謝家文

軌跡是事物運(yùn)動(dòng)留下的痕跡，它稍縱即逝，但借助點(diǎn)線面把事物的運(yùn)動(dòng)軌跡連接起來，卻可以得到可視的形體，從廣義上說任何規(guī)則形體都是由點(diǎn)、線、面作一定運(yùn)動(dòng)的軌跡所形成。筆者從運(yùn)動(dòng)軌跡出發(fā)，以培養(yǎng)和提升學(xué)生的抽象思維能力為目標(biāo)，提升學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)。下面就以《圓柱的認(rèn)識(shí)》教學(xué)為例談一些嘗試與思考。

一、猜測(cè)運(yùn)動(dòng)軌跡，讓思維轉(zhuǎn)向，孕伏抽象思維

片段實(shí)錄一：

（以魔術(shù)話題導(dǎo)入，呈現(xiàn)長方形紙片，詢問學(xué)生是否相信通過魔力可以用這張紙創(chuàng)造立體圖形，當(dāng)學(xué)生各種用動(dòng)手操作的答案被教師否定，滿眼充滿疑惑眼神時(shí)，教師和學(xué)生出現(xiàn)下面的互動(dòng)情形。）

師：老師把這個(gè)長方形，以寬為軸心，旋轉(zhuǎn)一周，你們閉上眼睛想象一下會(huì)成什么圖形？

生：（閉起眼睛想了一會(huì)兒，答案多元，但更多是圓柱。）

師：是什么圖形呢？請(qǐng)看大屏幕（多媒體演示一個(gè)長方形繞寬旋轉(zhuǎn)一周后得到一個(gè)圓柱）。

生：哦，圓柱也可以這樣得來（部分學(xué)生小聲說）。

生活中的圓柱常是一種靜止的幾何體，它外顯、直觀，但筆者卻不是直接呈現(xiàn)，而是繞著關(guān)子出現(xiàn)。首先通過魔術(shù)話題，去吸引學(xué)生，讓他們不但好奇，更重要的是集中注意力，然后適時(shí)拋出“一個(gè)長方形，以寬為軸心，旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)成什么形？”讓學(xué)生去猜測(cè)和思考，這時(shí)抽象思維之門為學(xué)生打開，學(xué)生靜思默想之時(shí)，也是抽象思維訓(xùn)練之時(shí)，隨后用多媒體演示其形成過程，不但驗(yàn)證其猜測(cè)的正確與否，更把抽象過程用動(dòng)畫顯現(xiàn)出來，也把學(xué)生腦中或零碎或不正確的想像過程或聯(lián)結(jié)或糾正過來了。抽象過程可視化了，培育了抽象思維。

思考：教師的教學(xué)方式，決定著學(xué)生的思維方向，圖形的認(rèn)識(shí)，教師的常用教學(xué)方式是直接呈現(xiàn)直觀實(shí)物或聯(lián)系生活中的實(shí)物導(dǎo)入。這就把學(xué)生的思維方式引向了直觀動(dòng)作思維，而采用猜測(cè)運(yùn)動(dòng)軌跡的方式，一是需要學(xué)生想象，二是想象時(shí)還要把運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行聯(lián)結(jié)，抽象思維得到鍛煉不言而喻。更重要的是，學(xué)生的思維方式發(fā)生了轉(zhuǎn)向，在轉(zhuǎn)向中，孕伏著抽象思維。這樣，在接下來圖形的特征認(rèn)識(shí)中，學(xué)生才更有可能往這方面去思考。其實(shí)在第二學(xué)段圖形的認(rèn)識(shí)教學(xué)時(shí)，大多數(shù)圖形都可以往這方面進(jìn)行嘗試，如長方體可以看成長方形平移而成，圓形可以看作一條線段繞一端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成等?？傊畬W(xué)生的思維方式與教師給予學(xué)生的思維指向密切相關(guān)。

二、借用運(yùn)動(dòng)軌跡，予特征重塑，發(fā)展抽象思維

片段實(shí)錄二：

（擺出許多圓柱實(shí)物，讓學(xué)生充分觀察、操作、比較后提問圓柱的特征，并追問學(xué)生是通過什么方式感知到這些特征，面對(duì)學(xué)生答案基本上是通過觀察、操作、比較感知時(shí)，教師和學(xué)生出現(xiàn)下面的互動(dòng)情形。）

師：如果你不用觀察、觸摸、比較，能用其它的方法解釋圓柱的特征嗎？

生：（沉默。）

師：回憶一下，剛上課時(shí)圓柱是怎么得來的？

生1：哦，我知道了，圓柱是由一個(gè)長方形繞著寬旋轉(zhuǎn)而來的，長方形的長就是上下兩個(gè)圓的半徑，所以上下兩個(gè)底面是同樣的圓形。

生2：我也知道了，圓柱的側(cè)面是由寬旋轉(zhuǎn)而成的，所以圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面。

生3：……

圓柱的特征，可以由學(xué)生通過觀察、觸摸、測(cè)量、比較等各種對(duì)實(shí)物的操作活動(dòng)而得到，但筆者沒有局限于此，而是用“能用其它的方法解釋圓柱的特征嗎？”引起學(xué)生另類的深度思考，在學(xué)生想另僻蹊徑，而又無從下手之時(shí)，又拋出“回憶圓柱的由來”，學(xué)生自然而然會(huì)用運(yùn)動(dòng)軌跡去思考圓柱的特征，這樣學(xué)生擺脫了形象思維的束縛，而是用摸不著的抽象思維去重塑圓柱的特征，這里的特征感知同通過觸摸等各種活動(dòng)得來的特征，完全是不在同一層次的思維之物。在圓柱特征得到重塑之時(shí)，抽象思維也得到進(jìn)一步的發(fā)展。

思考：圖形的特征，是只要知道怎么樣，還是要知道為什么這樣呢？對(duì)于第二學(xué)段的學(xué)生來說顯然要達(dá)到第二層次。是通過觀察比較得知還是通過圖形內(nèi)在的“機(jī)理”而悟，當(dāng)然第二種方式更好，那是深一層的思維發(fā)現(xiàn)。而運(yùn)用運(yùn)動(dòng)軌跡去探尋圖形的特征就是悟內(nèi)在的“機(jī)理”，這樣的圖形特征不再是感性的，而是理性的，不但知道是什么，更知道為什么會(huì)成這樣？這樣相當(dāng)于重塑圖形特征，重塑之時(shí)，也是學(xué)生抽象思維的發(fā)展之時(shí)。其實(shí)只要是規(guī)則圖形，它的特征都可以運(yùn)用它的運(yùn)動(dòng)軌跡去解釋，如圓因?yàn)樗且粭l線段繞一端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，所以它的所有半徑會(huì)相等，只不過我們的教師是否意識(shí)到了？是否指引學(xué)生往這方面思考呢？

三、發(fā)展運(yùn)動(dòng)軌跡，促認(rèn)識(shí)提高，提升抽象思維

片段實(shí)錄三：

師：課始，我們知道了，圓柱可以由一個(gè)長方形以一條寬為軸心，旋轉(zhuǎn)一周而得到。圓柱還可以通過其它方法而得到嗎？（大家閉起眼睛想一想。）

（生閉起眼睛想了一會(huì)兒。）

生1：可以看成一個(gè)圓，不斷向上或向下平移而成。

師：你真會(huì)想象，是這樣嗎？請(qǐng)看大屏幕。（多媒體演示這種情形。）

師：還有其它的方法嗎？

生2：看作一個(gè)長方形，圍繞長的中軸線，旋轉(zhuǎn)而成。

師：是這樣嗎？請(qǐng)看大屏幕。（多媒體演示這種情形。）

師：這時(shí)長是圓柱底面的什么？

生2：直徑。

師：還有嗎？

生：……

師：圓柱就是這么神奇，除了可以用紙等不同的材料制作出，還可以用不同的平面形體通過平移或旋轉(zhuǎn)而得來，這種過程是一種運(yùn)動(dòng)過程，需要我們用腦在想像中構(gòu)建。

我們平時(shí)看到的圓柱，更多是實(shí)物體。可視之物，對(duì)第二學(xué)段的學(xué)生來講理解“通過材料怎么制作得來？”并不難，如果教學(xué)僅要求他們知道用材料制造圓柱的方法，就顯得有點(diǎn)膚淺，學(xué)生的思維得不到多大的發(fā)展。但筆者不滿足于此，要求學(xué)生從抽象的角度出來，想像它的另一翻得來，它是課始圓柱通過運(yùn)動(dòng)由來的進(jìn)一步發(fā)展，需要學(xué)生的抽象思維，在圓柱的軌跡運(yùn)動(dòng)得到進(jìn)一步發(fā)展之時(shí)，歷練了學(xué)生的抽象思維，抽象思想當(dāng)然也得到了提升。

思考：當(dāng)學(xué)生知道了圖形是由事物的運(yùn)動(dòng)軌跡得來的，思維的方向不一樣，思維的深度也不一樣，如果能讓學(xué)生從軌跡的角度去分析它的別樣來源，那么學(xué)生就要去掉物體的許多非本質(zhì)性東西，抽象出本質(zhì)性東西，這種認(rèn)識(shí)是對(duì)圖形的高層次認(rèn)識(shí)，同時(shí)也激活了學(xué)生的思維，這應(yīng)該成為我們廣大教師的一種追求，所以要求學(xué)生從發(fā)展的角度去看待運(yùn)動(dòng)軌跡，去找尋不同的運(yùn)動(dòng)軌跡，開闊他們的視野，發(fā)展他們的思維。其實(shí)生活中許多規(guī)則物體都可以看成不同物體的不同運(yùn)動(dòng)軌跡，如圓柱還可以看成一個(gè)圓上下平移而成，圓還可以看成一條線段繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，等等。也就是說運(yùn)動(dòng)軌跡不是單一的，我們應(yīng)該要求學(xué)生用發(fā)展的、變化的眼光去看待，以提升他們的抽象思維能力。

（責(zé)任編輯：陳志華）