鄭作龍

[摘要]空間兩平面的相交問題，是畫法幾何的重要內(nèi)容之一，平面交線求法具有一定的技巧性，本文就有形平面的交線求法及可見性判斷作個(gè)探討。

[關(guān)鍵詞]有形平面；交線求法；可見性判斷

有形平面往往表現(xiàn)為幾何多邊形，相交兩平面間的關(guān)系可分為兩種類型：其一，某平面的兩條對(duì)應(yīng)邊線分別穿過另一平面（全貫），如圖（1）中△ABC的AC和BC邊穿過△DEF。其二，相交兩平面中各有一條邊線分別穿過對(duì)方平面（互貫），如圖（2）中△ABC的BC邊穿過△DEF，同時(shí)，△ABC亦被DE邊所穿過。這里的Km₁和Km₂為對(duì)應(yīng)邊線與另一平面的“貫穿點(diǎn)”，其連線即兩平面間的交線。

空間兩平面的交線求法可運(yùn)用輔助平面法（即三面共點(diǎn)的原理）來求解。具體到有形平面求交時(shí)，一般做法是包含平面的邊線作輔助平面，求出兩個(gè)貫穿點(diǎn)然后連線。如圖（3）求△ABC和△DEF的交線，可分別包含AC和EF邊作輔助正垂面，求出對(duì)應(yīng)的貫穿點(diǎn)Km₁和Km₂，將兩個(gè)貫穿點(diǎn)連接起來，就是兩個(gè)平面的對(duì)應(yīng)交線。

值得注意的是，僅根據(jù)圖（3）已知條件，無法判斷線面間的貫穿關(guān)系。解題時(shí)，究竟應(yīng)該包含哪條邊線去作輔助平面不得而知，也就難以準(zhǔn)確地求出兩個(gè)對(duì)應(yīng)交點(diǎn)。其實(shí)在求作兩平面的交線問題上，只要善于分析，弄清相交兩平面對(duì)應(yīng)邊線與另一平面交點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系和投影規(guī)律，問題也就變得簡(jiǎn)單了。

參與相交的兩平面之邊線，只要不與另一平面保持平行，就一定能找到對(duì)應(yīng)交點(diǎn)。雖然有時(shí)所作輔助平面求出的不一定是真正意義上的交點(diǎn)Km₁和Km₂，但它一定在所求交線Km₁ Km₂的延長(zhǎng)線上。如圖（3）中的km₂就是邊線DF和△ABC平面輪廓外的對(duì)應(yīng)交點(diǎn)，它必在交線Km₁Km₂的延長(zhǎng)線上。求解過程中倘若首先求出的是Km₁和Km₃點(diǎn)，其連線必交于AC邊上的Km₂，連接Km₁ Km₂同樣能求出交線。這里Km₂km₃不在兩平面投影輪廓的公共范圍內(nèi)，不屬于交線的投影。因此，兩平面相交時(shí)，平面上任一邊線與另一平面的關(guān)系不平行則相交，只要相交就能求出對(duì)應(yīng)交點(diǎn)，且交點(diǎn)一定在兩面交線（或其延長(zhǎng)線）上。

由此可見，在相交兩平面的投影圖中，無論包含哪條邊線作輔助平面均能求出對(duì)應(yīng)交點(diǎn)（當(dāng)邊線平行于另一平面時(shí)例外），且交點(diǎn)屬于兩平面交線。作圖時(shí)任取兩條邊線作輔助平面就能求出平面交線。

應(yīng)注意的是，作圖的關(guān)鍵在于求出“貫穿點(diǎn)”，求解的時(shí)候可能出現(xiàn)兩種種情形：

1.所求交點(diǎn)同時(shí)位于兩平面的輪廓范圍內(nèi)（如圖3中的Km₁和km₂），此點(diǎn)即貫穿點(diǎn)，可直接定出交線。

2.所求交點(diǎn)位于某個(gè)平面的輪廓線上（如圖3中的km₃），此時(shí)應(yīng)通過該點(diǎn)連線，找到連線上的對(duì)應(yīng)貫穿點(diǎn)，最后確定交線。

關(guān)于可見性的判斷：空間兩平面相交時(shí)，其輪廓線在投影圖中不可避免地存在遮擋關(guān)系。當(dāng)求出平面交線后，還應(yīng)進(jìn)一步判斷出對(duì)應(yīng)輪廓的可見性，以確定交線周圍重疊部分輪廓的虛、實(shí)關(guān)系。

在圖（3）所示的正面投影中，當(dāng)交線Km₁Km₂求出后，需要判斷Km₁1、12、……56、6Km₁各段投影的可見性，然后用規(guī)定的線型完成全圖。方法是任取一對(duì)重影點(diǎn)，判斷出其相鄰兩條邊線的可見性，并由此推出其余各段邊線的可見性。這里以重影點(diǎn)1（m）為例來說明可見性的判斷方法：點(diǎn)1屬于邊線EF、點(diǎn)M屬于邊線BC，由于1m_Y大于Mm_Y，故判斷出Km₁1段為實(shí)線、12段為虛線，其余各段則依次為實(shí)線、虛線的交替變換，不需另取重影點(diǎn)來作判斷。也就是說在平面的投影中，重疊輪廓部分相鄰兩段圖線的性質(zhì)必定相反，表現(xiàn)為實(shí)線和虛線相間，判斷一對(duì)便知全部。要注意的是，這里所指的“重影點(diǎn)”，一點(diǎn)是兩個(gè)平面輪廓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。另外，水平投影的可見性判斷方法相同，恕不贅述！

參考文獻(xiàn)

1、西安交通大學(xué)工程制圖教研室《畫法幾何及工程制圖》.陜西科學(xué)技術(shù)出版社.1982

2、周鵬翔劉振魁主編《工程制圖》高等教育出版社2006