● 戚其祝

由于受到過去教學(xué)實踐中一些偏差行為的影響，人們對數(shù)學(xué)問題存在不同程度的偏見，認(rèn)為強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)問題就是要學(xué)生陷入“題海”。

事實上，無論課內(nèi)還是課外，數(shù)學(xué)問題都有其存在的必要性。數(shù)學(xué)問題具有引入新知識、幫助學(xué)生加深對所學(xué)知識的理解、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣等作用。在課堂教學(xué)中，課堂導(dǎo)入階段，教師給學(xué)生“以適合他們程度的問題去引起他們的好奇心”[1]能夠有效激發(fā)起學(xué)生的思考熱情，給課堂教學(xué)開一個好頭；新知識講解階段，一個接一個緊密聯(lián)系、逐步推進(jìn)的數(shù)學(xué)問題的提出能夠引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，直至得到最終的數(shù)學(xué)結(jié)論；練習(xí)階段，經(jīng)過教師悉心編排的高質(zhì)量的習(xí)題，能夠幫助學(xué)生加深對當(dāng)堂課內(nèi)容的理解；課堂小結(jié)階段，提出基于當(dāng)堂課教學(xué)內(nèi)容而又高于當(dāng)堂課所講內(nèi)容的數(shù)學(xué)問題，能夠引起學(xué)生課下的思考，為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)埋下伏筆。在數(shù)學(xué)課外，教師通過介紹一些經(jīng)典的、富有趣味性的數(shù)學(xué)問題，能夠幫助學(xué)生增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。所以，從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來看，中學(xué)數(shù)學(xué)教育活動中需要大量數(shù)學(xué)問題。

一、數(shù)學(xué)問題要有質(zhì)量有意義

陳省身先生講，有好的數(shù)學(xué)，也有不好的數(shù)學(xué)。同樣，中學(xué)數(shù)學(xué)教育中也有好問題和不好的問題之分。真正為學(xué)生所討厭、也是我們所反對的是那些毫無意義、僅僅是簡單重復(fù)的不好的數(shù)學(xué)問題。例如斐波那契數(shù)列 1，1，2，3，5，8.13……是一個比較經(jīng)典的、對數(shù)學(xué)發(fā)展有一定影響的數(shù)列，它有許多奇妙的性質(zhì)，在實際生活中也有非常廣泛而有趣的應(yīng)用，深入挖掘它的文化價值、向?qū)W生展示它的驚奇有趣的那一面應(yīng)該是教學(xué)中要努力追尋的。但是一些人僅僅是抓住該數(shù)列的“規(guī)律”不放，人為編造出大量的規(guī)律并不是那么明顯、而且事實上也沒有什么應(yīng)用的問題來讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，這無疑是把好的材料用偏了。所以，對于數(shù)學(xué)問題的選擇，教師一定要進(jìn)行篩選，選擇那些高質(zhì)量的、有意義的數(shù)學(xué)問題提供給學(xué)生。至于好的數(shù)學(xué)問題的標(biāo)準(zhǔn)，大衛(wèi)·希爾伯特認(rèn)為，一是問題本身必須提得“清晰”、“易懂”；二是問題“應(yīng)該是困難的，但卻不應(yīng)是完全不可解決而使我們白費力氣”，即“難而又可解決”。[2]

二、數(shù)學(xué)問題的來源應(yīng)該多樣化

一般來說，推動數(shù)學(xué)發(fā)展的力量主要有兩點：社會生產(chǎn)發(fā)展的需要 （包括物理等非數(shù)學(xué)學(xué)科的需要）和數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要。數(shù)學(xué)中的問題也就可以相應(yīng)的分為兩類：來自于數(shù)學(xué)外部的問題和來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題。體現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中就是數(shù)學(xué)問題有的是從生活中提出來，帶有濃厚生活味道的數(shù)學(xué)問題，有的是純粹的數(shù)學(xué)問題。人們不應(yīng)該為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識就僅僅強(qiáng)調(diào)第一類問題，也不應(yīng)該讓學(xué)生只做后一類問題而無法讓其看到數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用的一面。任何只強(qiáng)調(diào)一類問題的做法都是不恰當(dāng)?shù)?。尤其是現(xiàn)在新課改強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)要體現(xiàn)其應(yīng)用價值的情況下，人們對于純數(shù)學(xué)問題應(yīng)該有一個正確的看法。事實上，中學(xué)數(shù)學(xué)中許多純數(shù)學(xué)問題尤其是數(shù)學(xué)競賽的試題，都具有比較大的教育價值，同樣可以引起學(xué)生的探究欲望，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

需要特別指出的是，中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)問題是經(jīng)過加工的具有教育功能的數(shù)學(xué)問題，屬于教育數(shù)學(xué)的范疇。在從現(xiàn)實生活中提煉加工數(shù)學(xué)問題的過程中，人們已經(jīng)省略掉了一些非主要因素，也就是已經(jīng)做了中學(xué)數(shù)學(xué)建模中的問題假設(shè)工作，這樣，到中學(xué)生面前的數(shù)學(xué)問題已經(jīng)不可能百分百忠實于生活 （事實上，也沒有必要）。所以對于中學(xué)數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)問題的“真實性”人們不應(yīng)該有太高的要求。一個數(shù)學(xué)問題只要能夠做到引起學(xué)生的探究欲望，對實現(xiàn)教育的目的有積極的作用，那么它的教育價值就應(yīng)該被肯定。

三、中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)問題并非都要有解

數(shù)學(xué)問題并不是都有解的，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也應(yīng)該介紹一些“無解”或者是對于中學(xué)生來說“無解”的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題。哥德巴赫猜想“每個大于或等于6的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，每個大于或等于9的奇數(shù)都是3個素數(shù)之和”內(nèi)容簡單易懂，但是很多人卻將問題的證明簡單的理解為要證明“1+1=2”，而不去了解猜想的內(nèi)容。如果中學(xué)數(shù)學(xué)中介紹一下哥德巴赫猜想這個目前“無解”的問題，或許能夠讓相當(dāng)一部分人糾正對數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)家及其研究工作的偏見。又比如費馬大定理經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的工作，歷時358年，才最終獲得證明。安德魯·懷爾斯的整個證明過程洋洋灑灑足有二百多頁。在中學(xué)數(shù)學(xué)中介紹該定理自然不是為了讓學(xué)生掌握其證明方法，但是卻完全可以作為一個研究性課題出現(xiàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)了勾股定理后，老師讓學(xué)生對此結(jié)論進(jìn)行推廣，猜想三元方程Xn+yn=Zn當(dāng)n≥3時的正整數(shù)解的情況。然后要求學(xué)生課下查閱資料獲得對該問題的盡可能多的信息，最后進(jìn)行匯報。整個過程既培養(yǎng)了學(xué)生查閱資料、整理資料的能力，又可以通過安德魯·懷爾斯證明該定理的過程讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家是如何進(jìn)行研究工作的，拓寬學(xué)生的視野，幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)形成正確的認(rèn)識，發(fā)展數(shù)學(xué)觀。

數(shù)學(xué)問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有積極的作用，但是所謂過猶不及，我們又應(yīng)注意不可過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)問題在教學(xué)中的地位。美國在20世紀(jì)80年代提出“問題解決”，認(rèn)為必須把問題解決作為學(xué)校數(shù)學(xué)的核心，但是世紀(jì)之交又提出了平衡基本技能、概念理解和問題解決，重新強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識的重要性。所以一方面我們要發(fā)揮數(shù)學(xué)問題和問題解決在數(shù)學(xué)教學(xué)中的積極價值和作用，另一方面又必須重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的培養(yǎng)，以更好完成培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的。

[1]波利亞.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2]黃忠裕.初等數(shù)學(xué)建模[M].成都：四川大學(xué)出版社，2004.