王 亮，郭曉波

（西南科技大學，四川 綿陽 621010）

單擺運動是一個經(jīng)典的物理模型，在物理學中有著重要的作用。有文獻研究了雙釘子的小角度下理想單擺運動[1]，也有文獻通過研究雙絞線的大角度擺運動來研究混沌現(xiàn)象[2]，對于小擺角單擺問題的研究已經(jīng)很成熟[3]，但極少地考慮有釘子大角度下單擺運動的整個物理過程。

圖1 運動軌跡示意圖

此外，MATLAB是一個強大的數(shù)學軟件，提供了計算、數(shù)值模擬、圖像處理、信號處理、圖像仿真等功能[4－6]，也提供了圖像與命令交互式的控制[7－8]。部分大學物理實驗也可以用 MATLAB仿真來實現(xiàn)[9]，對于不同的擺長L1、L2，可以將運動分成八種情形，并通過MATLAB實現(xiàn)所有運動過程交互式可視化仿真。這種方法可以加深對物理理論的直觀認識。

1 擺球擺動運動的理論分析

用長度為L1的細繩一端拴著質(zhì)量為m的擺球，另一端固定在點O1處。在點O1正下方距離D的點O2處有一釘子。θ0是初始位置時與O1O2豎直方向的夾角，在擺球自由下落的過程中，計算出任意角度時擺線的拉力T和擺球速度v的值。

建立如下坐標：當擺球繞著固定點O1轉動時的擺線與豎直方向的夾角為θ；當擺球繞著釘子O2轉動時的擺線與豎直方向的夾角為φ，取O1點正下方初始角度為零，逆時針方向為正，取值范圍是（-180°，180°]如圖1所示。

對于普通的單擺，假設在擺動過程中：擺動半徑為R，繩子受到合力為Ftot，擺線與O1O2夾角為β，運動開始速度為vs。在擺動運動過程中根據(jù)能量關系、受力分析及幾何關系得：

各種情況運動的分類、滿足條件、參數(shù)變量取值及角度范圍如表1所示。

表1 運動情況分類表

2 單擺的MATLAB仿真

2.1 界面設計

MATLAB GUI界面，整體可以分成五個板塊：d與角度關系圖、按鈕與運動情況說明區(qū)、運動軌跡圖、參數(shù)設定區(qū)和狀態(tài)顯示區(qū)。

圖2 仿真總界面圖

通過改變參數(shù)，仿真可得到所有種情況的T-θ（φ）圖與v-θ（φ）圖，本文以運動最為復雜的情況Ⅲ作為例子分析，其物理過程為：先后做繞著O1與O2的擺動，然后做斜拋運動，擺球斜拋之后，落到以O1為圓心，L1為半徑的圓上，然后再做擺動。重復上述情形直到小球僅在O2下方做周期擺動。

圖3是情況Ⅲ中三個條件下的T -θ（φ）和v-θ（φ）曲線：

圖3 三種情況的仿真結果

2.2 程序流程圖

圖4 程序流程圖

2.3 討 論

圖3中的a、b是 Ⅲ－1情況的結果，c、d是Ⅲ－3－a，e、f是 Ⅲ－3－b，通過圖形可以看出每次在最低點時拉力T都會突變，說明了在此時擺長的突變，每次斜拋之后都速度都會突變，繩子未拉直之前做斜拋運動，拉直之后做擺動，說明了繩子拉直的瞬間有能量的損失，引起速度突變。從整個動態(tài)的過程中可以看出來經(jīng)歷斜拋次數(shù)越多時，每次損失的能量越來越少，最后剩下的能量就比較少，直到小球在O2下方做周期擺動。

3 結 論

對于擺長可變化的單擺運動，我們進行了詳細的理論分析和推導，通過各種臨界條件，將運動分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ－1、Ⅲ－2、Ⅲ－3－a、Ⅲ－3－b、Ⅳ和Ⅴ共八種情況，并且得到了單擺在各種情況下的計算公式和詳細分類，根據(jù)理論推導的公式，用MATLAB實現(xiàn)物理過程的可視化仿真，并建立了基于MATLAB GUI的可交互的仿真界面，同時給出三個可調(diào)參數(shù)，用戶可以通過調(diào)節(jié)不同的參數(shù)，觀察小球運動軌跡、力、速度等物理參數(shù)動態(tài)變化曲線，我們得以完整的了解小球整個運動的物理過程。這種交互式的，接近真實的物理過程的仿真，可以提高物理理論及實驗教學，使抽象的物理理論知識以更加直觀的方式展示出來，同時也可以加強學生對物理理論知識的理解。

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