任嵐，趙金洲，胡永全，王磊

(西南石油大學 油氣藏地質及開發(fā)工程國家重點實驗室，四川 成都，610500)

水力裂縫起裂壓力計算對水力壓裂優(yōu)化設計具有重要的作用和影響，該問題也是水力壓裂理論研究的重點難點問題。最早的起裂壓力計算模型都是針對均質地層裸眼井建立的[1-2]。隨著完井技術的發(fā)展，人們開始關注射孔井的起裂壓力計算，常將射孔孔眼看作一個小的裸眼井與井筒相連，考慮水力裂縫沿孔眼壁面起裂[3-4]。近年來，隨著斜井鉆成，對斜井破裂壓力研究成為新的焦點[5-8]。上述起裂壓力計算模型都是針對均質地層，基于以上起裂壓力計算理論，井眼壁面只存在2個對稱的起裂方位，形成的水力裂縫為關于井眼對稱的平面雙翼裂縫。然而，最新研究表明，在裂縫性儲層中，水力裂縫常常擴展為多分支非平面的縫網[9-13]，表現(xiàn)為復雜的起裂和擴展模式。為此，開展裂縫性儲層水力裂縫起裂理論研究對認識裂縫性儲層水力裂縫起裂特征和延伸規(guī)律具有十分重要的理論價值和現(xiàn)實意義，本文作者考慮水力裂縫沿天然裂縫張性起裂，建立了裂縫性地層射孔井張性起裂壓力計算的理論模型，利用該模型計算分析水力裂縫沿天然裂縫張性起裂壓力變化規(guī)律，從而認識裂縫性儲層的水力裂縫起裂特征。

1 地質物理模型

首先建立裂縫性儲層射孔井水力裂縫沿天然裂縫起裂壓力計算的地質物理模型，作如下假設：(1) 天然裂縫性地層為射孔完井，天然裂縫面與射孔孔眼隨機相交；(2) 天然裂縫處在主發(fā)育帶上，具有相同的走向和傾向；(3) 考慮天然裂縫為非充填的張開性裂縫，水力裂縫較容易沿天然裂縫張開起裂；(4) 不考慮套管與水泥環(huán)之間膠結程度對起裂的影響?；谝陨霞僭O條件，可得裂縫性地層射孔井起裂壓力計算的地質物理模型如圖1所示。

圖1 天然裂縫與射孔孔眼相交的地質物理模型Fig.1 Geophysics model for intersection between natural fracture and perforated tunnel

2 井眼圍巖應力分布

井眼圍巖應力場是計算射孔孔眼壁面應力分布的前提，受固井質量的影響，水泥環(huán)與地層巖石之間往往存在微小的裂隙，水力壓裂時壓裂液很容易流入這些微小裂隙中，導致井底流體壓力直接作用在地層巖石上，因此，射孔井圍巖需要考慮受遠場地應力和井底流體壓力的聯(lián)合作用[14]，定義張應力為負，壓應力為正，井眼圍巖所受的應力在極坐標系下表示為：

式中：σH為水平最大地應力，MPa；σh為水平最小地應力，MPa；σv為上覆地層壓力，MPa；σr為徑向應力，MPa；σθ為周向應力，MPa；σz為垂向應力，MPa；τrθ為剪切應力，MPa；pw為井底流體壓力，MPa；rw為井眼半徑，m；r為應力計算點井眼極坐標半徑，m；ν為泊松比；θ為徑向上水平最大地應力方向逆時針旋轉的極坐標角，(°)。

3 孔眼壁面主應力計算

孔眼壁面三維主應力是計算水力裂縫沿天然裂縫張性起裂壓力的基礎。為了計算孔眼圍巖的應力分布，可將射孔孔眼看作一個小的裸眼井與井筒相連[3-4]，在空間上受到3個方向應力作用，分別為水平方向上應力σθ、垂直方向上應力σz和孔眼軸向上應力σr，孔眼圍巖受力如圖2所示。

考慮孔眼圍巖像井筒圍巖一樣的應力集中[15]，在井底流體壓力和孔眼圍巖應力作用下，考慮壓裂液的滲流效應，孔眼壁面圍巖所受的應力狀態(tài)可在射孔孔眼極坐標系中用徑向應力σs、周向應力σφ、軸向應力σzz及相應剪切應力表示：

圖2 射孔孔眼圍巖受力示意圖Fig.2 Diagram of stresses acting on rock around perforation

式中：pp為孔隙流體壓力，MPa；φ為地層孔隙度，無因次；α為有效應力系數(shù)，無因次；φ為孔眼上主應力σθ方向逆時針旋轉的極坐標角，(°)。

式(6)～(10)組成了孔眼壁面上任意點的三維應力場，由于其中τsφ和τszz為 0，則σs為其中的一個主應力，而切向應力τzzφ不為 0，因此，周向應力σφ和軸向應力σzz不是φ-zz平面的主應力，φ-zz平面的主應力可以通過復合應力理論進行計算，很容易得到孔眼壁面上任意點的3個主應力為：

事實上，主應力σ2和σ3是2個相互垂直應力σφ和σzz在φ-zz平面內旋轉一定的角度γ得到，旋轉的角度γ正好使得的剪切力τzzφ等于0。由平面復合應力理論可知，平面應力轉換計算的旋轉角度γ滿足以下方程：

求解該方程，可得滿足該方程存在2個可能解：

容易看出γ1和γ2是φ-zz平面內2個主應力的方向，但角γ與主應力σ的對應關系如何，還需進一步的分析。為了確定主應力與旋轉角度的對應關系，引入最大拉伸應力判別的極值函數(shù)[7]：

由于F(γ1)和F(γ2)的符號相反，但必有一個是F＞0，而另外一個是F＜0?？梢院苋菀鬃C明，使得F＞0的γi為較大的主應力σ2與應力σzz的夾角。

4 沿天然裂縫張性起裂壓力計算模型

如果天然裂縫與孔眼相交，在井底流體壓力增加過程中，天然裂縫內的流體壓力也將增加，當天然裂縫內的流體壓力不小于天然裂縫所受的有效壓應力時，水力裂縫沿天然裂縫張性起裂：

式中：pf為天然裂縫內流體壓力，MPa；σn為作用在天然裂縫面上的正應力，MPa。

在已知孔眼壁面天然裂縫受到的三維主應力，可計算天然裂縫受到的正應力為：

式中：βi為天然裂縫面法線與主應力σi的夾角，(°)。

為了計算作用在天然裂縫上各個主應力與天然裂縫面法線夾角的余弦。首先要已知天然裂縫與孔眼之間的相對位置關系，考慮在大地坐標系(N，E，Sky)中，假設天然裂縫的走向為北偏東角度Ne，天然裂縫傾角Dip，水平最大地應力方位為北偏東角度Ha，孔眼方位為水平最大地應力σH方向為起點旋轉角度θ，天然裂縫與孔眼壁面相交點為主應力σθ方向為起點旋轉角度φ。以此假設條件，對天然裂縫的法線方向矢量和各個主應力的方向矢量進行計算。

根據(jù)假設條件，可得到在大地坐標系中天然裂縫面法線的方向矢量為：

式中：a1=-sinDipcosNe；a2=sinDipsinNe；a3= cosDip。

根據(jù)上述假設條件，孔眼壁面的主應力在地應力坐標系中的空間位置關系如圖3所示。由圖3中主應力σ1的空間方向，結合坐標變換原理[16]，可推導在大地坐標系下σ1的方向矢量為：

圖3 射孔孔眼壁面主應力在地應力坐標系中的空間位置關系Fig.3 Spatial relationship of principal stresses of perforation wall in geostress coordinate system

同理，很容易推導在大地坐標系下σ2的方向矢量為：

同理，很容易推導在大地坐標系下σ3的方向矢量為：

由式(21)～(24)可得天然裂縫面法線方向與各個主應力σi方向的夾角余弦為：

將式(11)～(13)和式(25)代入式(20)可得到作用在天然裂縫面上的正應力，再代入式(19)就可判斷水力裂縫是否沿天然裂縫張性起裂。由于孔眼壁面主應力是作用點位置和井底流體壓力的函數(shù)，不能直接得到張性起裂壓力表達式，因此，可以采用井底流體壓力逐步升高的試算法進行求解，采用適當?shù)木讐毫ι仙俾什介L，一旦給定的井底壓力滿足張性起裂判別式(19)，表明在該井底流體壓力下，水力裂縫將沿天然裂縫發(fā)生張性起裂。

5 計算與分析

基于以上起裂壓力計算模型和計算方法，以東部某盆地裂縫性儲層實際數(shù)據(jù)為例，如表1所示，以此分析裂縫性地層射孔井的張性起裂壓力變化規(guī)律和起裂特征，然后基于實例井壓裂施工作業(yè)數(shù)據(jù)對起裂壓力計算模型進行驗證。

表1 張性起裂壓力計算基本數(shù)據(jù)Table 1 Data for calculation of tensile initiation pressure

5.1 起裂壓力規(guī)律及起裂特征分析

水力裂縫總沿起裂壓力最小的位置起裂，為此，對于特定孔眼方位，定義巖石本體起裂壓力為張性起裂發(fā)生的門限值，如果張性起裂壓力低于巖石本體起裂壓力，認為水力裂縫沿天然裂縫張性起裂，否則沿巖石本體起裂。為了對比張性起裂的發(fā)生，對均質地層射孔井巖石本體起裂進行計算[1-2]，可得水平最大地應力方位和水平最小地應力方位巖石本體起裂壓力為39.5 MPa和64.9 MPa?？梢姡壕|地層的水力裂縫將沿水平最大地應力方位起裂延伸。

5.1.1 孔深對起裂的影響

假設孔眼位于水平最大地應力方位，天然裂縫相交孔眼頂部位置，天然裂縫走向北偏東 70°，天然裂縫傾角60°。圖 4所示為張性起裂壓力隨天然裂縫與孔眼相交深度位置的變化規(guī)律。從圖4可見：受井眼周向應力集中和孔眼軸向應力變化影響，隨孔眼深度的增加，起裂壓力先增加后減小，最小張性起裂壓力位于孔眼指端處。在整個孔眼深度上張性起裂壓力都較巖石本體起裂壓力低，在孔眼指端處的張性起裂壓力較本體起裂壓力39.5 MPa降低了36.2%。

圖4 張性起裂壓力隨孔眼深度的變化Fig.4 Changes of tensile initiation pressure with perforation depth

5.1.2 孔眼周向位置對起裂的影響

孔眼位于水平最大地應力方位(θ=0°)，天然裂縫相交孔眼周向的頂部位置(φ=90°)。圖5所示為該位置天然裂縫傾角和走向對張性起裂壓力的影響。由于該孔眼方位巖石本體起裂壓力為39.5 MPa，從圖5可見：在低傾角或者中高走向情況下，張性起裂壓力小于巖石本體起裂壓力，水力裂縫將沿天然裂縫張性起裂。孔眼位于水平最大地應力方向上(θ=0°)，天然裂縫相交孔眼周向的水平位置(φ=0°)。圖6所示為該位置天然裂縫傾角和走向對張性起裂壓力的影響。對比圖6和圖5可見：該位置張性起裂壓力總體上說較相交在孔眼頂部位置(φ=90°)要高，由于該孔眼方位巖石本體起裂壓力為39.5 MPa，則相交在該位置的天然裂縫能發(fā)生張性起裂的走向和傾角范圍極小。為此，天然裂縫與孔眼相交點的孔眼周向角越大，張性起裂壓力越小，越容易沿天然裂縫張性起裂，天然裂縫相交孔眼頂端位置的張性起裂壓力最小。

圖5 不同天然裂縫走向和傾角下的張性起裂壓力Fig.5 Variation of tensile initiation pressure under different strike and dip of natural fractures

圖6 不同天然裂縫走向和傾角下的張性起裂壓力Fig.6 Variation of tensile initiation pressure under different strike and dip of natural fractures

5.1.3 水平應力方位對起裂的影響

孔眼位于水平最小地應力方位上(θ=90°)，天然裂縫相交孔眼的頂部位置(φ=90°)。圖7所示為天然裂縫傾角和走向對張性起裂壓力的影響。由于該孔眼方位巖石本體起裂壓力為64.9 MPa，從圖7可見：該位置天然裂縫在任意傾角和走向下都會發(fā)生張性起裂。對比圖5和圖7可見：天然裂縫為低傾角時，水平最大地應力和水平最小地應力方位的水力裂縫張性起裂壓力都在20～30 MPa區(qū)間內，這時2個方位的起裂壓力差變小，井眼周向上的等效起裂點增多，這種作用效應將導致水力裂縫從井眼周向不同方位的孔眼同時起裂延伸，產生徑向縫網。

圖7 不同天然裂縫走向和傾角下的張性起裂壓力Fig.7 Variation of tensile initiation pressure under different strike and dip of natural fractures

5.2 模型驗證分析

以該盆地B59-68井進行模型驗證分析，施工層段1 994.8～2 013.0 m；儲層水平最大地應力方向為北偏東72°；天然裂縫走向為北偏東45°；天然裂縫傾角為20°。儲層假設為均質地層的起裂壓力為 39.5 MPa，而測試壓裂得到該井實際起裂壓力為29.2 MPa，遠小于巖石本體起裂壓力，為此，水力裂縫為沿天然裂縫起裂。采用文中建立的張性起裂壓力模型，計算得到水平最大地應力和水平最小地應力的水力裂縫張性起裂壓力分別為30.56 MPa和30.1 MPa，模型計算值的相對誤差為3.1%，在工程誤差范圍內，證實了本文起裂壓力計算模型的可靠性。

模型計算得到 2個極端方位的起裂壓力差僅為0.46 MPa，為此判斷水力壓裂時水力裂縫將可能從井眼不同方位起裂延伸。根據(jù)該井壓裂施工過程水力裂縫延伸的微地震監(jiān)測結果，繪出了裂縫延伸分布如圖8所示。由圖8可見：近井水力壓裂充分發(fā)育，延伸方位分別為北偏東 58°～75°，北偏西 15°以及北偏西28°，近井地帶具有徑向縫網的擴展特征，證實了理論模型對該井水力裂縫沿不同孔眼方位同時起裂延伸推斷的正確性。

圖8 微地震監(jiān)測的水力裂縫擴展方位分布Fig.8 Distribution of hydraulic fractures based on microseismic monitoring

6 結論

(1) 基于孔眼壁面與天然裂縫相交點受到的主應力以及孔眼與天然裂縫之間的相對位置關系，建立了裂縫性地層射孔井水力裂縫沿天然裂縫的張性起裂壓力計算模型，該模型可用于裂縫性地層壓裂時水力裂縫張性起裂壓力計算和近井裂縫擴展模式分析。

(2) 水力裂縫沿天然裂縫張性起裂壓力受天然裂縫與孔眼壁面相交位置、孔眼在井眼周向上的方位以及天然裂縫走向和傾角多種因素的影響，裂縫性儲層具有比均質地層起裂壓力低，水力裂縫容易沿天然裂縫起裂；同時井眼周向不同方位上存在多裂縫同時起裂延伸的顯著特征。

(3) 實例計算證實了文中起裂壓力模型計算精度高、計算結果可靠，該模型為裂縫性地層壓裂優(yōu)化設計提供了相應的理論依據(jù)，具有重要的理論價值和現(xiàn)實意義。

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