朱海祥

摘要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的核心內(nèi)容。從教育任務(wù)的角度將思想和方法等隱性知識(shí)轉(zhuǎn)化為可操作的顯性知識(shí)，便于將基本的思想方法更早地分階段滲透在課堂教學(xué)之中。利用任務(wù)分析法，提出作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想方法的模型：新知探索階段蘊(yùn)含的思想方法；策略?xún)?yōu)化的思想方法；數(shù)學(xué)抽象的思想方法；模型化的思想方法。

關(guān)鍵詞：思想方法；教育任務(wù)；數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1009-4156（2013）05-130-02

一、問(wèn)題的提出

關(guān)于在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法已得到越來(lái)越多教師的認(rèn)可，這一方面是因?yàn)楦叨壬鐣?huì)化的發(fā)展趨勢(shì)對(duì)數(shù)學(xué)教育提出的要求；另一方面學(xué)生缺乏掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的方法。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）明確提出將發(fā)展學(xué)生的“雙基”轉(zhuǎn)為“四基”，其中增加的為基本數(shù)學(xué)思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)榫邆涫炀毜幕净顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)，可以更好地體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)和利用數(shù)學(xué)思想方法。筆者在參與觀摩和評(píng)析一線(xiàn)教師的教學(xué)過(guò)程中，也發(fā)現(xiàn)一些普遍存在的問(wèn)題，影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的吸收和應(yīng)用。如學(xué)生一般都有預(yù)習(xí)的習(xí)慣，但也會(huì)導(dǎo)致預(yù)先知道結(jié)論，忽略知識(shí)形成的過(guò)程；對(duì)教師的依賴(lài)性太強(qiáng)，教師難以把握啟發(fā)的度和方式，學(xué)生缺乏自主學(xué)習(xí)、自我發(fā)現(xiàn)和反思的習(xí)慣，雖然在課堂中表現(xiàn)得較為主動(dòng)熱鬧，但在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上往往依靠教師，而這正是這節(jié)課的精華所在；學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)缺乏內(nèi)在動(dòng)機(jī)和成就動(dòng)機(jī)，體會(huì)不到成功的喜悅；班級(jí)里學(xué)生的差距過(guò)大，關(guān)鍵體現(xiàn)在分析問(wèn)題的策略和經(jīng)驗(yàn)；課堂中問(wèn)題設(shè)置缺乏層次性，難以適合不同水平的學(xué)生，結(jié)果導(dǎo)致兩端的學(xué)生都在浪費(fèi)時(shí)間；認(rèn)為思想方法都體現(xiàn)在解題過(guò)程中，不重視新知學(xué)習(xí)過(guò)程中具有通性的思想方法。這些問(wèn)題的癥結(jié)在于教師對(duì)作為教學(xué)任務(wù)的數(shù)學(xué)思想方法的理解；如何發(fā)現(xiàn)素材中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法；以及如何將數(shù)學(xué)思想方法作為知識(shí)點(diǎn)教給學(xué)生。

二、作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想方法的理解

學(xué)期、單元、課時(shí)都必須設(shè)定三維目標(biāo)，也就是制定學(xué)會(huì)、會(huì)學(xué)和樂(lè)學(xué)等三方面的任務(wù)，其中第二層次指的就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用和反思過(guò)程直接決定課堂教學(xué)的效果，是實(shí)現(xiàn)第三層次目標(biāo)的基礎(chǔ)，是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中能否找到樂(lè)趣的關(guān)鍵因素。因此，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的核心，數(shù)學(xué)課程的其他內(nèi)容是數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，數(shù)學(xué)思想方法作為教育任務(wù)的完成情況是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵所在。

從教育任務(wù)的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)教育者對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)有不同的觀點(diǎn)。結(jié)合筆者多年的中小學(xué)一線(xiàn)教學(xué)觀摩和反思，本著提高數(shù)學(xué)思想方法作為教育任務(wù)的可操作性的想法，學(xué)生應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)思想方法分為下面幾個(gè)方面：新知探索階段蘊(yùn)含的思想方法，如觀察、比較、猜想、驗(yàn)證等，關(guān)注通性和通法，教給學(xué)生的是思考問(wèn)題的方式；策略?xún)?yōu)化的思想方法，是良好學(xué)習(xí)方式的重要體現(xiàn)；數(shù)學(xué)抽象的思想方法，認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)特征和一般規(guī)律；模型化的思想方法，是實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的重要過(guò)程。中間兩個(gè)階段是為了更好地實(shí)現(xiàn)第一階段向第四階段的轉(zhuǎn)化。在數(shù)學(xué)課堂中能夠?qū)W到一般意義上的數(shù)學(xué)思想方法，并把大量的數(shù)學(xué)解題實(shí)踐提煉為數(shù)學(xué)思想方法，將有助于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有助于數(shù)學(xué)觀念的形成。

對(duì)個(gè)體而言，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)具有過(guò)程性的特點(diǎn)，它不具備知識(shí)和技能學(xué)習(xí)的快速性，這也是為什么我們的教學(xué)評(píng)價(jià)要注重過(guò)程性，特別在低年級(jí)階段更是如此。如果說(shuō)數(shù)學(xué)是一門(mén)工具性學(xué)科，數(shù)學(xué)思想方法就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工具。一旦掌握了數(shù)學(xué)思想方法這一工具，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的知識(shí)，就屬于下位學(xué)習(xí)，下位學(xué)習(xí)顯然更容易操作；另外，掌握作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想方法，特別有利于培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，真正地做到教是為了不教。

三、作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想方法的模型

（一）新知探索階段蘊(yùn)含的思想方法

在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，往往重視的是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去解決各種練習(xí)題，其實(shí)對(duì)學(xué)生最為關(guān)鍵和缺乏的是數(shù)學(xué)思想方法的形成過(guò)程和思考問(wèn)題的方式，將數(shù)學(xué)思想方法作為知識(shí)的一部分滲透在教學(xué)過(guò)程中，幫助學(xué)生訓(xùn)練以達(dá)到習(xí)慣化的程度。學(xué)生一旦理解和掌握了數(shù)學(xué)思想方法，就會(huì)形成條件化的知識(shí)，學(xué)生能迅速、準(zhǔn)確地從頭腦中檢索、提取與任務(wù)相關(guān)的知識(shí)，形成問(wèn)題與知識(shí)之間的豐富聯(lián)結(jié)，并最終選擇出解決問(wèn)題的最佳方案。這就要求我們認(rèn)識(shí)到新知作為數(shù)學(xué)思想方法載體的重要性，認(rèn)清知識(shí)的來(lái)龍去脈和形成過(guò)程，因?yàn)檫@是特別有效而又容易被忽略的策略。

新知學(xué)習(xí)中蘊(yùn)含的思想方法包含兩個(gè)層次：一是分析問(wèn)題的過(guò)程中體現(xiàn)出的一般思想方法，如觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分析、歸納、類(lèi)比、合情推理等過(guò)程；二是支撐這些過(guò)程得以實(shí)現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，如分類(lèi)、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、論證推理等。這個(gè)過(guò)程同時(shí)也是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決認(rèn)知沖突的過(guò)程。這些思想方法對(duì)于個(gè)體今后的發(fā)展特別有用。通過(guò)這些思維過(guò)程，還可以逐步地形成集合、對(duì)應(yīng)、符號(hào)等基本數(shù)學(xué)思想，如在認(rèn)識(shí)有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的過(guò)程中，通過(guò)加減運(yùn)算、開(kāi)方和解方程等步驟，經(jīng)歷觀察、分析、類(lèi)比、猜想等階段，發(fā)現(xiàn)需要對(duì)數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充，形成新數(shù)，同時(shí)又會(huì)進(jìn)一步推理如何定義新數(shù)的運(yùn)算等。

下面以課題為例加以分析：在“游戲規(guī)則的公平性”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生平時(shí)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察往往是表面的，而沒(méi)有涉及數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，游戲規(guī)則的公平性本質(zhì)上指的是過(guò)程公平而非結(jié)果公平。真正地實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)必須讓學(xué)生經(jīng)歷閱讀規(guī)則、實(shí)驗(yàn)、觀察記錄、統(tǒng)計(jì)分析、猜想、反思、修改規(guī)則、發(fā)現(xiàn)及簡(jiǎn)單推理等思維過(guò)程，在不完美的過(guò)程中找到完善的方法。數(shù)學(xué)猜想是創(chuàng)造性思維活動(dòng)，數(shù)學(xué)教師要向?qū)W生逐步介紹數(shù)學(xué)猜想的方法，在課堂教學(xué)中不失時(shí)機(jī)地運(yùn)用具備猜想條件的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行“數(shù)學(xué)猜想法”訓(xùn)練，培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和猜想能力。

（二）策略?xún)?yōu)化的思想方法

策略?xún)?yōu)化的思想方法是指對(duì)方法的比較、選擇、融合等過(guò)程，這樣可以從更深的角度思考和解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)教育改革鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，用自己的方法解決問(wèn)題，這樣在班級(jí)群體中就出現(xiàn)了多樣化的解決方法，產(chǎn)生合作交流的必要性，通過(guò)進(jìn)一步的優(yōu)化，比較個(gè)體間的思維基礎(chǔ)和方式，洞悉方法之間的本質(zhì)差異，改進(jìn)自己的數(shù)學(xué)思想方法，達(dá)到真正意義上的反思和提高。數(shù)學(xué)優(yōu)化的基礎(chǔ)是方法的多樣性，而個(gè)體的差異性必然會(huì)產(chǎn)生方法的多樣性，因此，每節(jié)數(shù)學(xué)課中都會(huì)滲透優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想，將優(yōu)化思想作為教學(xué)任務(wù)的一部分是縮小個(gè)體差異和實(shí)施因材施教的最佳途徑。在策略?xún)?yōu)化的過(guò)程中，一個(gè)有梯度的問(wèn)題是關(guān)鍵，實(shí)現(xiàn)由“標(biāo)準(zhǔn)餐”向“個(gè)性餐”的轉(zhuǎn)變，為不同的學(xué)生提供適合他們的教育。

在求多邊形的內(nèi)角和的時(shí)候，學(xué)生通常會(huì)想到以多邊形上、多邊形內(nèi)或多邊形外的一點(diǎn)為端點(diǎn)將多邊形分成若干個(gè)三角形，通過(guò)優(yōu)化的思想過(guò)程會(huì)發(fā)現(xiàn)這些方法本質(zhì)上都是轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決的；也有一些學(xué)生會(huì)想到利用多邊形的外角來(lái)解決，利用旋轉(zhuǎn)變換的思想發(fā)現(xiàn)多邊形的外角和為360°，這樣也可以求出多邊形的內(nèi)角和。通過(guò)再一次的優(yōu)化，體會(huì)整體的思想和方法上的創(chuàng)新，學(xué)會(huì)從不同角度思考問(wèn)題。在求代數(shù)和時(shí)往往把正數(shù)和負(fù)數(shù)分別看成一個(gè)整體或者按數(shù)位看成一個(gè)整體，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)。

（三）數(shù)學(xué)抽象的思想方法

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，數(shù)學(xué)抽象方法是形成高級(jí)思維的重要工具，概括是抽象的基礎(chǔ)，符號(hào)化和形式化是抽象的重要表現(xiàn)形式。任何實(shí)際對(duì)象只有經(jīng)過(guò)抽象之后，形成數(shù)學(xué)模型，才具有廣泛的適用性。數(shù)學(xué)抽象有兩個(gè)層次：一是數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程的抽象，即數(shù)學(xué)化的過(guò)程；二是數(shù)學(xué)方法形成過(guò)程的抽象，深化對(duì)思想方法的認(rèn)識(shí)。新課改以來(lái)，許多數(shù)學(xué)課上特別重視情境數(shù)學(xué)活動(dòng)。強(qiáng)調(diào)課堂氣氛的營(yíng)造，卻忽略了最關(guān)鍵的一步——抽象的階段，有去“數(shù)學(xué)化”的傾向，結(jié)果導(dǎo)致許多學(xué)生的理解停滯在表象階段，認(rèn)知結(jié)構(gòu)紊亂而不成體系，應(yīng)用時(shí)自然無(wú)法達(dá)到信手拈來(lái)的程度。

在幾何體和平面圖形的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，我們利用分類(lèi)的思想從大量的特征中抽象出本質(zhì)屬性，忽略顏色、大小等非本質(zhì)屬性，形成對(duì)概念內(nèi)涵和外延的認(rèn)知，這是把握和應(yīng)用概念的基礎(chǔ)。運(yùn)算是數(shù)和代數(shù)的重要內(nèi)容，它是形成算法的重要載體，例如，數(shù)的加減乘除，輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)，方程組的代入消元法，求根公式和二分法等等，都是逐漸發(fā)現(xiàn)和形成作為教育任務(wù)的算法思想的中間階段。

（四）模型化的思想方法

數(shù)學(xué)是一門(mén)關(guān)于模式的科學(xué)，可以廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在此過(guò)程中處處滲透了模型化的思想方法。相比于解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，數(shù)學(xué)建模更能培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，真正培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)興趣和習(xí)慣。它需要學(xué)生自己動(dòng)手查閱資料，收集數(shù)據(jù)，做出假設(shè)，建立模型，檢驗(yàn)應(yīng)用等過(guò)程，這些訓(xùn)練對(duì)于學(xué)生今后從事任何工作都有重要幫助。

四、小結(jié)與思考

數(shù)學(xué)思想方法作為教育任務(wù)的重要組成部分，會(huì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)生活帶來(lái)重大的變革，提升教師對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，促進(jìn)教師專(zhuān)業(yè)的發(fā)展。一堂課往往新就新在思維過(guò)程上，高就高在思想性上，好就好在學(xué)生參與活動(dòng)的深度和廣度上。真正掌握了數(shù)學(xué)思想方法，一方面所有的學(xué)習(xí)都將成為下位學(xué)習(xí)；另一方面更可以改變學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，能夠開(kāi)展自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，將新課標(biāo)提倡的學(xué)習(xí)方式落到實(shí)處。同時(shí)，如何在評(píng)價(jià)和考試中體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法掌握程度等，值得更深層次的探究。