(wú)影響。在該情況下，振幅不對(duì)稱性恒為1。

3.2.3 質(zhì)量不對(duì)稱

通過(guò)改變左右兩側(cè)質(zhì)量塊的幾何尺寸，調(diào)整其質(zhì)量，使m1=0.9m2。驅(qū)動(dòng)力頻率與系統(tǒng)固有頻率相同的情況下，|C1|/|C2|與耦合梁長(zhǎng)度的關(guān)系如表5所示。

表5 質(zhì)量不對(duì)稱、固有頻率下耦合梁與振幅不對(duì)稱性關(guān)系

仿真值與計(jì)算值一致。k0對(duì)系統(tǒng)固有頻率有影響，進(jìn)而影響工作在固有頻率點(diǎn)的陀螺振幅不對(duì)稱性。k0越大，振幅不對(duì)稱性越小。

在非固有頻率下激勵(lì)，取驅(qū)動(dòng)力頻率為 f=10 000 Hz，|C1|/|C2|與耦合梁長(zhǎng)度的關(guān)系如表6所示。

表6 質(zhì)量不對(duì)稱、非固有頻率下耦合梁與振幅不對(duì)稱性關(guān)系

仿真值與計(jì)算值一致。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率為恒定時(shí)，k0對(duì)陀螺振幅不對(duì)稱性無(wú)影響。

4 結(jié)論

對(duì)于音叉式陀螺，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率恒定時(shí)，在剛度不對(duì)稱、驅(qū)動(dòng)力幅值不對(duì)稱和質(zhì)量不對(duì)稱3種情況下，耦合結(jié)構(gòu)的剛度對(duì)陀螺振幅不對(duì)稱性無(wú)影響。但是，耦合結(jié)構(gòu)的剛度對(duì)音叉式陀螺的固有頻率有影響，進(jìn)而影響工作在固有頻率點(diǎn)時(shí)陀螺的振型。通過(guò)提高耦合結(jié)構(gòu)剛度，提高陀螺固有頻率，能夠有效降低振幅不對(duì)稱性。設(shè)計(jì)陀螺時(shí)，需綜合考慮對(duì)固有頻率和對(duì)振幅不對(duì)稱性的需求，調(diào)整左右兩部分的剛度和質(zhì)量以及耦合結(jié)構(gòu)的剛度。

［1］ Singh T P，Sugano K，Tsuchiya T，et al.Analysis of Acceleration Sensitivity in Frequency Decoupled MEMS Tuning Fork Gyroscope［J］.Procedia Engineering，2011，25:51－54.

［2］ 陳偉平，郭玉剛，陳曉亮，等.雙質(zhì)量塊微振動(dòng)陀螺設(shè)計(jì)與仿真［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，41(7):30－33.

［3］ Trusov A A，Schofield A R，Shkel A M.Vacuum Packaged Silicon MEMS Gyroscope with Q-Factor Above 0.5 Million［J］.IMAPS Device Packaging Conference 2010，March 2010:152－153.

［4］ Tatar E.Quadrature Error Compensation and Its Effects on the Performance of Fully Decoupled MEMS Gyroscopes［D］.M.S.Thesis，Middle East Technical University，September 2010.

［5］ Green J A，Sherman S J，Chang J F，et al.Single-Chip Surface Micromachined Integrated Gyroscope with 50°/h Allan Deviation［J］.IEEE J of Solid-State Circuits，2002，37(12):1860－1866.

［6］ Sharma，Zaman M F，Zucher M，et al.A 0.1 °/h Bias Drift Electronically Matched Tuning Fork Mircogyroscope［J］.IEEE MEMS 2008，Jan.2008:6－9.

［7］ Zaman M F，Sharma A，Ayazi F.High Performance Matched-Mode Tuning Fork Gyroscope［J］.Proc IEEE MEMS 2006，2006:66－69.

［8］ Sharma，Zaman M F，Amini B，et al.A High-Q In-Plane SOI Tuning Fork Device［J］.IEEE Sensors 2004，Oct.2004:467－470.

［9］ Trusov A A，Schofield A R，Shkel v.Micromachined Rate Gyroscope Architecture with Ultra-High Quality Factor and Improved Mode Ordering［J］.Sensors and Actuators A，2011，165:26－34.

［10］ Azgin K，Temiz Y，Akin T.An SOI-MEMS Tuning Fork Gyroscope with Linearly Coupled Drive Mechanism［J］.MEMS 2007，Jan 2007:607－610.

［11］ Thomson W T，Dahleh M D.Theory of Vibration with Applications［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2005:49－147.

［12］遲曉珠，崔健，閆桂珍.MEMS陀螺振動(dòng)特性試驗(yàn)技術(shù)［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2008，21(4):559－562.

［13］劉恒，何曉平，蘇偉，等.微機(jī)械音叉寫真器動(dòng)力學(xué)分析與仿真［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2009，22(3):325－330.