侯懷有

方差是用來描述一組數(shù)據(jù)的離散程度的，在解題中有著廣泛地應(yīng)用，不僅可以用于計算，還可以用于解決數(shù)學(xué)中的一些最值問題，并且在中考、數(shù)學(xué)競賽中也有廣泛的應(yīng)用.

例1 （加拿大第七屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）確定最大的實數(shù)z，使得實數(shù)x，y滿足：x+y+z=5，xy+yz+zx=3.

解：由已知，得x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z2-5z+3.

∵x、y的方差S2=[（x2+y2）-（x+y）2]=[（x+y）2-2xy] =[（5-z）2-2（z2-5z+3）] ≥0，∴3z2-10z-13≤0，解得-1≤z≤，所以z的最大值為.

例2 （江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽試題）已知：p3+q3=2，其中p、q是實數(shù)，則p+q的最大值為 .

解：不妨設(shè)p+q=k，由已知p3+q3=2，即 （p+q）（p2+q2-pq）=2，得k（k2-3pq）=2，∴pq=（k2-）.

又∵p、q的方差是S2=[（p2+q2）-（p+q）2] =[（p+q）2-2pq]=[k2-（k2-）]≥0，即3k2≥4k2-.由k>0，得0

例3 （前蘇奧爾德榮尼基市第三屆初中數(shù)學(xué)競賽試題）已知x+y+z=1，求證：x2+y2+z2≥.

證明：由x、y、z的方差S2=[（x2+y2+z2）-（x+y+z）2]≥0.將x+y+z=1代人上式并整理得x2+y2+z2 ≥.

例4 （吉林省初中數(shù)學(xué)競賽試題）設(shè)a、b滿足a2-bc-8a+7=0……（1）b2+c2+bc-6a+6=0……（2）試求a的取值范圍.

解：由（1）得bc=a2-8a+7…（3）.

由（2）-（1），得（b+c）2=（a-1）2（4）.

由（2）得b2+c2=-bc+6a-6（5）.

將（3）代入（5），得b2+c2=-a2+14a-13（6）.

因為b、c的方差為S2=[（b2+c2）-

（b+c）2]=[（-a2+14a-13）-（a-1）2]≥0. 化簡，得a2-10a+9≤0，∴1 ≤a≤9.

從上面的幾個例題可以看出，在運(yùn)用方差公式解決數(shù)學(xué)中的最值問題時，只要靈活巧妙地將問題轉(zhuǎn)化成公式的形式，即根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化成x12+x22+…+xn2及x1+x2+…+xn的代數(shù)式的形式，就能簡單明了地解決問題.