王 凱 于海生， 鄒 良 張建武 張 彤

（1.上海交通大學(xué)；2.上海華普汽車有限公司）

1 前言

隨著汽車工業(yè)的發(fā)展，人們對汽車各項(xiàng)性能要求越來越高，乘坐舒適性作為一項(xiàng)直接反映乘客感受的指標(biāo)，其重要性不言而喻，因此需要對汽車振動(dòng)和噪聲進(jìn)行有效控制。造成汽車振動(dòng)和噪聲的因素很多，其中動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是引起汽車振動(dòng)和噪聲的主要原因之一[1]。

混合動(dòng)力汽車的關(guān)鍵技術(shù)之一是多能源的耦合問題[2]，因此混合動(dòng)力汽車的核心部件——?jiǎng)恿?fù)合裝置一直是各研究機(jī)構(gòu)和廠商的研發(fā)重點(diǎn)。行星齒輪傳動(dòng)因具有普通定軸齒輪無法比擬的輸入輸出的同軸性、良好的功率分流（匯流）、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比大、承載能力大等優(yōu)點(diǎn)，在汽車上得到了廣泛應(yīng)用。但行星齒輪的結(jié)構(gòu)和工作狀態(tài)復(fù)雜，其振動(dòng)和噪聲問題也比較突出[3]，因此改善其噪聲和振動(dòng)，是車輛工程的重要研究課題之一。

以某款混合動(dòng)力汽車合成箱 （在拉威娜行星齒輪機(jī)構(gòu)上進(jìn)行了優(yōu)化及改進(jìn)）為研究對象，建立動(dòng)力傳遞系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析，計(jì)算系統(tǒng)固有頻率，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算共振轉(zhuǎn)速。

2 混合動(dòng)力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與工作原理

該混合動(dòng)力汽車傳動(dòng)系統(tǒng)由發(fā)動(dòng)機(jī)、扭轉(zhuǎn)減振器、大電機(jī)E2、小電機(jī)E1、復(fù)合行星排、二級減速輪、差速器、半軸和車輪等組成，結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

復(fù)合行星排以拉威娜行星齒輪機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)，前排輪系包括小太陽輪、短行星輪、行星架以及齒圈，后排輪系包括大太陽輪、長行星輪以及與前排共用的短行星輪、行星架和齒圈，其中齒輪為斜齒輪。復(fù)合行星齒輪機(jī)構(gòu)示意如圖2所示。

不同于傳統(tǒng)的拉威娜行星齒輪機(jī)構(gòu)，該動(dòng)力合成箱能增大后排輪系杠桿效能，降低電機(jī)峰值功率要求，進(jìn)而降低電機(jī)的加工制造難度，并且節(jié)約成本[4～5]。

根據(jù)行星排與各動(dòng)力源的連接方式，可計(jì)算得到發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速和齒圈輸出軸轉(zhuǎn)速分別為:

式中，nls為大太陽輪轉(zhuǎn)速；nss為小太陽輪轉(zhuǎn)速；i1為齒圈與小太陽輪齒數(shù)比；i2為齒圈與大太陽輪齒數(shù)比。

由式（1）和式（2）可知，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速和車速相對獨(dú)立。在車輛行駛過程中，可以通過調(diào)節(jié)大、小電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩實(shí)現(xiàn)無極變速，同時(shí)使發(fā)動(dòng)機(jī)始終工作在最優(yōu)化的工作區(qū)間。

3 傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型

3.1 固有頻率的概念

固有頻率是振動(dòng)系統(tǒng)自身的物理屬性，系統(tǒng)的振動(dòng)特性由其固有頻率決定。系統(tǒng)自由度的數(shù)目等于描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所必須的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。一般情況下，n自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)是由n個(gè)主振動(dòng)組合而成的。在每個(gè)主振動(dòng)中，系統(tǒng)各坐標(biāo)之間有確定的比例關(guān)系，這種特定的振動(dòng)形態(tài)稱為主振型。n自由度系統(tǒng)有n種主振型，分別對應(yīng)n個(gè)固有頻率，所以多自由度系統(tǒng)的固有頻率也叫主頻率。當(dāng)系統(tǒng)在正弦型激擾作用下，系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)按擾頻進(jìn)行，當(dāng)擾頻與系統(tǒng)的任何一個(gè)固有頻率相等時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，因此n自由度系統(tǒng)有n個(gè)共振頻率[6～7]。

動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)的扭振微分方程以矩陣的形式可寫為:

式中，J為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；C為系統(tǒng)的阻尼矩陣；K為系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣；θ為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移矢量；T為系統(tǒng)的激振扭矩矩陣。

在不考慮外部激勵(lì)情況下，系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)可寫成以下方程:

假定該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，則式（4）的解為:

式中，θm為線性系統(tǒng)初始角位移。

將式（5）代入式（4）后整理得:

根據(jù)線性代數(shù)的知識可知，只有當(dāng)矩陣（K-ω2J）的行列式為零時(shí)，方程才有非零解。公式（4）的特征方程為:

根據(jù)式（7）求得的特征值就是扭振系統(tǒng)的固有圓頻率，其對應(yīng)的特征矢量就是該固有頻率所對應(yīng)的振型。

將動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)各部分子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組裝成傳動(dòng)系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)方程，并以此求解傳動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率及振型。

3.2 傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)

基于樣車傳動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量和單行元件分布的特點(diǎn)，分析采用多自由度集中質(zhì)量—彈簧的離散化建模方法。建模時(shí)應(yīng)遵循以下簡化原則:

a.相鄰兩集中質(zhì)量間連接軸的剛度即為集中質(zhì)量間的剛度，軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平均分配到相鄰的集中質(zhì)量上；

b.阻尼減振器可簡化為有阻尼的扭轉(zhuǎn)彈簧。該混合動(dòng)力汽車傳動(dòng)系統(tǒng)扭振動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示。

發(fā)動(dòng)機(jī)、減振器和行星架部分動(dòng)力學(xué)方程為:

式中，Je為發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ktc=ktkc/（kt+kc），kt為減振器剛度，kc為行星架軸扭轉(zhuǎn)剛度；θe為發(fā)動(dòng)機(jī)角位移。

對齒輪副動(dòng)力學(xué)模型,通常不考慮軸承和箱體等的彈性變形[8]。在不考慮行星架對行星輪支撐剛度的情況下，復(fù)合行星排的扭振動(dòng)力學(xué)模型如圖4所示。

根據(jù)拉格朗日方程[9]導(dǎo)出復(fù)合行星排的動(dòng)力學(xué)方程組為:

其中，M′=diag（Jc，Js1，Js2，Ja1，Jb1，Ja2，Jb2，Ja3，Jb3，Jr1）

q=[θc，θs1，θs2，θa1，θb1，θa2，θb2，θa3，θb3，θr1]

K′為對稱矩陣，其中

式中，Jc為行星架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Js1為小太陽輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Js2為大太陽輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ja為短行星輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且 Ja1=Ja2=Ja3；Jb為長行星輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且Jb1=Jb2=Jb3；Jr為齒圈轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θc，θs1，θs2，θa1、θa2、θa3，θb1、θb2、θb3，θr分別為行星架，小太陽輪，大太陽輪，短行星輪 1、2、3， 長行星輪 1、2、3 和齒圈的角位移；ks1a為小太陽輪與短行星輪嚙合剛度；ks2b為大太陽輪與長行星輪嚙合剛度；kra為短行星輪與齒圈嚙合剛度；kab為長行星輪與短行星輪嚙合剛度；rca為短行星輪中心所在圓半徑；rcb為長行星輪中心所在圓半徑；rs1為小太陽輪基圓半徑；rs2為大太陽輪基圓半徑；ra為短行星輪基圓半徑；rb為長行星輪基圓半徑；rr為齒圈內(nèi)齒基圓半徑；an為行星齒輪機(jī)構(gòu)法向壓力角；B為行星齒輪分度圓螺旋角。

齒圈、二級減速輪和差速器的動(dòng)力學(xué)方程為:

式中，Jm為二級減速輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θm、θd為二級減速輪、 差速器角位移；krm、kmd為嚙合剛度；Rm1、Rm2、Rd為二級減速大小齒輪、差速器齒輪的基圓半徑。

差速器、半軸和車輪部分的動(dòng)力學(xué)方程為:

式中，Jd為差速器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θlt、θrt為左、右車輪角位移；kla、kra為半軸扭轉(zhuǎn)剛度。

左、右車輪的動(dòng)力學(xué)方程為:

式中，Jlt、Jrt為左、右車輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θv為整車等效角位移；ktire為車輪扭轉(zhuǎn)剛度。

整車等效動(dòng)力學(xué)方程為:

式中，Jv=mvR2tire；mv為整車質(zhì)量；Rtire為車輪滾動(dòng)半徑。

將式（8）～式（15）整合成系統(tǒng)特征方程:

式中，M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣。

3.3 固有頻率的計(jì)算

斜齒輪嚙合剛度的計(jì)算較復(fù)雜，通過分析比較V.simmon的變形擬合公式[10]、石川公式法[11]以及簡化公式法[12]3種方法得出的嚙合剛度，采用通過簡化公式方法求解的嚙合剛度。

求解式（16）可以得到傳動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。為提高傳動(dòng)效率和能量利用率，純電動(dòng)模式會(huì)鎖止行星架，混合動(dòng)力模式會(huì)鎖止小太陽輪。2種模式下系統(tǒng)前幾階扭振頻率如表1所列。

表1 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率 Hz

4 共振轉(zhuǎn)速的計(jì)算與分析

發(fā)動(dòng)機(jī)輸出的周期性激勵(lì)扭矩是系統(tǒng)扭振的主要原因，當(dāng)其轉(zhuǎn)矩主諧量的頻率與傳動(dòng)系統(tǒng)固有頻率一致時(shí)，系統(tǒng)便產(chǎn)生共振[13]。該車輛采用四沖程四缸發(fā)動(dòng)機(jī)，其2階主諧量的激振最為重要[14]，對應(yīng)的發(fā)動(dòng)機(jī)臨界轉(zhuǎn)速為:

式中，ft為傳動(dòng)系統(tǒng)固有頻率。

引入發(fā)動(dòng)機(jī)與大電機(jī)的轉(zhuǎn)速比iel=ne/nl，不同的iel表示可能的不同運(yùn)轉(zhuǎn)工況。得到不同轉(zhuǎn)速比和不同減振器剛度下的4階低頻臨界轉(zhuǎn)速脈譜圖如圖5所示。

由圖5可知，當(dāng)減振器剛度一定時(shí)，臨界轉(zhuǎn)速隨著轉(zhuǎn)速比變化而變化，在iel=1左右出現(xiàn)共振峰值；1階臨界轉(zhuǎn)速與發(fā)動(dòng)機(jī)的正常轉(zhuǎn)速相差較遠(yuǎn)；2階臨界轉(zhuǎn)速隨減振器剛度增大而逐漸接近怠速范圍；3階、4階臨界轉(zhuǎn)速與發(fā)動(dòng)機(jī)怠速非常接近。因此，需要對大、小電機(jī)實(shí)施有效的轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速控制，盡可能增大發(fā)動(dòng)機(jī)與大電機(jī)的轉(zhuǎn)速差值，以避免共振；盡量選擇較小剛度的減振器以降低共振轉(zhuǎn)速，偏離發(fā)動(dòng)機(jī)怠速范圍。

5 結(jié)束語

a.推導(dǎo)了拉威娜行星齒輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，在此基礎(chǔ)上，建立了混合動(dòng)力汽車傳動(dòng)系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)模型。采用簡單公式法計(jì)算出斜齒輪嚙合剛度，且計(jì)算了純電動(dòng)模式與混合動(dòng)力模式下傳動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。

b.分析了不同轉(zhuǎn)速比和減振器剛度變化下的共振轉(zhuǎn)速特性。傳動(dòng)系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速比約為1時(shí)出現(xiàn)共振，且在一定范圍內(nèi)共振轉(zhuǎn)速隨減振器剛度增大而增大。通過大、小電機(jī)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩控制和選擇小剛度的減振器，使共振轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離發(fā)動(dòng)機(jī)怠速范圍，可以提高行駛平順性和乘坐舒適性。

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